книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf
10.3 о ц е н и в а н и е к о в а р и а ц и й и с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и 045
Подобным же образом
оо |
Г |
|
|
|
|
o(r*~h) lim tr A f 1(0) А т(-— r) — |
|||||
{22) — 2 |
|||||
r=s-—oo |
Г-too |
|
|
|
|
|
|
oo |
|
n |
|
|
— |
2 |
a(r — h) |
J tr R “ ‘ (0) e~iKrd!A (Я) = |
|
|
|
r=s—OO |
*—Я |
||
|
|
|
Я |
|
|
|
- |
— 2я tr |
R " 1(0) J |
е“ аА/ (X) dM (X). |
|
•—Я
Если / (X) непрерывна, то найдутся такие тригонометрические поли номы / t (A,) и /и(Я), что / а(Я) < / (Я) < /у(Я) и /и (Я,) — fL (Я,) < е. Указанные выше пределы сохранятся для последовательнос
тей |
Oi(/i) |
= |
J |
eP*fL (Я) dX и |
ay |
(ft) = j* |
« о * /у (Я)4Я. |
Пусть |
||
|
|
Р |
•*“Я |
|
|
|
— Я |
|
|
|
< Z 'Z) |
|
|
и % = |
аа]zt - f |
fta) z<_*, f |
= 1, |
T, для произ |
|||
1= 2 « / « / |
||||||||||
вольных a |
и |
Ь, |
причем |
z 0= . . . |
= |
Z _ A+ I |
*= 0 . |
Тогда |
X /S tX /< |
|
< Х/Sx/ < |
Х/Syx/, как и в разд. 10.2.3. Соответствующая |
аргумен |
||||||||
тация |
пригодна и для |
|
|
|
|
|
|
|||
<23) |
2 |
2 |
xt,<s(t— s)xsl = |
|
|
|
|
|
||
|
/=1 f , S = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
I<22Z /ZS - f |
|
|
z<_ftZs) - f b2z,_ hZs_ft] cr |
|
||
— tr ( Z 'Z )-12 |
ab (z,zs'_ ft - f |
— s). |
||||||||
f , S = l
Поскольку предел существует для любых значений а и Ь, то это озна чает, что существуют пределы и для отдельно взятых членов соот ношения (23), стоящих при a2, ab и б2. Отсюда следует, что при не
прерывной спектральной плотности / (Я) пределом сумм (19) и 420) служат суммы (21) и (22).щ
Предположим теперь, что оценки наименьших квадратов асим птотически эффективны. Тогда матричная ф ункциям (Я) имеет скач
ки |
(М/ — iM *)/2 при Я |
= V/ и |
(М/ + iM/)/2 |
при |
Я = |
— v{, ] =t |
*= 1.......... H, если при Я = |
0, ± я |
скачков нет. (Матрицы Щ иМ* |
||||
действительны.) Первое слагаемое в правой |
части |
(16) |
равно |
|||
|
— 4я tr R -1(0) |
н |
|
|
|
|
(2 4 ) |
2 cos v/tif (v/) М/, |
|
|
|||
/—1
10.3 ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ 647
где щ — yt — р' гг Последний член в (30) равен
<31) |
т ^ - ( Ь * - Р ) ' Аг (Л)(Ь*-~ р)= |
|
||||
|
|
|
« -^Г(Ь*— Ю'Dr [Df'Ar (Л)D?1Dr (b* —Р). |
|||
Поскольку Нш Dr *Аг (h) DF1 = |
R(Л) и 8Dr |
(Ь* — Р)(Ь* — Р)' Dr |
||||
|
Г-*- ОО |
|
|
|
|
|
имеет |
предел при |
Т -*■ оо, |
то (31) сходится по вероятности к 0. |
|||
Квадрат второго члена в (30) равен |
|
|||||
|
|
|
|
T—h |
\ |
|
|
|
|
(DF1 |
Z^ W H-*DF'JDr (b*—Р)* |
||
Для произвольного вектора а |
|
|
||||
|
Г-Л |
\2 |
|
Г-А |
|
|
|
(a'DF12 |
|
|
= Sa'Df12 Z/+fta<asz^+AD_ra= |
||
|
* = 1 |
|
/ |
|
/ f S=?=I |
|
|
Г—Л |
|
|
|
||
|
= a'Dr12I 2<+AZS+A<T(f— s)Dr'ct = |
|
||||
|
= a'D?1 |
|
7-h-l |
2 zs+A+,Zs+ftO(r)DF'a |
||
|
|
^ |
||||
|
r——{T—h—\) s£Sr |
|
|
|||
имеет |
в условиях |
теоремы |
предел а' 2 а (г) R (г) а. Поэтому |
|||
Г — — ОО
и второй член в правой части (30) сходится по вероятности к 0. Что касается первого члена, то он оценивается аналогичным образом.^
Теорема 10.3.4. Если выполнены условия 10.2.1—10.2.5 и условия
теоремы 8.4.2, то вектор V T [Cj — о (0)], ..., V T [С^ — о (л)]
имеет предельное нормальное распределение с нулевыми средними и ковариациями, приведенными в теореме 8.4.2.
При надлежащих предположениях относительно моментов чет вертого порядка можно показать, что пределы ковариаций ]/Т [СА—
— а (Л)] совпадают с пределами ковариаций |/Т [СЛ— o{h)\ и без обязательного выполнения всех условий, необходимых для асимпто тической нормальности.
648 |
ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ |
Гл. 10. |
10.3.3. Асимптотическое смещение выборочной спектральной плотности
Рассмотрим выборочную спектральную плотность, строящуюся по остаткамот подобранной по методу наименьших квадратов рег рессии, т. е.
(34) |
/* ( X ) ----2п Т ~ |
| |
<ft - |
ь*%)^ |
| \ |
||
Теорема 10.3.5. П у с т ь |
в ы п о л н е н ы у с л о в и я 10.2.1 —10.2.5 и, кроле |
||||||
того, |
п р е д е л |
|
|
|
|
|
|
(35) |
Нт - U |
DF1 2 z , ^ |
= g(X) |
|
|||
|
Г - Ь О О У |
/ |
|
М |
|
|
|
|
|
|
00 |
|о |
(А)| < |
оо. Тогда |
|
с у щ е с т в у е т д л я в с е х X |
и |
2! |
|||||
|
|
|
Л = — о о |
|
|
|
|
(36) |
lim 8/* (X) = f ( X ) |
— 2f (X ) g ' (X) R -‘ (0) |
+ |
||||
|
T-* 00 |
|
|
|
|
|
|
n
+g'WR_1(0) J /(v)dM(v)R“‘ (0)iW .
Доказательство. Преобразуем (34) следующим образом:
2»_j
(37) I * ( X ) = - ± - 2 |
( l — |
' / |
A=—(Г—1) \ |
||
2"T s>jSi |
|
#-1 |
ЛЛ Л
где вектор u = (ы1э..., ыг)' имеет вид
(38) u = [I — Z ( Z 'Z ) ~ , Z 'l a .
Положим 0 |
=* (е/я, га2, ..., г'*-7')'. Тогда |
|||
(39) 2я / * |
(X) = |
у - 1 |
u'0 |2= |
- i - в'и u'0 = |
|
= |
- j - |
О' [I — Z |
( Z 'Z T 'Z 'l ua' [I — Z ( Z ' Z r ’ Z 'l 0 = |
=- j - 0'ua'0 — у (0 'Z ( Z 'Z )-1Z'u u '0 +
+0 'u u 'Z ( Z 'Z )~1Z'0 ] +
+4 * e z ( Z 'Z )-1Z 'n u 'Z ( Z 'Z ) _I Z '0 .
10.3 |
ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ |
649 |
Математическое ожидание первого члена правой части (39) равно
|
г |
Г-1 |
|
(40) |
2я8/ (А) = |
( 1 — -Цг-) о (г) cos кг |
|
|
|
r«s—(Г—1) 4 |
1 7 |
и стремится при Г ->■ оо к 2я/ (А,). Математическое ожидание послед него члена равно
<41) j r o'z ( z 'z r ’z 's z (Z'Z)-1 z 'e =
= -jr 0'Z8 (b*— P) (b*— P)' Z'0 =
- i 0'ZDF1IDrS (b* — P)(b* — P)'DrlD7lz e = = tr[DrS(b*— p)(b* — p)'Dr]-f DF’ZWZDF1.
Предел матрицы, стоящей в квадратных скобках, указан в следствии 10.2.1. Другая матрица в (41) равна gr(A,) gr (А,), где
<42) |
gr<*)— pL-DF1 |
сходится к g (А). Таким образом, предел математического ожидания последнего члена правой части (39) равен
Л
(43)2ng' (к) R -1 (0) J / (v) Щ (v) R -1(0) £Щ .
—Я Математическое ожидание среднего члена равно
{44) .— L [0'z (Z'Z)-1 Z'20 + 0'2Z (Z'Z)_ ,Z'0] =
|
= —<4- |
>.! |
i [Ar (0)]-1 zso (s—r) [eiUt~r) + е1Цг~{)\ = |
|||
|
|
1 |
t,s,r=*i |
|
|
|
|
|
T—l |
T |
|
|
|
|
= — |
2J |
ст(Л) 2 2 |
z/DF1[DF’Ar (0) DF’p 'D F ’zr+ft X |
||
|
|
h ~ - ( T - l) |
rGSh t= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x -jr [elut~r)+ elMr~ \ |
|
= |
{1........ T - h ] , h > |
0, и Sh = |
{1 - f t .........Г}, A < 0. |
||
Оно сходится |
к |
|
|
|
||
|
|
00 |
|
|
___ |
|
{45) |
— 2 |
S |
<т (ft) cos Mg' (A) R-1 (0) g (k) = |
|||
|
|
00 |
|
|
|
|
Этим |
|
|
|
|
= |
— 4 я /(A)g' (A) R-1 (0)jf(£j". |
завершаем доказательство.^ |
|
|||||
650 ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ Гл. 10.
Отметим, что |
____ |
я |
т |
||
|
п |
||||
(46) |
J gr (Я) gт(X)dX = -^- J |
DF* X |
ztZsDT'elMt- s)dX = |
||
|
— Я |
|
— Я |
t f S = |
l |
|
|
= |
- f- D F ,Ar (0)DF*. |
||
Интеграл квадрата абсолютной величины каждой компоненты век тора gr (А,) равен 2л/Т и стремится к 0 при Т -*• оо. Поэтому g (Я) = = 0 для почти всех Я. Если {zt} ведет себя, грубо говоря, как реа лизация стационарного случайного процесса, то g (Я) = 0 для всех Я. При этом каждая компонента g (Я) соответствует А (Я) + iB (Я),
а каждый диагональный член матрицы |
g (Я) g' (Я) соответствует |
R2 (Я). В этом случае /* (Я) оказывается асимптотически несмещен |
|
ной оценкой. |
|
Следствие 10.3.1. Если g (Я) = 0, |
mo П т Л/* (Я) = / (Я). |
|
Т |
Рассмотрим теперь такую последовательность независимых пе ременных {z(}, что оценки наименьших квадратов оказываются при этом асимптотически эффективными для каждой непрерывной поло жительной спектральной плотности. Из теоремы 10.2.10 следует тогда, что
(47) |
lim Т |
" |
------ |
о |
\ gr (Я)gr (Я) f(X)dX = |
2 / (v,)Щ |
|||
|
Г-ю° |
_ л |
|
/= 1 |
для каждой непрерывной положительной спектральной плотности
/ (Я). Существует матрица Р (не обязательно единственная), такая» |
||||||||||
что P'R (0) Р |
= 1 |
|
|
|
о |
/ |
(v/) М/Р диагональна для каж- |
|||
и матрица Р' 2 |
||||||||||
дЬго набора |
значений |
f (v/), |
/=1 |
|
<3. |
При этом |
матрицы |
|||
j = |
1....... |
|||||||||
Р'М/Р = L/ будут |
диагональными, |
причем |
их диагональные эле- |
|||||||
|
|
|
G |
L/ = |
•• |
Пусть g* |
(Я) = P'gr |
(Я). (См. |
||
менты равны 1 или 0 и 2 |
||||||||||
упр. 32 гл. 6.) Тогда |
/ = | |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
____ |
|
|
в |
|
|
||||
(48) |
|
5 |
|
|
|
/ (v,) L/, |
|
|||
lim Т J gr (Я) g*r' (Я) f(X)dX = |
2 |
|
||||||||
|
Т-VOO |
_Zn |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
где |
|
г |
о |
. . . |
о |
о |
о . . . |
о |
- |
|
(49) |
|
|
0 |
... |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
0 |
... |
0 |
I |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
... |
0 |
0 |
0 . .. |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
... |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
10.3 |
ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ |
661 |
а 1 есть /-я единичная диагональная подматрица. Далее, естествен но предположить, что
“0 ~
{50) |
limgr(v/) = |
О |
/ = 1..........о, |
g*W |
|||
|
Т^оо |
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
<51) |
|
|
lim gr (X) = |
|
0, |
|
А.ф |
± V X...........± |
Vo- |
|
|
|
||||
|
|
|
Т-*оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этих условиях |
lim |
|
8/* (A,) = f(X), |
Х ф ± v lf ..., |
± |
vo. |
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
T-+OQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(52) |
|
g' (v/) И"1(0) S |
f Ы M*R-1( |
0 ) |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
получена |
|
|
|
|
■= f (v/) g</> g(*/) = f |
(V/) g ' (V/) R |
1 (0) g |
(V/)- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
10.3.6. Если |
|
выполнены условия |
10.2.1 — 10.2.5, |
(35) |
|||||||||||
существует |
для |
каждого X, |
о о |
|
|
|
кроме |
того, |
для |
|||||||
2 |о ( Л ) |< о о , |
||||||||||||||||
G < |
р |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos VjhNij + sin v/Ш,*), |
|
|
|
||||||
(53) |
|
|
|
R(/i) = |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
/=• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (Ц = |
0, X Ф ± |
vx....... |
± |
vfl, |
и если M*R_1 |
(0) g (v/) = |
0, |
1гф /, |
||||||||
k, / |
= |
1, ..., G, mo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(54) |
|
|
lim 8/* (X) — f (А,), |
А.Ф ± vlt . . . , |
± VG, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
T -+OQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(55) |
|
|
lim 8/* (± |
v/) = |
f (v;) [1 - |
g' (v;) R "1(0) ^ 7 )], |
|
|
|
|||||||
|
|
T-*oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 , |
. . . , |
G. |
|
Выборочная спектральная плотность I* (А) может оказаться асимптотически смещенной для тех значений X, при которых М (А,) имеет скачки, т. е. для значений, соответствующих частотам перио дичности последовательности {z,}. Если множитель 1 — g' (у,-) X
X R-1 (0) g(v/) в (55) известен и отличен от нуля, то оценку значения спектральной плотности f (v;) можно получить делением I* (v/) на этот множитель.