книги / Статистический анализ временных рядов

8 >

(v) непрерывна при v

и предел справа существует;

. /

— 0

есЛи 1

lim Var / (я) — lim Var / (— я) =

{ J O )

Т -+00

Т-ьоо

7

2 f ( n ) + i i r n 1^

2

( - l ) '+ s+''+s'x ( s - / ,

t ' - t , s' — 0 »-

f ,S ,* ',S '= l

Ац f (v) непрерывна при v

= я

и предел справа существует;

^ 4 )

lim Var / (А,) =

Т-+оо

7

/•(ЛН - Н т ^ ^ т

cos X(t — s) cos A (t' — s') и (s — t,

2

I

s,M\s'=l

t' — t,

s' — t),

A =^= 0,

±

если f (v) непрерывна при

v =

А и предел справа существует, и

(75)

lim Cov [/ (Л.), / (А')] =

'

Т-►ОО

= lim 4& W

2

cosA(^ — s)cosA '(/'— s')x (s — /,

V— t, s’— t)r

Г-*00

1 ,

± Kr

если f (v) ограничена на (К — б, А + б) и (А' — 6 , А' +

б)

для нетто-

рого б >

0 и предел справа в (75) существует.

Лемма 8.3.5. Если

Г-1

(76)

lim-ir

|и(г, и, да)| =

0,

2

r,u,w=-a- и

то

(77)

Нт

2

cos ^ V — s) cos А' (*' — s') х

X X(S — t,

t '~ t ,

s' — 0 = СА­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сделав замену s = t + г, f

= t +

и, s' — t -b

+ а»,

имеем

r

(78)

cos A (t — s) cos A' (f — s') x (s — t, V — t, s'— t)

~

2

< . - f r

2J

lK(s— t, V — t,

s' — O K

f,S ,/ ' , $ ' = 1

1

7

7—1

1

7-1

| x ( r ,e ,

w)|.*

<-fr2

S

|x(r, И, «0)1=-=-

2

г,ы,ш=—(7—1)

г,м,ш=—(7—1)

Следствие 8.3.3. Если (76)

выполняется и f (v) непрерывна при

v = 0

и v = я, то

(79)

limVar 7(0) = 2/г(0),

lim Var / (±

я) = 2 /* (я).

Т-* ос

T-+OQ

Если /

(v) непрерывна при v — X, то

(80)

lim Var/(*,) =

/* (Я),

ХФО,

± я .

Т~¥0О

Если f (v) ограничена на (Я — 6 , Я +

8 ) и (Я' — б, Я' + б) для неко­

торого б > 0 , то

(81)

limCov[ /(Я), / (Я')] = 0 , Х ф ± %' .

Т -ь о о

Важно заметить, что дисперсия величины 7 (Я) не стремится к

О при

Т —> оо. В действительности,

как мы увидим позднее, 7 (Я)

линейный

процесс,

то

соответствующий

член,

умноженный

на

Т, равен

(82)

- p j r

S

cos Я (/ — s) cos Я' (f — s') к (s— 7,

t,s' — t) =

S ' = l

X

T

”

4n*T

2

c o s

^

^

s ) c o s

W

О

2 YP +*YP + SYP +*'Y P + S' ^

/,s ,r,s '= l

p= —oo

T — 1

o o

= тфг

2

C0S

C0S ^ 'r

2 2

2

YP+S-HYP+SYP+S'+^YP-K*

где Sr =

{1, 2,

...,

T — г) для r >

0 и Sr = {1 — r,

2 — r, .... T}

для r <

0. Абсолютное значение выражения (82)

не

больше,

чем

(83)

I К I

^

°°

4д2^г

2

2

I YP +* 11 YP + S 11 YP + / ' 11 YP -H ' I ^

^»S»// ,S , =ssl P — — OO

<

1 ^

* 2

2

I YP +< 11 YP + S 11 YP +<* 11 YP + »' I =»

/ = » ! s , / ' , s ' , p = — o o

<90)

lim

2

cos cos ^'r a (r) a

=

W 0

r-*oo г>г»=^(7'_1)

= W

2

cos %rcos K'r'a (r) a (/•') = -^£- / (Я) / (Я').

r , r ' =

---- OO

oo

(93)

™1

2

cos Яг cos ЯГ 2 2 а (?)

г,г'=-(Г-1)

q= — оо

1

2

I

г- '

gflbf-|-ьУУт*——

2л8

Т -

2

о

_<7= — оо

г,г'=-(Г-1)

1

1

sin

Я (2Т — 1)

sin —- Я' (2Т — 1)

2 *19)

2

2____

->о,

2л8

•

1

а

sin — Я'

L<7=

sin —

Я

2

2

Теорема 8.3.8. Если / (v) непрерывна при v

= 0 , то

<94)

Нш Г&Л2 (0) =

8 я / (0),

T-+OQ

<95)

lira T S 5 2 (0) =

0;

Т -VOO

если /

(v) непрерывна при v =

я , то

<96)

Нш ГЛА2 (± я) = 8 я / (я),

Т -*>оо

(97)

Нш ГЛ52 (± я) = 0;

7’-*'оо

«ели /

(v) непрерывна при \ — X, то

<98)

Нш Г8 Ла(А.) =

4я/ (Я.),

Хф9,

± я ,

(99)

Т-*оо

Н тГ 8 £ 2 (А) =

4я/(А),

А .# 0 ,

± я ;

Т-+00

«ели / (v) непрерывна при v =

А и v = А', то

<1 0 0 )

Нш ГИЛ (А) А (А') =

0,

Я=7^= ±

Я',

Т-+оо

<1 0 1 )

Нш Т%В (А) В (А') =

0,

Я

±

V,

Т-+СО

<1 0 2 )

Нш ТЬА (А) В (А') =

0.

Г-*-оо

Если 7 М (А) и / Г В (А)

имеют

нормальное предельное рас­

пределение, то V Т А (А)/|/4я/ (А)

и

(А)/ |/ 4я/ (А), А Ф 0,

d= я имеют нормальное предельное

распределение со средним зна­

<103)

г 4*(А) + В2 (А)

T RHX)

2IQ.)

4я/ (Ь)

7

4я/(Х)

f (к)

€.4.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРОЧ­

оо

Теорема 8.4.1. Если yt = р + 2 Vsy<-s> г^е

состоит из не-

8——оо

518

ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Гл. 8.-

00

= 0

и &V? = а 2 и

2 I Vt I < 0 0 » moV Т (у — р) имеет нор­

мальное предельное

распределение со средним значением 0 и

дис­

персией

( 1)

2 о (г).

г*=—00

оо

Теорема 8.4.2. Если yt = р + 2

Ysy/-s, где {о,} состоит из

S = — ОО

'

оо

=

0,

=

о2

и

=

За4 +

х4 <;

оо

и 2

1т*|< 00 > то'

™

[ С о - а

(0)],

V T [ C n - o { n ) ]

* = - ° о

предель­

К г

имеет нормальное

ное

распределение со средним значением 0 и ковариациями

(2 )

limTCov (Ch,Ce) =

00

=

| ]

[o(r + h) о (г +

g) 4 - <т (г — g)o(r 4 - h)\ -f

о (h) о (g) =

Л=—OO

0

Jt

=

4я

J cos xg cos xhf2(v) dx 4 -

о (h) о (g).

—П

Д оказательство. П оложим p =

0. Пусть

(3)

k

Ht*** 2

ffit—,

T-h

s=-ft

(4)

J

Ch,k = т~—Ц S

yt*yt+h.k —

j

T-h

k

h — 0, 1, .

> T — I

= Y —h 2

2

T .W -.B 4 W ,

520

ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Гл. 8,

(11)

о

V T

Т — Н

OJ -

T_ h 2

(12)

о

V T

T - h

-

^ T

—/1

2

t=i

Положим Vs =

Vs ДЛЯ l s l <■ k, Vs

= 0

ДЛЯ |s| >

k,

И пусть Vs

= О

для | s | <

k и Vs

=

Vs Для I s | >

k. Тогда (для 0 <

h

k)

(13)

SSj ~

V T o2

2

VsVs+л»

S s = ---- OO

(14)

SS2 = K

f a 2

J

VSVS+A,

S = — OO

(15)

s s , =

>/r<T2

f ;

VSV + A.

Заметим,

что

(1 6 )

8 S ,

+

i§S2 +

$S3 =

j / f

SC A — j / T

Дисперсия величины S3есть

(17)

V^r *Sg =

^ T

T~:h CoV{UttkUt~\-h,ki

^t\k^t'-\-h,kj

= w

T

^

^

00

* *

* *

=

w

2

2

VsY.Ys'Y,' X

t,t' =

1

S ,r,S #, r ' =

— OO

X CoV (t>,_st>f+ft_,,

0/,_s'^'+A-,') =

T

^

^

Г

2

* *

*

*

=

- n

r =

W

2

K

YsYs-/+<'YrY^-<+<' 4*

/,< '= 1

L

S , r = - « >

+

04

2

YSYS-/+*'+AY'Y'--4-<,- A+

s,r — — OO

I

*

.

,

.

.

1

+ K4

2

YsY«-/-H'Y»+AY*-<+<'+fc •

S = — oo

J

Таким образом, для T ;> 2/г

(81)Var S3 <

—

ft ° 4

2

IY* 11 YS+ P

11 Yr 11 Y*+P I +

P,S,r=L— OO

+ ° 4

2

IY* 11 Y*+P + A 11Y* 11 У г + p - h

| +

P>S,r= > —OO

OO

<

*

*1

+

K4

2

I Ys* 11 Ys+P 11 YS+ A 11 Ys+P+A I

Pf S = —-OO

Т е о р е м а 8.4.3. Если yt = р +

2 Уs°<-s. где {и,} состоит, из-

S=

— о о

2

IY* I <

и если

t— — о о

(23)

sup J

iPdFt(v)-+ О,

при

с-^оо,

то УТА(%,), VTBiK), .... УТА(К), УТВ(%п), 0 <

< Я / < я , Я; Ф Я/, i Ф /, i,j =

1, ..., и, имеют нормальное предель­

ное

распределение со средними

значениями 0 , нулевыми ковариа­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что р — 0. Пусть

(24)

^(Я ) = - | - 2 Ум cos U.

/=1

= ~ Т & 2

cos М cos М '

2

YsTs'^-sO/'-s'=•

= 4r 2

YsYs'a2 2 cos Я^ cos Я (^ — s -f s%

ls|,|s'|>*

t

где суммирование no t проводится

для значений t и t

— s + s' меж­

ду 1 и Т. Перестановка

суммирования по s и s'

и математического)

ожидания оправдывается тем фактом, что

(26)

I

S 2

ly sIIV‘d !vsvs' I,

Js,s'

«s'