книги из ГПНТБ / Величко К.Ф. Основы теории полета управляемых баллистических ракет учебное пособие

G , = ~ Gs i nG

( 2 .4 )

Другая на направление,нормальное к касательной:

G2 =

Gc os &

(2*5)

Ввиду того, что

требуется установить

зависимость изме­

G, = - r n g s i n 9

(2 .6 )

Сокращая левую и правую часть уравнения

/2 .6 / на m ,

имеем:

ы

$L = -CjSLn@

(2.7)

чины:

скорость

( V ), ускорение силы тяжести ( $ ) и угол

наклона вектора

скорости к местному горизонту ( 0 ).

Произведя рдд преобразований,

исключим из уравнения 9,

a Cj

заменим

7

-. Для этого рассмотрим движение ракеты ва

элементарный

промежуток времени d t

/р и с .2 .9 /. При этом она

переместится

из точки lij в точку Ug и пройдет путь по траекч

тории d S .

Приращение

радиуса вектора за этот же промежу­

ток времени

будет равно

d z . Пренебрегая величинами малого

(2.8)

M ’ V .

(2.9)

Подотавляя полученное соотношение

(2.8) и выражение

умножая левую и правую части на d.S

имеем:

-

84

-

ct- радиус-вектор -

от точки К ( 7*) до точки М

( Z )•

получим:

f

V dV

Ч

. у

г»

i

# /

" 9 * г«

Т I

(г.а)

Преобразуя выражение (2*13)» имеем:

V * m VK*-2g„?K ( t -

12.14)

ченного уравнения позволяет сделать

следующие

выводы:

2 ;

-

скорость

падает с

увеличением

радиус-

вектора

-

скорости

в точках

К и

/р и с .2 / равны между собой,

т .к . равны радиус-векторы точек

К и

- скорость в вершине траектории минимальна, т .к .

вели­

чина радиус-вектора точки в имеет наибольшее значение.

На основании проведенного анализа построим график,выра-

яапций изменение величина окорости на пассивном участке

траектории в разреженных

слоях атмосферы /р и с .2. 10/:

Характер изменения

кривой

/р и с .2*10/ можно пояснить

тории /кВ/ /р и с .2 . 1/

происходит падение

скорости,

т .к . состав­

ляющая силы тяжести на касательную к траектории направлена

в противоположную сторону вектору скорости.Причем

по мере

приближения к вершине величина етой

составляющей убывает и

в то'чке в равна нулю / т .к .

сила тяжести

направлена

перпецди-

жулщшо вектору скорости/.

При движении ракеты на

нисходящем

участке траектории

/ВК^ рис.2 . 1/ происходит увеличение

скорости ,т .к .

соотав-

ляющвя силы тяжести

на касательную к

траектории направлена

Рис.2.10

-

nPtfciKp рг \ . Требуется определить

величину скорости в

вершине траектории /Нд * 7 9 5 км/,

если

иввестны

параметры

конца активного участка траектории:

\j

= Я + к к = 6371 + 100 -

6471

КМ

* 5000 м /сек.

д к ~ 9,550 м/сек2 .

Подставляя веданные значения

в формулу /2 .1 4 /* получим:

\/в2 -

V‘ - 2 д Л (|- Ц* 5 ,02-2 .9,55 .10"а .6,471 .10е (1-

6471

-)«

12

.

км

037И795

= 2 5 ,0 -1 2 ,0 ■ 13,0

км*

3,62

сек

сек

У .

3800 —

сек

*

6401 км

Решим вту задачу сначала

аналитически .Так как

скорость

в наивысшей точке подъема ракеты

/ S / равна 0 , го

уравне-

■ние 2.14

принимает вид:

о

-

1? )

(2.15)

-

87

-

Решая .2»15

относительно

,

получим:

¥ <#

м

у *

(2.16)

Вычитая

ив

Z j

величину радиуса

Земли

R

» 6371 км,

определим высоту подъема ракеты над её поверхностью:

На " ? 4 * R-

(2.17)

Подставляя заданнйе

значения

в формулы

2.16

и

2 .1 7 у опре­

делим высоту подъема ракеты:

'

• г , а

Р д * 7 к ’ К*

7S61(0ja 7 2 8 Ю3«*

- £9,6‘to'*' 6^51г ю \

2 ‘9 , 6 - 6 , 4 5 / /о* -з,в*

н о

Hs -

7280

- 6371

* 909 км. .

ПРШЕР 2.3

Требуется

определить

величину скорости ра­

кеты

в точке

выключения двигателя / 1^

/ ,

необходимую для пре­

одоления силы аемного притяжения,

если

ракета

все

время дви­

нется

вертикально.

Поставленное условие

означает, что расстояние, На кото­

будет

равной

нулю.

Для принятых условий уравнение /2 .1 4 /

приобретает вид:

О* Vk “

<?к‘ 0 ” с*° )*

т .к

?*

О,

то

с о

VK ? | /

? К =VKg (2.18)

- 88

-

ТЗк,

'

для

0

ему

например,

Пк = 200 км и соответствующего

QH» 9»45 —

величина второй космической окорости

бу-

*

•

сек*

дет

равна:

14,* ]/2*6,57 .10e .9,45.K f8

* / ш

* 11,14 -&■— .

'

сек

п .4 .

Второй

закон

Кеплера

Одним из основополагающих паконов,

используемых в тео­

метает" равные

площади.

Этот вакон имеет простой фивический смысл. Пуоть центр

масс в моменты

времени t и t

занимал соответственно

положение

и

/р и с .2. 12/ .

между моментами

t и t

+ a t радиус-вектор

поворачивается на

угол

, относительно

точки 0 и

"заметает" площадь AS, .

Пренебрегая

малыми величинами

порядка

выше первого, мож­

воы:

о

/

Д

(2 .19)

а л ,

Для

определения

величины A Л,

разложим вектор скорос­

ти на две

составляющие:

вдоль направления радиуса-вектора

]/г * V,SinOl /радиальная

составляющая/

и на нормаль к' радиус-

вектору Цп з ^сл^/тангенциальная составляющая/.

Тогда:

A h , = V'COS6), & t

(2.20)

Подставляя . 2.20. i в

2-19

t получим:

' b S , a T * , V , cos&>*t

(2 . 21)

Очевидно, для другой

точки траектории /М ^

можно запи­

радиусом-вектором за

такой же промежуток времени

;

4 ^ 2 * 7

.

(2 . 22)

Приравнивая /2*21/ и /2 .2 2 / на

основании

закона

Кеплера,

получим соотношение:

1 ? v С05В, At

* J- ?а £

COS Qa сХ

Произведя сокращения, будем иметь:

?, I/, COS В, « 7 , l£ COS&J

(2.23)

Или в общем виде:

7 V cQS 9 * c o n s t

•

С

(2.24)

Величина С называется постоянной Кеплера и может быть

определена из начальных условий:

7н' Ун С 0 5 $ к * С ,

'

(2*25)

где ?к , Ук , 9 к -

параметры конца

активного участка траек­

тории /радиус-вектор,

окорооть и угол

наклона

вектора

скорос­

ти к местному горизонту в точке выключения

двигателя/.Выра­

жение

/2 .2 4 / свидетельствует о

том, что по

мере удаления те - •

ла от

поверхности Земли-/ т .е .

о увеличением

2Г /скорость его