книги / Статистический анализ временных рядов

1

Us

X o ( t — s + h) + x ( h ,

s —

t, s — ( +

g)] =

=

2

<PT(r ;

8> А) 1<у(^) <7(#■ +

Л— fir)-h

'

r ^ —(T—1)

+

o ( r ~ g )

О (r + h) +

и (A,

— r,

g

— r)J,

g, A = 0,

±

1,

± ( T — 1),

где суммирование ведется по тем s

и

t,

для

которых (1 ,

1 — g )

<

< s <

min ( Т

— g , Т )

и max (1,

1 — А )<

t

< min ( Т

— A,

Т)>

а Т ф/ (л; g, А) есть число таких пар (s, t), которые

удовлетворяют

обоим указанным неравенствам и для которых t — s — г , г

= — (Т —

— 1),

(Г — 1 ). Точные выражения

для

Т<рг (г , g ,

А) д я н ы в

упр. 19. [Для некоторых троек (г; g . А) <рг (г; g ,

А) =

0.] Отметим,

что

(41)

0 < f r (r,

g ,

А )< 1

и

(42)

Jjm фг (г;

g,

А)= 1

для каждого набора г, g

и А. В действительности справедливо даже

следующее неравенство:

(43)

<рт(г; g,

А) > 1 -----!.£| ± Ш + 1 Й1,

,.,2 >r * ( ^ r ) * (•£ •)

X

x

2

Я>т(r, g , A) (<r(r)o(r -}- A— o) _L

9:3.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ И КОВАРИАЦИИ

S7Г

(55)

■

2

2

<рг (м;

и — s, v — s) х

(2л)®

Кт

—

—

'

'

1

u,v— — m s=max(«,t>)—/Су

х

k i ^ W ~ ) k ( п

^ )

e'a “+w)- 'a+v)s а («)« Wr-

а ту в свою очередь

суммой

m

К Т

(55)

- j g r

2

2

^

4

1 1

о М а м ,

u,v=—m S~—KT

1

поскольку

k l(u — s)/KT] k [(у — S)/KT\

при больших

Кт

прибли­

женно

равно

k2 (—s/Кт) = k2 (s/Кт)-. Если

теперь А, +

v =

О или’.

±

2 л, то (56) имеет в качестве предела

1

(57)

p(v)

( k2(x)dx.

—i

Если же v

А, Ф 0, ± 2 я, то предел (56) равен 0.

Наконец, входящая в (44) сумма

(58)

w

^

gjA2

Kг

ё’ А)/гЫ г И

^ ~ )

Х

х

e*Wg+vA) х (Л,

—Г,

g —■г)’

не превосходит по абсолютной величине

(59)

(2л)Ь гг~

sup

2

l« (r. s,

0 1

и,

следовательно,

ее предел

при

Т -*■ оо

равен

0,

если

только-

2

|х(г,

s, 0 |< ° ° -

r , S

, / = — о с

Теорема

9.3.4.

П уст ь

оценка

/г (v) определена

соот нош ен ием

(36),

причем

k (х) = k (—х) ы ф ун кц и я

k (х) непреры вна н а

от резке?

[—1 ,

1 J. П редполож им ,

что выполнены условия

(60)

2

|ог(г)|<оо,

fes— ОО

ОО

(61)

2

|x (r,

S, 0 1 <

°°*

Г,5,/=—ОО

Пусть последовтельность целых чисел {/Сг} такова,

что К.т -*■ оо и

Кг/Т -*■О при Т

оо. Тогда

1

<62)

Н т

Var Тт(0 ) =

2 Z2 (0 )

( k*(х) dx,

T-+OQ

1

<63)

Н т 4 -

Var Тт(± я) =

2 /* (я)

С k> (х) dx,

Т-+ ОО

J l |

1

(64)

Нт

4

~ Var /г (v) =

/* (v) f k 2 (х ) d x *

v Ф

0, ± я,

Т-+оо

Л Г

_1

(65)

lim 4 ~ Cov[/г(Я),

/ г (v)] =

0, v ^ ± L

Г-*оо А Г

-ч

Теорема 9.3.4

показывает, что дисперсия /V (v) имеет порядок

Кг/Т. Поскольку

Кт -*■ 00, отношение

/Cr/Т будет

больше от­

Если фиксировать

целочисленную последовательность {/(г},

то различные оценки

можно сравнивать по величине интеграла

из этой таблицы и из табл. 9.3.2, для ядер с q =

2 характеристика

Таблица 9.3.3

ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЯДЕР

k(X) Д Л Я

1

1 * 1 ^ 1

f k:• (Ж) dX

- 1

в.

У сеченная

оценка

1

2

D.

М одифицированная

оцен­

1 - 4 * 1

2/3

к а Б артлетта

Е .

У сеченная

оценка

Д ан и ­

sin nxftnx)

0.90282336

эл я {Ь =

л1Кт)

1 — 2а + 2а cos их

F .

О ц енка

Б лэкм ена — Тью -

2 (1— 4а +

6а2)

ки

G .

О кно

Хеннинга

(1 + C O S J U )/2

_

3/4 = 0.75

Н .

О кно

Хемминга

0.54 + 0.46 cos пх

0.7948

I.

О ц енка

П арзена

1 — *2

1 6 /1 5 = 1.0667

J.

О ценка

П арзена

1— 6** + 61 х Is, 1*1 < 1/2,

151/280 =

0.5393

изменяться

противоположным образом.

(44) § 8.3, условие

Отметим, что,

как следует из соотношения

сю

(61)

будет

выполнено, если, например,

yt = р, + 2 Уsvt-s,

где

S = —СО

СО

2

| Vs 1<

00

и

первые четыре момента

последовательности

{vt\

5 = — 00

требованиям стационарности и

независимости

vt,

соответствуют

t — 0 , ± 1 .........

/ч

менить сгт

на с‘гТ

или на сгТ . В конце § 9.4 показано, что теорема

(66)

8 [fT(v) — f (v)]a = Var f T(v) + [%%(v) —? (v)]2

приблизительно равна (v Ф 0, ±

я)

(67)

^ / ’ (V)] k 4 x ) d x

+

^

k 2 {/M(v)}»,

где

(6 8 )

fW (V) = J L

2

\ r f

cos v r a (r).

Г——OO

Тогда

<69) lira Т т2ч+1) 5

[/г (v) — / (v) ] 2 =

=

yf%(v) $

A2 (x) dx + - ^

{fM (v)}2 A2.

_ l

i r

При этом предполагается, что функция k (х) =

k (—х) непрерывна

на {— 1, 11, выполнено

условие

(21) для

q 7> 0

и А > 0, выполнено

условие (37) для р =

00

оо

|х (г,

s, /) | < оо.

q,

2 | о (г) | < оо

и

2

г==—оо

r,S,t= —ОО

водная /

(А) в точке А .= v [см. (23)1. Из справедливости условия

(37) для

р — q следует, что эта q-я производная существует и непре­

1

1

(70)

А2 <. А*2, | А2 (х) dx <

( А*2 (х) dx.

—I

—I

9.4.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ

581

1

k

k1

J k* (X) dx

Е .

Усеченная оценка Да-

я2/6

я4/36 *= 2.7058

0.90282336

ниэля (Ь = п/Кт)

Р .

Оценка Блэкмена —

я*д

я4а2

2 (1—4а + 6аа)

Тьюки

Мы

покажем, что

величина

('Г /К т У f/г (v) — ©/г (v)]

имеет в

пределе нормальное распределение. Положим

оо

<1)

yt =*

2

Ys^-s.

S = s — ОО

оо

гДе

2

|YSI < ° ° .

а ivt) — последовательность независимых и оди-

$=-~00

случайных

величин, у

которых

%vt — О,

наново распределенных

&V/ — а2 и 8

i =

За4 -+- х4 <

с». Найдем предельное распределе­

ние

разности

U T — 8 i/r ,

гДе

<2)

Ц т =

l - щ г) '*

2

k (

i t )

C°S V* “F 2

У‘У‘+е

'

'

g=i

4

'

Разность

между

(Т/Кт)1/' I/г (v) — Щт (v)J и (UT — %Ur)!n равна

A(0)

l

£

,2