Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7654 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

8 .4 .

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

533;

Пусть

(61)

Тогда

(62) У TRr]k = 2 l(yt,k + Щ,к) (yt+i,k + ut+i,k) — yt,kyt+i,k] +

	+	2	1— Р/ (yt,k +	Щ,к)2+	pi,k!tfk] =
	T	- l
	= 2 [Ut,kyt+l,k + УикЩ-\-1,к + ut,kut+l,k] +
		T	[(P/.A— Pi) y \ k — 2ptyt.kUt.k —			6
	+ 2		[(P/.A— Pi) y \ k — 2ptyt.kUt.k —			PiUftk] = 2 T r
где		/=i				r = l
где	T - l				T
	T - l				T
(63)	7*1 =	2 Щ,кУг-\л,ь • • •,		T'e =	— Р/ 2	u<tk-
		t=\			t=l
Поэтому из (53), (56) и (60) будем иметь
(64)			V T R % =	2 г ;
				л=1

где 7V получается из Тг путем представления последнего линейной:

								Т - 1
комбинацией конечного или счетного числа членов вида 2									Vt-hVt-g*
								t=\
или	2 vt-hVt-g, исключая все члены, для которых h							=g.
	t=i
Теперь мы имеем
(65)	1	ИГ? <	Mr*	lim Mr.k = 0 ,		г = 1..........6 .
(65)	_	ИГ? <	Mr*	lim Mr.k = 0 ,		г = 1..........6 .
	1			k-*oo
Например,
(66)	%т? =	S		2		T - l
(66)	%т? =	S	Уи.Ъ+1	2	Vh'Vt+i		2 % V t - h V t - g V		t ' - h ' V t ' - g - ..
		h=r=g		\|A'\|.I«'+I>
Если		h=r=g
Если
(67)			%Vt—hVt—gPt'—h'Vt'—g'			0 ,
то мы имеем или t — h = f				— h',t	— g — f		— g' и тогда t'			— t =-
z= h’ — h = g’ — g, или t — h = t'					— g',	t — g = /'		— h'		и тог
да f	— t = g'— h — h’ — g; причем значение t' для ненулевой ком
поненты в последней сумме (6 6 ) (если такое							имеется)	однозначно

534 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.

определяется значением t. Из этого следует, что

(68) ю ? < (Г - 1)«* w>inis2{ u,+li>t IV»11V*-11VH11 У.-+11-

приводит К

<69)	■ f W - e - l g . H M } * .

которое показывает, что (65) имеет место для г = 3 . Аналогичные рассуждения применяются для г = 1, 2, 5, 6 , а для г = 4 мы поль

зуемся тем, что lim pi,k = р,. Тогда получим (58) из (65), исполь- k-+oo

зуя неравенство

(70)

< б к * т'2-

Это доказывает лемму 8 .4.2.в

Л емма 8.4.3.

В условиях теоремы 8.4.6

предельное распределе

ние для г{т есть N (0,

а%), когда Т -*■ <х>.

Д оказательство. Имеем

(71) z f = z T =

- 4 - 1 2

yhyh+ivUh — Pi 2

2 Y&2- J =

У1 L

f=l

h——oo

T — l— h

Г —ft

L 2

тлй+/

У1 2

v i U

У т \_h— — oo

u — l — h

h = — oo

u = l — h

- ^

2 ^

УнУь+i^ 2 vt +

U{T,hJ'■—

V T

■

i А

+ и ,Щ

f 2

YAYM-M^ — Рг ^

где

/ т Lft=-~

ft=

T — l— h

(72)

v%= 2

y?— 2 «?•

<=1-A

(=1

Тогда

<73)

g |t/(/!ft|< (2 |A| + 0 aa

8 .4 .		АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ					53S
л
(74)	%У?\ z f -	z P I <. O * [ J ^ I yh11 yH+lI (2 1h I +					1) +
		+ Ы	2	Yft 2 1Л11c		oo,
			A = — oo		J
поскольку
(75)	Г 2 \| A \| \| TJ \| YA+ Z \| T <		S	\| A \| t f	S	Iа д + / =
	L * = ~ o o	J	h = —oo	A = —>oo

Таким образом,

2	2 lg — ^lY g<°°-
n = — « >	g = — OO

(76) plim[z(/> — z<!>*] = 0.

7’-*> oo

Это и доказывает лемму 8.4.3.н

Л емма 8.4.4. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение для У Т (г, — р|) при Т ->• оо есть N (0, а»и).

Д оказательство. Это следует из леммы 8.4.3 и условий

(77)	У Т (rt — р,) =			Y T	Р;С°
					С0
И
(78)		plim с0 =		о(0) = о2 f j		v i
		7*••►оо			А = — оо
Последняя формула вытекает из следующей записи
(79)	7	/=1	+	2 l / u « a +		- ^ 2 « i:*
7	7	/=1		7 /=1		7 f=l
и использования
(80)	7	8 2	— а 2		Та О,
	7	/=1		\|А\|>А

когда k -*■ оо, и

536	ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, к о в а р и а ц и и и				с п е к т р а л ь н а я		ПЛОТНОСТЬ	Гл . 8.
когда			оо. В разд. 5.7.3 было показано, что
когда			сю. Это доказывает лемму 8.4.4.и
	Для	полного доказательства теоремы 8.4.6 отметим, что анало-
гичным			образом	можно показать,	что для	т	ki V Т (rt —р,),
						2
где	k	=	(klt ...,		-	/=.1		пре
				km) ' — произвольный набор		постоянных,

дельное распределение есть N (0, k'Wk). Тогда по теореме 7.7.7 сле дует, что совместное предельное распределение для У Т (г1 — р/),

/	= 1, .... ш, есть		N (О,	W).	теорем	8.4.6 и	8.4.1,		поскольку
	Следствие	вытекает		из
У~Т (ct — с]),		а значит,		и ] / Т (г, — г}) сходятся				по	вероятности
к	0 при Т	о о .
	Теорема 8.4.6, которая предполагает существование только
вторых моментов			величин		vt, была	доказана	Т.	Андерсоном и

А. Уолкером (1964). В предыдущих работах существование старших моментов величин vt всегда предполагалось. Например, Манн и

Вальд (1943b) при использовании стохастических			разностных
уравнений полагали, что § \| vt Г <	оо	для всех г >	0. Диананда
(1953) предполагал, что &vf < оо. Это		является ослаблением усло
вия $v6t < оо, использованного	ранее Хёффдингом		и Роббинсом

(1948). А. Уолкер (1954), обобщая метод Диананды для произволь

ного линейного процесса, сохраняет его условие Sv) < оо и требу-

оо

•ет, чтобы 2 | hyh| < о о . (Диананда и А. Уолкер рассматривали

h= — со

обобщение линейного процесса, в котором {о,} есть просто стацио

нарный процесс с конечной		зависимостью.) [Тот факт, что члены,
соответствующие	в (45)	не входят (это впервые заметил Барт-,
летт (1946, стр.	29)), делает	правдоподобной гипотезу о том, что

можно не предполагать конечности %v\.] Действительно, Т. Андер сон (1959, разд. 4) доказал результат, эквивалентный асимптотической нормальности величины г, для стохастического разностного уравне ния первого порядка. Настоящее доказательство, по существу, представляет собой обобщение указанного метода.

8.5. ПРИМЕРЫ

Представление о поведении выборочной ковариационной после довательности или выборочной корреляционной последовательности простого стационарного случайного процесса можно получить,

8.6.	ОБСУЖДЕНИЕ	537
рассмотрев искусственные	ряды, смоделированные Вольдом	(1965)

с использованием случайных ч$|сел, как это описано в § А.2. Выбо рочные корреляционные последовательности приведены там для случаев процесса авторегрессии второго порядка и изображены графически в § А.2 . Следует заметить, сколь они нерегулярны. Тео ретические спектральные плотности (и спектральные плотности,, определенные по оцененным процессам авторегрессии второго по рядка) представлены на рис. А.2 .7, А.2 .8 и А.2 .9.

Выборочная спектральная плотность (умноженная на постоян ную) ряда Бевериджа цен на пшеницу с выделенным трендом (опи санного в § 4.5) табулируется в табл. А. 1.3 и показана на рис. А. 1.3. Они также обнаруживают значительную вариабельность.

Другой пример выборочной спектральной плотности соответ ствует данным о числе солнечных пятен (рассмотренным в §5.9),. представленным в табл. А.3.2и на рис. А.3.1. Этот случай не похож, на другие. Здесь имеется довольно хорошо выраженный пик на частоте около 0.09 (период около 11 лет).

8 .6 . ОБСУЖДЕНИЕ

Информация, полученная из наблюдаемых временных рядов порожденных случайными процессами, стационарными в широ ком смысле, может быть представлена выборочным средним и соответственно выборочной ковариационной последовательностью, выборочной дисперсией и выборочной корреляционной: последовательностью, выборочной спектральной плотностью или выборочной дисперсией и нормализованной выборочной спек тральной плотностью. Выборочные ковариации и спектральные плотности подвержены значительной выборочной вариабельности. Ковариации или корреляции для малых запаздываний дают подхо дящую информацию о зависимости в процессе, но для больших за паздываний они менее информативны; меньшая зависимость мало* связана с выборочной вариабельностью.

Как мы увидим в следующей главе, выборочную спектральную

плотность можно сгладить,		чтобы получить		оценку теоретической,
спектральной	плотности с	относительно	малой изменчивостью.
Выборочная	спектральная	„		v
		функция FT (V ) =		^I (Я) dX является
состоятельной оценкой величины F (v) в				—л
			точке непрерывности и.

У Т [FT (V ) — F (v)] имеет нормальное предельное распределение. (См. упр. 26, гл. 9.) Ковариационная функция предельной нормаль ной функции распределения (для неотрицательных значений v)- подобна эмпирическим функциям распределения (0 < v < я), за исключением того, что спектральная функция распределения не

5 3 8 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л . 8 .

обязательно равна 1 при v = я; можно использовать соответствую щим образом измененные критерии/согласия. [См. Гренандер и Розенблатт (1957, гл. 6 ).]

ЛИТЕРАТУРА
§ 8.2. Ланцош	(1956).	(1946),	Парзен	(1957b).
§8.3. Бартлетт	(1935),	(1946),	Парзен	(1957b).
§ 8.4. Т. Андерсон (1959), Т. Андерсон и А. Уолкер (1964), Бартлетт (1946),
<1966), Диананда	(1953),	Манн	и Вальд	(1943а), (1943b), Олшен (1967),

А.Уолкер (1954),' (1965), Хёффдинг и Роббинс (1948). § 8.5. Вольд (1965).

§8.6. Гренандер и Розенблатт (1957).

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Разд. 8.2.2) Покажите, что если У\ о (t — s) не зависит от t, t =• 1, ...

S=1 Г

...» Г, то а (А) =з а (Т — A), А = 1, ..., Т* — 1. | Указание.

Т m in (l— 1 ,T—t) m ax(/— 1,7*—t)

2 a (t — s) = a (0) + 2	2	° (ft) +	2	a
s—1	A = l		ft= m in (/,r —< + l)
			t = 2	............... T — l,

T T—\ T

2 о (l — s) = 2 0 ( h ) ^ ^ a ( T - s ) .

s = l h—0 s = l

2. (Разд. 8.2.2) Найдите свойства симметрии семиинвариантов четвертого порядка.

a) Покажите, что

х (А, г, s) = х (A, s, г) = к (г, A, s) = х (г, s, А) = х (s, А, г) = х (s, г, А).

B) Покажите, что

х (А, г, s) = х (— А, г — A, s — А) = х (— г, А — г, s — г) =

= х (— s, А — $, г — s).

c) Найдите 15 других форм х (А, r, s).

3. (Разд. 8.2.2) Найдите SQi* определенное циклически, когда [yt] есть случайный процесс, стационарный в широком смысле.

4.(Разд. 8.2.2) Найдите gQ** определенное по последовательным разностям, когда {у{\ есть процесс, стационарный в широком смысле.

5.(Разд. 8.2.2) Пусть

Q = <*пУ\ + а22У\ + ^а\гУхУг*

Q = — (Лц + Даа) (У* + Ур + ЪйхгУхУг*

УПРАЖНЕНИЯ

539*

где	_	Ъуг — о, SyJ = 8уа= а (0),		&угу3 = а (1), а уг и у3 имеют двумерное
нормальное распределение. Покажите,				что
		8 Q — 8 Q = О,
		Var Q — Var Q =	(a„ — aa2)2 [o2 (0) -			о2 (1)].
	в. (Разд. 8.2.2) Пусть
		Q =	3p? +	«^ +	2<&
		Q =	+	2p, +	2y\,
где	$yt =	0, $ytyt+h = a (A), t =	1, 2, 3, h = 0,1, 2, a ylf y2, имеют совмест
ное нормальное распределение. Покажите, что
		& Q — 8 Q = о,
		Var Q — Var Q = 4 [а* (0) — За2 (1) +				2о2 (2)].

Покажите, что разность между дисперсиями может быть положительной, нулем* или отрицательной. [Указание. Для вывода последнего утверждения использовать стационарный гауссовский процесс первого порядка.]

7. (Разд. 8.2.2) Выведите леммы 3.4.3, 3.4.4 и 3.4.5 как частные случаи, теорем 8.2.4 и 8.2.5.

8. (Разд.		8.2.2)		Проверьте соотношения (51) — (55).
9. (Разд. 8.2.2) Проверьте формулу (58).
10. (Разд.		8.2.2)		Проверьте
8 с Л =	а(Л)		7 —Л		('-тгтг)«<°)+2(‘- т^тг)i						“«+
			7 —Л		('-тгтг)«<°)+2(‘- т^тг)i						“«+
	Г-1
+	2	f 1 — f = г ) а «				•	l < f t = r - 2 A - l ,
	Г=A+l v				'	J				_1
										_1
8 C A =	о (Л) •		T — h		(l-Tb-h<°>+(2—r~r)					I	"« +
							Г-1			r=l
					h — r		Г-1	r - h
					h — r	+		r - h		(r)
					T ^ h	+	2 (	T — h	) a	(r)
							r = h + \ \		) a
							1 < Г	- 2A— 1 < А < Г			— h — l r
8 сА= а(А )-т 1				7Г			т а ) а(г) +
							т а ) а(г) +
		Г-1
	+	2	(
	r«A-H '

Г — А— 1 < А < Г — 1.

‘540 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л. 8.

11.	(Разд. 8.2.2)			Выведите вторую часть формулы (65) из первой ее части.
								СО
12.	(Разд. 8.2.2)			Покажите, что если yt		= ц +		2	Ys^_s,		* = . . . , — I,
		оо						S = —- о о
		оо
‘О, 1, ...»	с	^	I Уг I < 00		и независимыми	vT9	%vr = 0		и	=	Из» то
					Т __I
(i)		Cov {у,		С0) =	2			2
Покажите,		что			Л = — ( Г — 1) '			' г = - с о
Покажите,		что
<<ii)					lim Cov (у, С0) =		0.
					T-+OQ
13. (Разд. 8.2.3) Покажите, что
ь'		( \ —	№ cos (v^/^) sin (v/^) — sm (v?72) cos (v/2)} sin (vT/2)
	T	—			2яГ sin3 (v/2)
14.	(Разд.		8.2.3)	Покажите, что
			kT (v ±		2nn) = kT (v),	n =	1,	2, . . . .
15.	(Разд. 8.2.3)			Покажите, что
		d sin (XT/2)			T cos (XT/2) sin (к/2) — sin (XT/2) cos (A,/2)
		dX	sin (Я/2) “			2sin2 (V2)

16.(Разд. 8.2.3) Покажите, что

sin [(A, ±	2яй) 772]		„ wr_ n	sin (ХГ/2)	t	,	ft
sin [(A, ±	2nk)/2]	v	’	sin (Я./2) ’		’	’

17.(Разд. 8.2.3) Покажите, что если {yt} состоит из независимых случайных

величин с %yt = 0, %у\ = а2 и %у\ = За4 + х4, то

л;

//лч

<*4

х4

о4

sin2 XT

X Ф 0, ±

я.

var

w -

(2я)2

i -

(2я)2r

i -

(2я)2 Г2

sin2 X ’

Var / (0) =

Var / (±

я) =

2а4

(2л)2

(2я)2 Т ’

Cov[/(X),/(V)] = - ^

о4

Гsin2 (X +

Я') Г/2

sin2 (Я — Я') 74/2"]

(2я)2 Т2

[ sin2 (X +

Х')/2

sin2 (X -

Х')/2 ] ’

X ф ± X'.

18. (Разд. 8.3.1) Проверьте условия теоремы 8.3.1 для процесса авторе грессии первой степени, когда IPil < 1.

19. (Разд. 8.3.1) Проверьте условия теоремы 8.3.1 для стационарного в широком смысле процесса, порожденного стохастическим разностным уравне нием.

20. (Разд. 8.3.1) Пусть ai, а2, ... — последовательность чисел и

stl == #1 “Ь #2 “f*		*** “f* &tli
Г	h + S2 +	*** + Stl	.
Sn --

УПРАЖНЕНИЯ

541

Покажите, что

= 2 (1— r ) v .

г—О х

i Указание. Воспользоваться

индукцией.]

21.

(Разд. 8.3.1)

Докажите,

что если

h (X)

непрерывна

при А, = v, | А(А,)|

ограничено,

^ l j (X) dX — 1,

Т — Т0,

•

. •,

-существует такое число /С, что

[ |lT (X) Idk < к ,

т = Т х.....

н если

—Я

М I ^

m7'n

^ ^

v»

71 = Т2,

. .. ,

где

n(A,)dA,+

n(l)dX<oo

—я

v+a

для

каждого а > 0

-> 0 при Т -*оо,

то

lim

[

h (X )lT (X)dX =

h(v).

7Г-->>оо J

—л

22.

(Разд. 8.3.2)

Докажите

формулу

(28)

для

С/*.

23. (Разд. 8.3.2) Докажите формулу (29).

24.

(Разд. 8.3.2)

Покажите, что для четных g — h ( > 0 )

sin [p (7* — ft)/2] sin [pi ( T - g ) /2 ]

(7* — g) sin2 (fi/2)

25.

(Разд. 8.3.2) Докажите, что

V/ <

00 следует из 2

I Y* I <

°9-

( Указание. Второе

условие

t= —оо

|у*| =

0.]

t= —oo

влечет

lim

f-+ioo

©о

СО

26.

(Разд.

8.3.2)

Докажите,

что

° 2 №

°°* если Ut =

Ys*V_s,

оо

h——oo

s——ОО

I Ys I < °°. ^

= °»

&-/ =

о2.

= 0.

* ¥* *•

ОО

27.

(Разд.

8.3.2)

Докажите,

что

из

условия

I Y* 1 < ° ° следует,

что

*=—оо

f (*) = о2 2

/(2л) непрерывна.

542 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ. КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Г л . 8 .

28.

(Разд.

8.3.2)

Пусть

<// = 2

У^-в>

t =

•••* ~

1........ где

у, =*

S = 1

= (— 1 )*//, 8 ^ =

8yJ =

a2,

8^ys =

0, t Ф s.

Покажите,

что

2 JL

а № = М ) АТ 2 т *

h = 1 , 2 , . . . .

оо

Покажите,

что

02 W <

оо.

h=—оо

оо

c) Покажите,

что

° Ф ) <

f t = — ОО

29.

(Разд. 8.3.2) Докажите, что из

условия

0 W <

° °

не

следует, что

оо

Н~

оо

2 О2 (Л) <

00.

Л=—о©

30.

(Разд. 8.3.2)

Покажите, что из условия

< сю следу*

s ,r ,qИ= — oo K(s.

Г,

q )

ет формула (56) для любого h. Покажите, что это условие влечет за собой су ществование пределов трех семиинвариантных сумм четвертого порядка в фор муле (54).

31.(Разд 8.3.2) Найдите

lira (Т - g) [(Г - A) Cov (Cg, Ck) - (Т - h) Cov (C* C„)],

T-*oo

используя интегральные представления ковариаций, когда х (r, s, t) = 0 и f (%} непрерывна при — л < К < я.

т_

32. (Разд. 8.4.3) Покажите, что 2 atyt^VТ имеет нормальное предельное

*=1

распределение,'если | щ | < 1 и {yt} состоит из независимых и одинаково распреде

ленных случайных величин с	%yt = 0 и	=	а2 < о о . [Указание. Показать, что
			оо
{atyt} удовлетворяет условию	Линдеберга.		Если 2	а<\ < °°, т° дисперсия
нормального предельного распределения			t=\
нормального предельного распределения		равна 0.]

33. (Разд. 8.4.4) Покажите, что

(S |х 4х гх 3х 41)* < 8 x f i x 428 x j& x 4.

[ Указание. Использовать				условие, что			(8 1	I)2 «ч	где	К, =	А, Х2 а
Уг = Х 3Х 4.]						ОО
						ОО
34. (Разд.	8.4.5)		Пусть		yt =	2	YeV—s гДе величины vt			независимы »
						5=<—00
одинаково распределены				с	8 ^ =	0, 8i^ =		о2, 8о£ = За4 +	х4 <	оо.	Пусть.
7*		I T
plim У \ ctDytys /		У\	b\pytys = а /p. При каких условиях дисперсия асимптоти-
г-ю© /,5=1	/	/,5=1	этого отношения				не зависит от х4?
чёского распределения			этого отношения				не зависит от х4?

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7654 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf