книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf9 .2 . |
ОЦЕНКИ. ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ |
553 |
Функция Н2т. |(^) = sin (К/2) (2Т — 1)/|2я sin (A,/2)J для Т = 5.
ко Т косинус-функций.J Окно да (А, | 0) — kj (А) неотрицательно и имеет максимум, равный 77(2я), в точке А = 0 и минимум, равный О, в точках А = ± k2n/T, k = 1, ..., (Г — 1)/2 или TI2. Между его нулями, в точках, являющихся корнями (А Ф 0) уравнения А772 =
= |
Т tg (А/2), расположены локальные максимумы. Указанные кор |
ни |
приближенно равны ± (2k + 1) п/Т для k = 1....... (Т — 2)/2 |
или (Т — 1)/2. (Если Т нечетное, то локальные максимумы распо
ложены |
в точках |
А = ± л .) |
Окно |
w* (А | 0) |
= sin (А/2) (2Т — 1)/ |
(2л sin (А/2)] имеет |
максимум |
(2Т — 1)/(2я) |
в точке А = 0 и нули |
||
в точках |
А = ztk2nl(2T — 1) для k |
= 1, ..., Т — 1. Его локальные |
|||
максимумы и локальные минимумы располагаются поочередно меж
ду нулями, в точках, являющихся корнями (А Ф 0) |
уравнения |
А (2Т — 1)/2 = (2Т — 1) tg (А/2). (Если Т нечетное, то |
в точках |
А = ± я будет относительный максимум;- при четном Т в этих точках будет относительный минимум.) Графики этих окон пред ставлены на рис. 9.1 и 9.2.
556 |
ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ |
Гл. 9. |
Усредняя полученные результаты, приходим к следующей оценке:
(37 |
1 |
1 |
I{ К |
/ = 1 |
У\g-DK-H + |
2я |
g2= l |
||||
|
|
т |
|
2 |
|
|
|
К-1 |
|
|
/<-7 |
|
+ 2 2 |
C O S V r - i - 2 I/(g_ l ) K + ^ (g - l)K + /+ r |
|||
|
|
= 1 |
|
|
< = 1 |
|
- * + 2 * + т г 2 ( ' - т ) X |
||||
|
|
|
m |
К—/ |
|
|
х |
cos хг 2 |
2 |
y^-m+ty(g-\)K+t+rl\m(K — г)]. |
|
|
|
|
g=l |
<=! |
|
Каждая дюйная сумма в (37) является несмещенной оценкой соот ветствующего а (г). При этом не используется несколько произведе ний y ty t + r . Если все такие несмещенные оценки заменить на соот ветствующие С„ то в результате получится (34).
D. Модифицированная оценка Бартлетта. Если в предыдущую оценку ввести еще один сглаживающий множитель 1 — ) г \!Т, то в результате получим оценку
Коэффициенты до, равны в этом случае |
(1 |
— | r\IK) |
(1 — | г |/Г) |
|||
для г — О, ± 1 , ... ± /Си нулю для г = ± |
(К + 1), .... ± (Т — 1), |
|||||
тогда как |
в обычной оценке Бартлетта они |
равны соответственно |
||||
1 |
— \r\IK |
и 0 . Коэффициенты до* |
равны |
|
1 — | г \!К |
для г = 0 , |
± |
1, ..., ± |
К и 0 для г ~ ± (К + |
1), ..., ± (Т — 1). |
В обычной |
||
оценке Бартлетта |
они |
|
были |
равны соответственно величине |
|||
(1 — | г |//С)/(1 — | г \/Т) |
и 0. Окна здесь таковы: |
|
|||||
(3 9 ) в ’( Ч О ) - . - ^ - |
2 |
|
[ , - 1 ' | ( х + т ) + Т г ] с 0 5 1 ' “ |
||||
|
|
г— —К |
|
|
|
|
|
__ |
cos2 (КХ/2) |
|
sin2 (КХ/2) |
sin Ю. cos (Х/2) |
|||
—' |
2пТ sin2 (Я/2) + |
2пК sin2 (К/2) ~ |
4пКТ sin3 (1/2) ’ |
||||
(40) |
до* (Я10 ) = kK(*) = |
sin2 (КХ/2) |
|
||||
2пК sin2 (Х/2) |
|
||||||
9.2. ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ 55Т
Окно w* (Я | 0) неотрицательно, что обеспечивает неотрицатель-
, - /N
ность оценки / (v). Максимум а>*'(Я|0) расположен в точке Я = Ф и равен К/(2п). Минимум w* (Я | 0), равный нулю, достигается в точках Я = ±.k2n/K, k — 1, ..., (К — 1)/2 или К/2. Такая моди фикация оценки Бартлетта рассматривалась у Гренандера и Ро* зенблатта (1957, стр. 146), а также у Хеннана (1960), которыевключали ее в общую асимптотическую теорию.
Е. Оценка Даниэля. Помимо оценивания значения f (Я) в одно& точке Я = v, можно попытаться оценивать / (Я) на целом отрезке. (См. обсуждение этого вопроса Бартлеттом (1946).) Если таким от
резком является (v — b, v + 6 ), 0 < 6 < л, то интеграл
V+6
] f (Я) dX/(2b) иначе можно записать в виде взвешенного инте-
V—6
Я
грала
(41)
(Если v не принадлежит отрезку [—п + Ь, п — Ь], то следует ис пользовать периодичность с периодом 2я функций f (Я) и / (Я).): Для указанного оценивания можно использовать
(42) J g(X~v)l(X)dX = -±- j / (Я)dX =
|
|
|
v+6 |
|
Г—1 |
v + b |
|
|
~ Ш |
с° I |
л + |
2 2 |
с<- ) |
cos ЯгdX |
= |
||
= |
• |
„ |
I |
о V s;in (v + b)r—sin (v—b)r |
_ |
|||
s r |
co + |
z £ |
|
m ------------ |
c> |
|||
|
|
|
|
Гя=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
T — \ |
2 cos vrsin br |
|
||
|
1 |
/1 |
о X 1 |
|
||||
~ |
~2n |
c° + 1 r=l |
|
2br |
C' |
|
||
558 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.
где |
(sin b r)/b r — 1 |
для г — 0. |
Входящие сюда |
коэффициенты |
|||
являются |
коэффициентами |
Фурье функции |
g (X). |
Именно, |
|||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
J g(X)dX = 1 |
и |
|
|
|
|
|
|
— Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
Ь |
|
гфО. |
(43) |
w *» |
J g(X) cos XrdX = |
-1 - |
J cos XrdX = |
, |
||
|
|
~ Л |
|
|
—6 |
|
|
(Отметим, что g (X) не идентична w * (X | 0).]
Получающееся в итоге окно w * (X 10) является линейной ком бинацией функций 1, cos X, .... cos X (Г — 1), наилучшим образом аппроксимирующей g (X) в смысле среднеквадратичной ошибки
(44) |
JЛ |
|*(X)-B>*(X|0 )|*dX. |
|
—Л |
|
Аппроксимация функции g (X) функцией w * (X | 0) не может быть одинаково хорошей для всех значений X. Действительно, она не будет очень хорошей в точках разрыва g (X), т. е. в точках X = ± Ь. Осцилляция аппроксимирующего гармонического ряда вблизи то чек разрыва известна под названием явления Гиббса [Ланцош
(1956, гл. 4), и Хемминг (1962, гл. 2 2 )]. Ее можно уменьшить, умно
жая w , на соответствующие веса. |
|
|
до К |
— (я/М; |
при |
||||||
|
Ряды (42) могут быть усечены, например, |
||||||||||
этом w * = 0 для г |
= |
± (К + 1),.... ± |
( Т — 1). |
Такая оценка час: |
|||||||
то |
называется |
прямоугольной. Окно w (X | 0) отличается от g (X) |
|||||||||
наличием множителей 1 — | т \ / Т |
и использованием лишь конечного |
||||||||||
числа |
коэффициентов. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
F. О бщ ие оценки |
Б лэкм ен а — Т ью ки . Блэкмен и Тьюки (1959) |
|||||||||
предложили две оценки (названные имисоответственно окнами |
Хен |
||||||||||
нинга и Хемминга), являющиеся частными случаями оценки |
|
||||||||||
(45) |
/(v) = 4 г |
2 |
( l - 2 a + |
2acos -£ -) |
(l - |
-IfL)cosvr C, = |
|||||
|
|
= — |
■ 2 |
(* — 2 a + |
2 a cos |
|
cos vr cr, |
|
|
||
0 |
< a |
<. 1/4. |
Коэффициенты |
w" = 1 |
— 2a + |
2a cos (n r/ K ), |
r ~ |
||||
= |
0 , ± 1 , ..., ± K , |
убывают от значения 1 в точке г = 0 |
до значения |
||||||||
1 |
— 4а в точках г |
= |
и равны нулю для |
т — ± |
( К + 1), ... |
||||||
.... ± |
( Т — 1). Оценку (45) можно представить иначе в виде |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
К |
|
к |
|
|
|
|
(46) |
?(v) = |
|
|
2 cosvrcr 4 - |
2 |
C0ST cosvr°r^ |
|
||||
|
|
|
|
|
r=s—K |
|
r=*—К |
|
|
|
|
560 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл.,9.
Ц48) |
ш*(Л10) = |
2 соз(я — |
£-)/• + |
|
|
|
Г = -/С |
к |
|
|
|
к |
|
|
|
= оЛгя+i ^Я — JLj + (1 — 2a)h2K+t (Я.) -f- аЛгк+i |Я + |
|||
.Максимум |
w* (Я, 1 0 ) |
расположен |
в точке Я = 0 и равен |
|
J(2 /C |
+ 1) (1 |
- 2а) - |
2а]/(2п). |
|
Q. Окно Хеннинга. Особый интерес представляет частный случай 'Оценки Блэкмена — Тьюки, отвечающий значению а = 1/4, т. е. оценка
|
I |
Я \ |
(49) 1 М - ~ |
-g-cos-^-rjcosvre, |
|
2 K( - r + - F c0 s T r ’’) c°svre' ” |
||
- - г И 
) + - К ' ' м + т / ' Т + х ) -
Жак видно из (49), она получается простым усреднением двух средних усеченных выборочных спектральных плотностей. Веса
w* = (1 + cos nr/K)/2 = cos2 пг!{2К), г = 0 , ± 1, ..., ± К , убыва ют от единицы в точке г = 0 до нуля в точках г = ± К . Нули функ ции w* (Я|0) расположены в точках Я = ± km К, k — 2, 3, ..., К. Максимум w* (Я | 0 ) достигается при Я = 0 и равен К1(2п). Окно, соответствующее модифицированной оценке Бартлетта (с тем же значением К), имеет точно такой же максимум. В то же время его нули располагаются в точках Я = ± kn/K для k — 2, 4, К — 1 или К. Иначе говоря, все нули модифицированного окна Бартлетта являются одновременно и нулями окна Хеннинга, но последнее имеет еще и дополнительные нули, расположенные вблизи от носительных максимумов модифицированного окна Бартлетта (за исключением максимума в нуле). Этот факт заставляет предпола гать, что боковые лепестки окна Хеннинга будут меньшими по сравне нию с боковыми лепестками модифицированного окна Бартлетта.
Н. Окно Хемминга. С целью уменьшения размеров первых ле пестков Блэкмен и Тьюки (1959) предложили в оценке (45) брать
9*2. |
ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ |
561 |
а= 0.23. При этом значении а (45) принимает вид
к.
<50) /( v ) = - ^ - 2 ^0.54 + 0.46 c o s |
г) cos vr cr = |
f——к |
|
= 0.23fK ( v — £ ) + 0 . 5 # (V ) |
+ 0.2#* (v + |
I.Оценка Парзена. Модифицированную оценку Бартлетта можно
рассматривать как частный случай оценок с w* — 1 — (| г \/К)9, соответствующий значению q = 1. Парзен (1957b) предложил ис пользовать и другие значения q. Если q = 2, то
(51) |
|
2 |
К |
( 1 — й |
( ! - |
JT - ) cosv'-Cr = |
||
|
|
г—— |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 г |
2 I 1 - - J - ) |
cos vrcr, |
|
||||
|
|
г= —К |
|
|
|
|
||
а соответствующее ему окно w* (X 10 ) |
|
|
||||||
(52) |
w* (А, 10) = |
|
|
2 |
( l ---- cos Хг = |
|
||
|
|
|
г——К |
|
cos Х/С |
|
||
|
_ |
1 |
| sin У.Кcos (К/2) |
] |
||||
|
~ |
2я |
| |
2К2sin3 (Х/2) |
/С sin2 (Я/2) |
}' |
||
Максимум этого |
окна |
расположен |
в точке |
X ~ 0 и равен |
||||
(2 я)“ ‘ |
[4/С/З — 1/(3/С)]. |
|
|
|
|
|||
J. Оценка Парзена. Для четного К Парзеном предложена еледующая оценка:
(53) |
= |
|
2 |
( l - 6 4 - + e - ! ^ - ) ( l _ J f L |
) cosvrC, + |
|||
|
|
г=-К/2 4 |
|
|
4 |
1 |
||
|
Ф |
2 л |
|
г=-к |
|
|
|
|
|
\ |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
+ 4 |
г |
|
2 |
( ! |
1г) |
f - J c o s v r C r — |
|
|
|
|
г=К/2+1 |
4 |
' |
' |
|
|
|
|
|
К/2 |
|
|
|
|
|
|
= -^Г |
|
2 |
1 - 5 - J - + |
6 -^r-)cosv/-c,+ |
|||
|
|
г=-К/2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
— /С/2—1 |
|
з |
|
|
|
|
+ ~ k |
|
2 |
( 1 - - X - J |
cosvrcf + |
|
||
|
|
|
|
Г=ж-К |
|
|
|
|