Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 7668 69 70 71 72 73 74 75 76 > Следующая >>>

			УПРАЖНЕНИЯ							6 7	$
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Разд. 10.2.1)		Покажите, что		ковариационная				матрица векторов b и Ь*
равна
/8 (Ь- Р) (Ь -	» '	8 (Ь - Р) (Ь* -		Р)' \
\8 (Ь* —' Р) (Ь — Р)'		S (Ь* — р) (Ь* — р)'/
_	/ (Z 'S -'Z )-1		(Z 'S -’Z)-1			\	_
~~ ItZ 'S -'Z )-1			(Z 'Z )-!Z'SZ		(Z 'Z r1./		-
_	/(Z 'S -'Z )-1		О	W Z 'S -'Z		Z'Z \		/	(Z'Z-'Z)-1	0 \
	\	0	(Z'Z)- 1 / \		Z'Z	Z 'S Z /l			0	(Z'Z)- 1 /

2.(Разд. 10.2.1) Докажите, что для невырожденной матрицы G соотношение *

(15)равносильно соотношению Z = V*C, в котором 2V* = V*A, матрица А днагональна, а С не вырождена.

3.	(Разд.	10.2.1) Докажите, что если ранг матрицы А размера Т X Р равен г,,
то существует		ортогональная матрица Q размера Т X Т, такая, что последние
Т — г	строк матрицы Q'A состоят целиком из нулей.

4.(Разд. 10.2.1) Составьте алгоритм для определения максимального числа* линейно независимых линейных комбинаций столбцов матрицы Z, являющихся характеристическими векторами матрицы 2.

5.(Разд. 10.2.2) Покажите, что оценка Ь* является эффективной тогда иг»

только тогда, когда ранг ковариационной матрицы вектора (Ь' Ь*') равен р.

т		т
6. (Разд. 10.2.3) Покажите, что из условий^ г ^ - о о н г ^ . j / 2 zj			0 пря*
м	т	т*=I
Т -*оо еще не вытекает существование предела lim	2	*?•	(Указ&~
Г-4-00	ы	t==l

ние. Построить пример, в котором этот предел ^не^существует, полагая z# =

в такой последовательности, чтобы

извольно больших значений Т.)

2 ztzt+ \/ 5 А Достигало Он 1/2 для про?-

i=\

		оо
7. (Разд. 10.2.3) Покажите, что	если	2 I 9u(h) \ <оо, i = 1, ...» р, то су-
ществует положительно полуопределенная		Л = — оо
ществует положительно полуопределенная		матричная функция m (X,), такая, что*
	я
R (Л) =	\| eiU m (Я,) dX.

8. (Разд. 10. 2. 3) Покажите, что если матрица А положительно определена^ то из выполнения неравенства и' А и < и'и для всех и вытекает выполнение для?-

всех и и неравенства и'и < и' А-1 и и обратно.

9.(Разд. 10. 2. 3) Пусть матрица А симметрична, а матрица В положитель

но определена. Покажите, что выполнение неравенства х' Ах < х'В х для все*

х равносильно тому, что все	корни	уравнения \| А — 0В\| == 0 не превосходят 1,
(Указание. Использовать упр.	30 гл.	6.)

674

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Гл. 10.

10.(Разд. 10. 2. 3) Докажите, что

лм

2л J

/ (Я,) dM (к) = J udT (и).

11.

(Разд.

10. 2.

3) Пусть L/ — положительно полуопределенная матрица раз-

мера р

X р

ранга

я/,

/ =» 1,

..., G. Покажите,

что если

2 я/ =• Р и

/=1

L/ =

то

/=1

L/L/ = 0,

* *

{Указание. Существует ортогональная матрица Qi, такая, что матрица Q| LI

= Di диагональна. Доказать,

что ранг Di

равен щ,

матрица

Q J 2 L/ Qi =

диагональна

и имеет

ранг р — п±,

/=2

Du = I, D12 =

и применить индукцию.)

12.

(Разд.

10. 2. 3) Покажите, что из равенства J

dJ^Ni (Я) =

0 вытекает ра-

венство

| d j М (Я) =» 0. (Указание. Использовать тот факт, что матрица

)

dM(fy

положительно

полуопределена.)

эрмитова и

•»

(Разд.

10.2.3)

Покажите, что для

0, 1, ...

lim

Г-Л

cos Я (t +

cos kh,

cos

Т-юо

[ T

0 ^

А <

я,

lo ,

T -h

- sin ЯЛ,

0 <

v =

Я <

я,

Нш

cos

sin Я (* +

Т->оэ

/—1

0 <

v Ф Я <

я,

T - h

cos Я/t,

0 <

v =

Я <

я,

Пш

ft)

= ^ T

sin vf sin Я (t +

Т-+СО

f - i

>o,

0 <

v Ф Я <

я.

14.

(Разд. 10.2.3) Покажите, что

lim

/ ,

tn =

п =

Т-*00

Tn+1

ti "j-1

Я 1

{Указание.

тт+ l

УПРАЖНЕНИЯ

67&

15. (Разд. 10.2.3) Покажите,

что для п =

1, ...

И гл

tn cos vt

7 П + 1

Г -voo

0 < v <

2JI.

lim

sin vt =

-----I _

T -voo

/1 + 1

Указание. Этот

результат

для

п =

вытекает

из

леммы 4.4.1,

а для

я =

из

упр. 2 гл. 9. Далее следует провести индукцию с использованием упр.

11 гл.

и соотношений

2 sin —

v cos vt

sin v

j — sin v ^ -----—J »

2 sin

—

v sin vt

cos v ^ ------— cos v ^

•

16.

(Разд. 10.2.3) Покажите, что для п =

0, 1, ... и для

А -

1, ...

Т—h

cos kh,

0 < V =

X <

Я,

tn cos v* cos k

(t +

h) =

П+1

t=]

l o

0 <

v Ф А <

я,

lim

T—h

■sinkh;

0 <

v =

A <

- 2

tn cos vt sin k

(t +

n + l

7’-voo

0 ^

v Ф A ^

lim

T—h

cos kh,

0 <

v =

A <

- 2

tn sin vt sin k

(t +

n + l

Г - ю о

/= 1

(Указание. Использовать упр. 2 из гл. 4 и упр.

14 и 15.)

17. (Разд. 10.3.2) Докажите (26).

18.

(Разд. 10.4.1)

Покажите,

что если функция

регрессии

имеет вид pi +

+ Р2(— 0* и г\ определяется

циклическим образом,

то г* — 0,

7 =

- R

R < T

рг

/ 2

7 = 8.

( \ - У Ъ R )\

0 < Я <

19.

(Разд. 10.4.1)

Покажите,

что

если

функция регрессии имеет вид pi +

4" Р2(— О* +

р3 cos я*/2 +

р4 sin nt/2

и г\

определяется циклическим образом*

то

Рг {г\ > R) =

-L (1 -

Уч

R),

Г = 8.

20.(Разд. 10.4.2) Покажите, что характеристические корни симметрической

матрицы В размера 7 X 7 равны 1 (кратности т) и 0 (кратности 7 — т ), если В2 = В имеет ранг т. (Указание. Если характеристический вектор w матрицы В соответствует корню р, то в матрице В2 этот характеристический вектор соответ ствует корню ра.)

£76

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Гл.

10.

21.

(Разд. 10.4.2)

Покажите,

что для

любых двух

квадратных

матриц А

В одинакового

размера

tr (А +

В)* =

tr (А® +

2АВ +

В*),

tr (А +

В)3 =

tr (А3 +

ЗА3В +

ЗАВ* +

В3),

tr (А +

В)4 =

tr (А4 +

4А3В +

4А2В3 +

2АВАВ +* 4АВ3 +

В4).

22.

(Разд.

10.4.2) Покажите,

что

(36) равно

tr А, — tr(Z'Z)-1

Z'AjZ,

k =

fr Aj — 2 tr (Z'Z)-1

Z'AfZ + tr [(Z'Z)-1

Z 'A ^l2,

k = 2,

{tr Af — 3 tr (Z 'Z )-1 Z'A|Z +

3 tr (Z'Z)- 1

Z'AfZ (Z'Z)-1 Z'A,Z -

— tr [(Z'Z)-1 Z'AjZJ»),

k =

23.

(Разд.

10.4.2)

Покажите,

что

если

Zt = t — (Т +

1)/2,

t «

1........ Г

■5» Ai — матрица, соответствующая сумме

квадратов последовательных разностей,

-то

tr А, -

tr (Z 'Z )-1 Z'AjZ

(Т -

2) (Т +

Т (Т + 1)

Т ( Г

1) ’

24.

(Разд. 10.4.2)

Пусть

(1, 2', У ..... Г ')\

т(0) =

е =

(1,1..........1)'

Ai — матрица,

соответствующая

сумме

квадратов последовательных разностей.

^Покажите, что

- • " ’ + ( J )

+ • • • + (s | / и )

- i- (I. 0.

. . . ,

0. тг -

(Г +

1)1у.

-^cos

25.

(Разд.

10.4.2)

Начертите

графики

функций (Т* -f-

1 — 2f)/(T — 1)

я ( / —

t/2)/T

для

значений

/ а

...,

Т.

26.

(Разд.

10.4.2)

Пусть

Ai — матрица из

разд. 6.5.4,

а В =

1 — (1/Г) х

Покажите,

что характеристические корни матрицы

B'AiB

равны

/ 5 — 1	1	Г _ „ .
4	4 *
		4

Приложение А

С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Е Д А Н Н Ы Е

А.1. ИНДЕКС БЕВЕРИДЖА ЦЕН НА ПШЕНИЦУ

В § 4.5 был кратко описан ежегодный индекс цен, построенный Бевериджем (1921), по которому с 1500 по 1869 г. продавалась пше ница на европейских рынках. В табл. А. 1.1 приведены как значе ния самого индекса, так и значения, полученные после выделения тренда в соответствии с § 4.5. Полученный в результате выделения тренда индекс представлен графически на рис. А. 1.1. [Выделение тренда из указанного ряда рассматривалось также Гренджером и Хагсом (1969).]

Первые 60 корреляций затабулированы в табл. А. 1.2 и представ

лены графически на рис. А. 1.2. При этом г \ — Cl/Co.

Бевериджем была также приближенно построена соответствую

щая спектрограмма R 2 (v) для частот вида k IN ,	где N — целые
числа (как правило, делящиеся на 4) в интервале от	276 до 356. Бе

веридж (1922) вычислял значения /?2 (v) последовательно для частот, вблизи которых наблюдались локальные максимумы. Результаты вычислений приведены в табл. А. 1.3. (Мы не исправляли ошибок вычислений, поскольку среди них как будто бы нет таких, которые могли бы привести к ошибочным выводам.) Значения выборочной ■спектральной плотности пропорциональны значениям спектрограм мы. Последние представлены в логарифмическом масштабе на рис. А. 1.3. Значения частотна рис. А. 1.3 взятые шагом, приблизительно равным 0.002.

Значения коэффициентов корреляции из табл. А. 1.2 использо-

вались для вычисления оценки 2л/г (А,) с окном Блэкмена — Тьюки при а — 0,25 (окно Хеннинга). Значения К полагались равными 10, 20 и 30, а значения % — равными 2л/7200, / = 1, ..., 100. Полу ченные оценки табулированы в табл. А. 1.4 и представлены в лога рифмическом масштабе на рис. А. 1.4. В табл. 5.5 были приведены •оценки коэффициентов процессов авторегрессии, которыми можно приблизить ряд Бевериджа после выделения из него тренда. Умно женные на 2л оценки нормированной спектральной плотности по данным табл. 5.5 для р = 2, 6, 8 представлены в логарифмическом масштабе на рис. А. 1.5. При этом в качестве оценок использовались спектральные плотности соответствующих процессов авторегрессии.

678

Та б л и ц а А . 1 .1

ИНДЕКС БЕВЕРИДЖА ЦЕН НА ПШЕНИЦУ С ВЫДЕЛЕННЫМ ТРЕНДОМ

		Реаль	Индекс		Реаль	Индекс		Реаль	Индекс-
		ный	с выде		ный	с выде		ный	с выде
		индекс	ленным		индекс	ленным		индекс	ленны м
		индекс	трендом		индекс	трендом		индекс	тренд ом
1500		17	106	1534	16	76	1568	34	77
1501		19	118	1535	22	102	1569	36	80.
1502	’	20	124	1536	22	100	1570	43	93
1503 ’		15	94	1537	16	73	1571	55	112
1504-		13	82	1538	19	86	1572	64	131
1505		14	88	1539	17	74	1573	79	158
1506		14	87	1540	17	74	1574	59	113
1507	•	14	88	1541	19	76	1575	47	89
1508		14	88	1542	20	80	1576	. 48	87
1509		И	68	1543	24	96	1577	49	87
1510		Д6	98	1544	28	112	1578	45	79
1511		19	115	1545	36	144	1579	53	90
1512		23	135	1546	20	80	1580	55	90
1513		18	104	1547	14	54	1581	55	87
1514		17	96	1548	18	69	1582	54	83	'
1515		20	110	1549	.27	100	1583	56	85
1516		20	107	1550	29	103	1584	52	76
1517		18	97	1551	36	129	1585	76	110
1518		14	75	1552	29	100	1586	ИЗ	161
1519		16	86	1553	27	90	1587	68	97
1520		21	111	1554	30	100	1588	59	84
1521		24	125	1555	38	123	1589	74	106
1522		15	78	1556	50	156	1590	78	111
1523		16	86	1557	24	71	1591	69	97
1524		20	102	1558	25	71	1592	78	108
1525		14	71	1559	30	81	1593	73	100
1526		16	81	1560	31	84	1594	88	119
1527		25.5	129	1561	37	97	1595	98	131
1528		25.8	130	1562	41	105	1596	109	143
1529		26	129	1563	36	90	1597	106	13*
1530		26	125	1564	32	78	1598	87	112
1531		29	139	1565	47	112	1599	77	99
1532		20	97	1566	42	100	1600	77	97
1533		18	90	1567	37	86	1601	63	80

Таблица A. 1.1 (продолжение)

	Реаль	— --------		Реаль-	Индекс		Реаль
	Реаль	Индекс		Реаль-	Индекс		Реаль
	ны й	с выде		ный	с выде		ны й	•
	ны й	ленным		ный	ленным		ны й	•
	индекс	трендом		индекс	трендом		индекс
1602	70	90	1637	114	105	1672	72		84
1603	70	90	1638	103	97	1673	89		106
3604	63	80	1639	98	93	1674	114		134
1605	61	77	1640	103	99	1675	102		122
1606	66	81	1641	101	99	1676	85		102
3607	78	98	1642	110	107	1677	88		107
3608	93	115	1643	109	106	1678	97		115
3609	97	94	1644	98	96	1679	94		113
3610	77	93	1645	84	82	1680	88		104
1611	83	100	1646	90	88	1681	79		92
1612	81	99	1647	120	116	1682	74		84
1613	82	100	1648	124	122	1683	79	■	86
1614	78	94	1649	136	134	1684	95		Ю1
3615	75	88	1650	120	119	1685	70		74
1616	80	92	1651	135	136	1686	72		75
1617	87	100	1652	100	102	1687	63		66
1618	72	82	1653	70	72	1688	60		62
1619	65	73	1654	60	63	1689	74		76
3620	74	81	1655	72	76	1690	75		79
1621	91	99	1656	70	75	1691	91		97
3622	115	124	1657	71	77	1692	126		134
1623	99	106	1658	94	103	1693	161		169
3624	99	106	1659	95	104	1694	109		111
3625	115	121	1660	110	120	1695	108		109
3626	101	105	1661	154	167	1696	110		I'll
1627	90	84	1662	116	126	1697	130		128
3628	95	97	1663	99	108	1698	166		163
3629	108	109	1664	82	91	1699	143		137
1630	147	148	1665	76	85	1700	103		99
3631	112	114	1666	64	73	1701	89		85
1632	108	108	1667	63	74	1702	• 76		72
3633	99	97	1668	68	80	1703	93		88
3634	96	92	1669	64	74	1704	82		77
3635	102	97	1670	67	78	1705	71		66
1636	105	98	1671	71	83	1706	69‘		64

680

I I I

1707 75

1708 134

1709 183

1710 113

1711 108

1712 121

1713 139

1714 109 1715' 90 1716 88 1717 88 1718 93 1719 106 1720 89 1721 79 1722 91 1723 96 1724 111 1725 112 1726 104 1*727 94 1728 98 1729 88 1730 94 П31 81 1732 77 1735 84 1734 92 1735 96 1736 102 1737 95 1738 98 1739 125 1740 162 1741 113

Таблица А. 1.1 (продолжение)

Индекс		Реаль		Индекс		Реаль	Индекс
с выде		ный		с выде		ный	с выде
ленным		индекс		ленным		индекс	ленным
трендом		индекс		трендом		индекс	трендом
69	•1742	94		90	1777	135	94
125	1743	85		81	1778	125	87
175	1744	89		84	1779	116	79
108	1745	109		102	1780	132	87
103	1746	110		102	1781	133	88
115	1747	109		100	1782	144	94
134	1748	. 120		109	1783	145	94
108	1749	116		104	1784	146	92
90	1750	101		90	1785	138	85
89	1751	113		99	1786	139	84
89	1752	109		95	1787	154	93
94	1753	105		90	1788	181	108
107	1754	94		80	1789	185	108
89	1755	102		СО	1790	151	86
79	1756	141		117	1791	139	78
91	1757	135		112	1792	157	87
94	1758	118		95	1793	155	85
110	1759	115		91	1794	191	103
111	1760	111		88	1795	248	130
103	1761	127		100	1796	185	95
94	1762	124		97	1797	168	84
101	1763	113		88	1798	176	87
90	1764	122		95	1799	243	120
96	1765	130		101	1800	289	139
80	1766	137		106	1801	251	117
76	1767	148		113	1802	232	105
84	1768	142		108	1803	207	94
91	1769	143		108	1804	276	125
94	1770	176		131	1805	250	114
101	1771	184		136	1806	216	98
93	1772	164		119	1807	205	93
91	1773	146		106	■1808	206	94
122	1774	147		105	1809	208	94
159	1775	124	'	88	1810	226	104
110	1776	119		84	1811	302	140

681

Таблица А.1.1 (продолжение)

	Реаль-	Индекс		Реаль-	Индекс		Реаль	Индекс
	ный	^ выде-		ый	с выде-		ный	с выде
	ньш	ленным		“	ленным		ный	ленным
	индекс трендом			индекс	трендом		индекс трендом
1812	261	121	1832	151	82	1851	180	86
1813	207	96	1833	144	80	1852	223	105
1814	209	96	1834	138	78	1853	294	138
1815	280	130	1833	145	82	1854	300	141
1816	381	178	1836	156	88	1855	297	138
1817	266	126	1837	184	102	1856	232	107
1818	197	94	1838	216	1.17	1857	179 *	82
1819	177	86	1839	204	107	1858	180	81
1820	170	84	1840	186	95	1859	215	97
1821	152	76	1841	197	101	1860	25?	116
1822	156	77	1842	183	92	1861	236	107
1823	141	71	1843	175	88	1862	202	92
1824	142	71	1844	183	92	1863	174	79
1825	137	69	1845	230	115	1864	179	81
1826	161	82	1846	278	139	1865	210	94
1827	189	93	1847	179	90	1866	268	119
1828	226	114	1848	161	80	1867	267	118
1829	194	103	1849	150	74	1868	208	93
1830	217	п о	1850	159	78	1869	224	102
1831	199	105

Примечание. В графе «Реальный индекс» представлены значения среднего индек са, полученные усреднением отдельных индексов для соответствующих рынков. Начало отсчета определяется следующим условием: средняя цена за период с 1700 по 1745 г. равна 100.

Значения, указанные в графе «Индекс с выделенным трендом», получены для каждого года как процентное отношение реального индекса для этого года к сред нему значению реальных индексов за период в 31 год, для которого данный год является серединой.

682

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 7668 69 70 71 72 73 74 75 76 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf