Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 6566 / 7666 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 > Следующая >>>

10.3	ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ		68$^
где
(62)	сгТ ==	^ 2 (yt— b'zt) (yt+r — b'z/+r) = c l,г,
		/"=*0, 1,	7'—*lr,

A (x) — симметричная функция и {Кт} — возрастающая последом— тельность целых чисел типа исследовавшихся в гл . 9. Тогда

(63)	/г (v) — f (v) =	} т(v) — / (v) + J T (V) — f T (v),
где		кт
		кт
(64)	? r(v ) = 4 -	£ Л ( т г г ) cos vrc,r,

(65)		<Vr == -Jr	2	(*/<—P'Z<) (#<+/■ ““P%+r) —
		1	<-i
		l	T~r		— C—rj»	r =	0,	11 • • • » T—<1 r
		— p	^		— C—rj»	r =	0,	11 • • • » T—<1 r
Слагаемое /r (v) — f (v)			в	(63) было изучено		в	гл.	9.	Рассмотри»*
второе слагаемое. Имеем				кт
				кт
(66)	/r(v)*— f r ( v ) = - ^ -			£ k	cos vr (с*т		сгт),
где для г >		0
(67)	С; г - c	, r = ~ - J r (Ь* -		р)' 2	------Jr (b* -			Р)'	2	+

+ T ( b* ~ p / s ^ + r ( b * - P ) .

Умноженное на Т последнее слагаемое в (67) оценивается по аб солютной величине следующим образом:

(68) 2 (b * ~ P )'z ,z ;+, ( b * ~ P ) L
<=»i	I

< ( s V - * P ) 4 ] * 2 [ ( ь * - P ) w ) V,<

<2[(b*-p)'z,]*=.

*= (Ь* —■Р)' Ay (0) (Ь* — р) хз

= 2 zjAf1(0) zsutut.

/»S*s=l

654

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Гл. 10.

Здесь мы использовали неравенство Коши— Шварца. Пусть Аг'(О) = = Р'Р и zj = Pzs, s = 1, ..., Т. Тогда математическое ожидание правой части (68) равно

		г				т
(69)	&	2 ZA T 1(0)ZSutus =				2			— s)=
						/» S » 1
					=	2		2	ztzt+<p{q),
						Q—	(T -l) t£ S .
m eS ,	= {1,.... T — q) для<7 >				0и 5 ,		=	{1 — q, .... T) для q < 0.
Для любого h >		0
		Г-ft			P	Г—Л	#	^	I
(70)		<=1	2/ z<+ft	<	2	2 ZttZt,t+h			<
		<=1			i=l	<•=1			I

T—h

2 2(.<+Л < *=»1

Умноженное на Т математическое ожидание.абсолютной величины

о о

последнего члена в (67) ограничено поэтому значением р 2 lff (?)!»

g=s—оо

которое по предположению конечно.

Умноженная на Т абсолютная величина первого члена в правой част» (67) имеет математическое ожидание

(71) S ( Ь * - Р ) '2 Ч и <+,	Т	Т -г	z^Ar'(O) ztusut+r
(71) S ( Ь * - Р ) '2 Ч и <+,	2	2	z^Ar'(O) ztusut+r
	s=I 1=1
	Т	T—r
	2	2	z7z'tusui+r
	s=l t=\

10.3 ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ 6 5 5

поскольку	8 \| x'yrf	<	8 2	\| JC, \| I у, \| <	8 2 X? ] А £ у,2. *
квадрат (71) не превосходит
Г			Т — г
(72) 8 2	zl'zl-ustis-& 2			Zt'zi'Ut+rUt>+r —
s,s'=I			ttV—1
	=	T	#		Г —г
	=	2	ZsAf1(0) zS'0 (s' — s)		2 z/Af1(0) z/'O (<' — 0
	s.s' -1				<.<'=I

< [ p J S j o ( ? ) l ] .

Таким образом, математические ожидания умноженных на Т аб солютных величин первого и второго членов правой части (67) так-

СО

же ограничены значением р

2 I о (q) |.

0 = — о о

Теорема

10.3.7.

(73)

18 (с г т —с г т) | <1 8 1с г т — с г т | ^ - j j r -

10 (<7) I-

Из (66) имеем

(74)

r«=—Kj I

Z / |

— с,г |.

Теорема

10.3.8.

(75)

18/r (v) — 8?r (v) | <

8 17; (v) — /г (v) | <

№

SUP

l* w i ^

И 0 1 -

Т еорема

10.3.9.

(76)

lim - J - |8 /;(v ) — 87r(v)|<>- ^ -

sup

|£(*)|

2 10(7)1-

T-+ оо Л Г

11 — u * « l

< / = - 0 0

Теорема

10.3.10. Предположим, что k (x) = k ( —x),

k (0)

= 1,.

| k (x) I < M для некоторого M и для всех |х|

1. Предположим, что-

для

некоторых q > 0 и

k~>0

lim

[1 — k(x)V\x\q = k. Пусть

[Кт] — последовательность

*-►0

такая, что Кт-*- °°

при

целых чисел,

7 , _*.оо. Пусть, кроме того,

(77)	2 И > ( ' ) \| < о о

656	ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ		Гл. 10.
для некоторого р >• q. Тогда, если Kj+i/T -+■0 при Т			оо, mo
(78)	,.	*?;(v)~s?r (v)
(78)	um —х-------------
	т-°°	8/r(v)‘" / ( v)

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из теорем 10.3.9 и 9.3.3.И

Следствием последней теоремы является то, что если К т растет

достаточно медленно по отношению к Г, а именно если Кр~1/Т -*• 0 при Т -*■ оо, то добавочное смещение оценки из-за наличия неизвест ной регрессии оказывается несущественным по сравнению со сме щением, возникающим при известном математическом ожидании.

Если q = 2 и р > 2, то указанное условие будет иметь вид Кт/Т ->•

-+■ 0; если К т — [у7^, то при этом получаем условие а < 1/3.

Мы хотим показать, что асимптотическое распределение разности

TT(V) — / (v) совпадает с асимптотическим распределением ?r (v) —

— / (v). Теорема 10.3.8 и обобщенное неравенство Чебышева приво-

л я т к	следующему	результату.
Теорема 10.3.11. Пусть функция g (Т) такова,						что g(T )-* -0
при Т —►оо.Если		00	I сг(г)1-<°о ыфункция k (х)ограничена на
при Т —►оо.Если		2	I сг(г)1-<°о ыфункция k (х)ограничена на
3 —1,	И, то
т	plim g CD -jr- (fr(v) —- % (v)] = 0.
	T-*oо			/ХГ
Следствие 10.3.2. Если				oo	lCT(r) Г < 00“ функция k (х) ограни-
Следствие 10.3.2. Если				2	lCT(r) Г < 00“ функция k (х) ограни-
мена на I—1, 11, то				/•=—00
мена на I—1, 11, то
(80)	plim		л/	[ ?	г (v) — % (V)J = 0.
		Г-юо	У	ЛГ
Из следствия 9.4.1			и следствия 10.3.2 выводим следующий ре
зультат.
Теорема 10.3.12. Пусть }т (у) определяется соотношениями (61)
и (62), в которых функция k (х) непрерывна на [—1, 11 и Кт!Т							О
при Т	оо. Пустьyt = {1'z, +				щ, где
<81)				« ,=	f] YsVt~s,
00				S = — ОО
00	ITsI < 00»a {vi) — последовательность независимых и одиноко-
2
<«■—1ОО					величин с %vt = 0,		<
-во распределенных		случайных			величин с %vt = 0,	— о* и	<

10.4	ПРОВЕРКА НЕЗАВИСИМОСТИ	657
< оо. Если выполнены условия теоремы 9.4.3 и если		lim Т/Кт^'
конечен при р	< q или Т/Кт+' -■ 0 при q < р, mo Y Т/Кт От (v) —

— / (v)] имеет в пределе нормальное распределение с нулевым сред ним и дисперсией, указанной в теореме 9.3.4.

Асимптотическое распределение оценки f (v) не изменяется при использовании остатков от регрессии, подобранной по методу наи меньших кваратов. Теорема 10.3.11 показывает, что для получения

в пределе нетривиальной случайной величины разность % (v) —

—/г (v) следовало бы домножать на Т1Кт, в то время как разность ft (v) — f (v) для той же цели следует домножать на У Т/Кт. Та-

Л ф	А
ким образом, разность fr	(v) — /г (v) обычно имеет ббльший порядок
малости по сравнению	с /г (v) — / (v).

Большая часть результатов § 10.3 содержится в работе Хеннана (1958).

10.4.ПРОВЕРКА НЕЗАВИСИМОСТИ

10.4.1. Случай, когда оценки наименьших квадратов являются эффективными

В гл. 6 мы рассматривали задачу проверки нулевой гипотезы о том, что ковариационная матрица совокупности Т наблюдений пропорциональна единичной матрице, против частных альтернатив наличия сериальной корреляции при условии, что математические ожидания наблюдаемых величин или все равнялись нулю, или все были равны некоторой отличной от нуля постоянной величине. В настоящем параграфе мы займемся этой задачей в предположении, что последовательность математических ожиданий наблюдаемых ве личин образует линейную функцию регрессии. Подобным же обра зом в этой ситуации могут быть исследованы задачи проверки по рядка зависимости и оценки порядка зависимости.

	Будем предполагать, что плотность распределения вектора у =
=	(У1, • ••« УтУ равна
(1)	К ехр[— (y0Q0 + . . .	+ ?Д )/2],
где
(2)	Q, = (у - ZP)' А/ (у - Zp),	/ - 0, 1..............

Z — матрица размера Т X р ранга р ( р < Т — q), а р — вектор размерности р. Тогда вектор у нормально распределен с вектором

658

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Гл. 10.

средних

(3)

и ковариационной матрицей

(4)	2 =	(7(Ло +		• • •	+ У„А»)
Константа К равна
'5)	К — (2л)		7,21Т0А0 +		*** + Y q \ \| ,г-
Наиболее интересна проверка				нулевой гипотезы ух = 0 для слу
чая, когда q =	1 и А0	=	I, т. е. проверка гипотезы независимости

против альтернативы, состоящей в том, что ковариационная матри

ца	имеет вид 2 = (у01 + ухАх)- '. При этом предполагается, что
А,	и Z — известные матрицы, а у0, ух и 0 неизвестны. Обычно аль

тернативной гипотезой (характеризующейся матрицей Ах) является

наличие сериальной корреляции.
Прежде	всего рассмотрим случай Z = V*C, где матрица С не
вырождена,	а V* состоит из р характеристических векторов vs,
s —.sx, ...,	Sp, матрицы 2 (причем V'V = I). Функция регрессии

равна здесь ZP =V*Cp= V*a, где a = Cp — некоторое преобразова ние параметров.

	Как было показано в разд. 6.6.2, в этом случае статистики
(6)	ah =	vSfty, Л = 1,...,	р,
(7)	Q/’ = (у - 2	А, ( у - g	ahvS/tJ =
	Р
	— У A/У	п	• • • г Q9
	/1 = 1	п

(где A,jSh — характеристический корень матрицы А,, соответствую щий характеристическому вектору vSA) образуют достаточное мно

жество статистик для параметров РА, h — 1, ..., р, и у/, / = 0» К •••

.... q. Здесь ah —оценка наименьших квадратов и марковская оценка для ah, h = 1, ..., р. Если yx+i = ... = у А = 0 , то наилучший кри терий для проверки нулевой гипотезы ух = 0 основывается на ста

тистике Q* и область принятия гипотезы зависит от условного рас

пределения Q* при заданных значениях Qo. •••, Q<-1- В частности, критерий для проверки гипотезы ух = 0 при у2 — ... = у4 = 6 основывается на статистике

(8)

10.4	ПРОВЕРКА	НЕЗАВИСИМОСТИ	6 5 9
При ух = 0 распределение г\ не		зависит ни от § (теорема 6 .7 .1 ), ни
от	у0 (теорема 6 .7.2 ).
	Теорема 10.4.1. Если вектор у имеет плотность		(I) с q = 1,

a Qo и Qi определены соотношением (2), причем матрица у0А0 + yxAx положительно определена, и если матрица Z состоит изр линейно независимых линейных комбинаций р характеристических векторов матриц А0 и Аь то равномерно наиболее мощный подобный крите рий для проверки нулевой гипотезы у х—0против альтернатив ух<0

с уровнем значимости е					имеет критическую область г\ > с\,				еде
r\	= Q\/Qo,
(9)		Qi = ( У		- Zb*)' А, (у -		Zb*),	/ = 0, 1,
b*	=	(Z'Z)- I Z'y, a	ci	определяется так,			чтобы при нулевой гипо
тезе		Рг {г* > с’}	=	е.	Равномерно наиболее			мощный подобный
критерий против альтернатив Ух >						0 имеет критическую область
т\ <		с \, где сГ определяется так,				чтобы	Р г	{г\ < с\’} = е	при

Ух = 0. Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий про тив альтернатив уг Ф 0 имеет критическую область, являющуюся

объединением областей г\ <. си				и г\ > сщ,				где си	и сщ определя
ются так, чтобы Р г {cli </■*<. сщ)						= 1	— е и
( 10)		cUl				оо
( 10)		J r\f{r\) dr\ =	(1— в) J				r\f (rl) dr\ ,
		г *				— ОО
		CL\
где f (r’i) — плотность распределения г\ при ух = 0.
Наиболее интересны случаи, когда А 0= \|. Пусть матрица харак
теристических		векторов А х равна V ,				причем V 'V =			I. Если	поло
жить	у = V x	(х = V 'y ), то вектор			х	будет		иметь	распределение
N	ah v*ft.	(Уо I + Ух Л)	J,	где		Л — диагональная матрица
А = 1							являющимися характери
с диагональными элементами A,j> ...							являющимися характери
стическими корнями матрицы А х.					(Все характеристические					корни
матрицы А 0 = I равны единице.)					Соответствующие квадратичные

формы равны

6 6 0	ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ	Г л . 10 .
где S	{slt .... S-}. Тогда
	2 Ы
(13)	г\ — s&S
	s&S
Если	= 0, то распределение величины г? не зависит	от у0. При

Yi = 0 распределение величины г\ совпадает с распределением от ношения (13), в котором ха — независимые нормальные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями.

Распределения общего типа, рассмотренные в § 6.7, соответству ют рассматриваемым здесь с заменой А,ь ..., А,г или А*, ..., A,r_i (ког да включается математическое ожидание) на A,,, s £ S. В частности,

если	Т — р корней являются		двойными, скажем если это корни
vx >	. .. > VH, то	Рг [п > /?}	указывается		в теореме 6.7.4. Если
двойными являются все корни (vx >				... >	v«)	за исключением од
ного	простого корня VH+I (<		VH),	то в этом		случае Рг {п >
дается теоремой		6.7.6.
Если Yi = 0,		то		*h
		Ы*н		*h
(14)		Ы*н	SQi
			IQ?
Если Yo = 1, то знаменатель в (14) равен
(15)					( T - p ) / 2 < h .

Числитель в (14) можно найти, воспользовавшись семиинвариантами

квадратичной формы Q*. Действительно, 6-й семиинвариант пред ставляет собой умноженную на 61 величину

(16)		nk—1	2*-. Т	ь	9^—1 р .
(16)	V*	2 t f -	2	t i -
		t $ S	t=I

Тогда несколько первых моментов выразятся соотношениями (126)

и (127) § 6.7, в которых \ к заменяются на v*.	Если А1, ...,	Хти A.Sl, ...
...,A,Sp симметричны относительно нуля, то	v*,_, = 0 , 1	= 1, 2, ...

..., 8QI2 — 2vo и 8QI4 = 24vJ -f- 12V22. Могут быть также использо ваны и приближенные распределения, описанные в § 6.8.

Особый интерес представляет циклический случай с Т =ph и независимыми переменными cos 2njt/T и sin 2njt/T. Если при этом

10.4

ПРОВЕРКА НЕЗАВИСИМОСТИ

66t

р четное, то в качестве независимых переменных берут

/1*7\	1	2л а •	2л а
(17)	1,	cos —— t, sm -	у t,

2я ( 4 _ Л

4л

cos —y

2л i —

а	« 4л 1а
t,	sin —— t..........

----l]

COS Ц — L ^ s i n — Ц .— L /, ( _ i)*,

< - l, . . . . г .

Соответствующие характеристические корни равны

/юч

2я

4я

4я4я

(18)

COS -----

COS ------ > COSos-------—— > COScos

------—— > *• • >

2я I

* - )

_ - (

* - )

cos ■

(

— 1.

COS

Тогда V2/_i

0 , /

1,2,

...,

vi Q\

•

22* -1

___21

2л

2 ^ ’

2я .

(19)

V2/

•

о/

cos

/ 2:8

где символы S' указывают на то, что

входящие в

правую

часть-

(19) суммы берутся соответственно по всем

значениям /г ,

/г

= О,

1 ,..., 21, для которых 2 (/> — I) делится

на Т, и по всем значениям

j p, ip

= 0 , 1, ..., 21, для которых 2 (/- — /) делится на Г, (См. разд.

6.7.7.)

При

этом

(20) V2) =»

Г - Р

yrV

Й и - ^ Г / 2 /

21 ^ V - g p / 2 /

для Г

= ph. Если I <

р/2, то (20) переходит в

(21)

v* =

i < р/2,

2 , 4 , . . . .

(Отметим, что Т >• 2р.) В частности,

(22)

vj =

(Г — р)/2,

Р =

6 ..........

(23)

V4 = 3 (Т — р)/4,

р =

6 ,

8 ..........

Можно также показать, что vj = 772 — 2 для р

= 2 ,

vj = 3774 —

— 4для р =

2 и 4, 7 > б . Тогда 8(?12 = Г — 4 для

р = 2 и 7 ’ — р-

для р

= 4,

6, .... 8Q;4 « з ( р _ 2 Г

— 16) для р

2, 4,

Г >

«62

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Гл. 10.

Таблица 10.2

ВЕРХНИЕ 1ООе-ПРОЦЕНТНЫЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЦИКЛИЧЕСКОГО СЕРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, СТРОЯЩЕГОСЯ ПО ОСТАТКАМ ОТ ОЦЕНКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТРЕНДА *

Номера		Р =	2		Р яа 2,4			2 . 3 . 6		Р «	2,12/5, 3, 4, 6,
Номера											12
^корней	Г	5%	1%	Т	5%	1%	Т	5%	1%	Т	5%	1%
	Г	5%	1%	Т	5%	1%	Т	5%	1%	Т	5%	1%
4	6	0.450	0.490	8	0.636	0.693	12	0.592	0.744
6	8	0.484	0.607	12	0.515	0.661	12	0.592	0.744
8	10	0.453	0.601	12	0.515	0.661
10	12	0.426	0.572	16	0.439	0.582	18	0.442	0.592	24	0.441	0.592
12	14	0.402	0.544	16	0.439	0.582	18	0.442	0.592	24	0.441	0.592
14	16	0.382	0.519	20	0.388	0.523
16	18	0.364	0.496	20	0.388	0.523	24	0.369	0.504
18	20	0.348	0.476	24	0.351	0.478	24	0.369	0.504
20	22	0.334	0.458	24	0.351	0.478
22	24	0.321	0.442				30	0.323	0.445	36	0.323	0.445
24	26	0.310	0.427	28	0.323	0.441	30	0.323	0.445	36	0.323	0.445
2G	28	0.300	0.414	32	0.300	0.414
28	30	0.290	0.402	32	0.300	0.414	36	0.291	0.403
30	32	0.282	0.390	36	0.282	0.391	36	0.291	0.403
32	34'	0.274	0.380	36	0.282	0.391
34	36	0.266	0.370	40	0.267	0.371	42	0.267	0.371	48	0.267	0.371
36	38	0.260	0.361	40	0.267	0.371	42	0.267	0.371	48	0.267	0.371
38	40	0.254	0.353
40	42	0.248	0.345	44	0.254	0.354	48	0.248	0.346
42	44	0.242	0.338				48	0.248	0.346
44	46	0.237	0.331	48	0.243	0.338
46	48	0.233	0.324				54	0.233	0.325	60	0.233	0.325
48	50	0.228	0.318	52	0.233	0.325	54	0.233	0.325	60	0.233	0.325
50	52	0.224	0.313
52	54	0.220	0.307	56	0.224	0.313	60	0.220	0.308
54	56	0.216	0.302				60	0.220	0.308
56	58	0.212	0.297	60	0.216	0.302
58	60	0.209	0.292

* Значения Р указывают на периоды включенных в оценку тригонометрических составляв „тощих.

и HQl4 = 3 '[Г 2 - 2		(р - 3 ) Т + р (р - 6 ) ]	для р = 6 , 8..........
Поэтому	1 = 0, %г? = (Г — 4)/[Т(Т — 2)] для р = 2,
^24)	& r \ 2 =	(Т — Р + 2) \ р = 4,	6, . . . ,

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 6566 / 7666 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf