книги из ГПНТБ / Величко К.Ф. Основы теории полета управляемых баллистических ракет учебное пособие
.pdf~ t o o -
координатам i очки выключение двигателя могут соответствовать различные дальности в зависимости от угла бросания /р и с .2 .19а/
Рис.2 .19а
угол наклона вектора скорости к местному горизонту при заданных значениях скорости и координат в точке выключения двигателя, которому соответствует наибольшая дальность поле та ракеты.называется оптимальным углом бросания или углом ввнбтмией дальности. Пользуясь известным правилом отыска ния максимума, возьмем производную от дальности по углу бро сания и приравняем её нулю.
Так как дальность и угод бросания пропорциональны тан генсам углов Д , и 6к , то исследование будем проводить
для тангенсов этих углов: *£ ($д&к) = ®
Для удобства дифференцирования произведем замену: tgfS=L/; SK-x.'.
Тогда формула /£ .4 2 / будет иметь вид:
\
- |
101 - |
|
У х |
|
|
I - V + x z |
. |
н |
■у ( 1- У + х г ) - 2 х гУ
'( l - V + x * ) 2
Произведя сокращение, будем иметь:
|
|
/ _ у + а 2 = 0 |
|
|
Решая полученное уравнение относительно |
х , получим |
|||
|
|
ос-У Г-у' |
|
|
Произведем |
обратную замену: |
|
|
|
|
|
t g e t m . - f T v , |
|
(г.4 б ) |
где |
0 „ - |
оптимальный угол бросания '/угол |
наибольшей даль- |
|
ности/. |
"onm |
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждому значению скорости соответствует только одно вна- |
||||
чение оптимального угла бросания. |
|
|
||
На рис.2.19 представлен график |
изменения 9 К, П|П в зави |
|||
симости |
от |
скорости, построенный для |
случая, |
когда |
f lK= |
100 |
км. |
|
|
Рис.2.18
|
- |
102 - |
|
its графика |
следует, |
что при малых еначениях V* |
величи |
на вк1ПП1блиэиа |
к 45°. С увеличением окорооти 0 Копгп |
уменьша |
|
ется и в случае, когда Ук равна первой космической скорости
®K*w!
Следует отметить, что при оптимальном угле бросания достдаяотоя « дан н ая дальность при минимальном значении окоростя 9 УКгпйг / . Эта же дальнооть может быть достигнута и при других углах брооания, но окорость при етом будет превышать ее минимальное значение на заданную дальность /р и с .2 . 196/ .
Траектория, |
соответствующая |
заданной дальности и минимальной |
|||
скорости в |
точке |
выключения двигателя, называется |
оптималь |
||
ной. |
|
|
|
|
|
На рис.2«!9{оптимальная траектория обозначена |
цифрой 1. |
||||
’ ПРШЕР 2 .5 . |
Определить |
величину оптимального угла |
бро |
||
сания Qxonm , если иввестны ^параметры конца активного |
участ |
||||
ка траектории: |
|
|
|
|
|
]/к ■ 5600 м/сек |
|
|
|
||
flK- |
100 км |
|
|
||
q - |
9 , 5 5 |
- * Ц |
, |
|
|
J* |
|
сек* |
|
||
Определяем |
V |
• |
Ук |
||
9« *•* |
|||||
|
|
|
|
||
Вычисляем |
tg 0Чп- |f i- V " |
||||
- 103 -
5,6' .31,36
9,55.10"®.6,471.10® 61,798
» 0,5075
If 1 ~ 0,5075’ - 0,7017.
По таблицам тригонометрических функций находим
0 * 0 ^ - 35°03’5". |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В таблице |
2*4 приведены |
рееультаты расчетов по опреде |
|||||||||
лению дальности |
полета |
ракет |
на эллиптическом учаотке ддч |
|||||||||
оптимальных траекторий в случае, когда конец активного |
||||||||||||
участка траектории /к/ расположен на высоте |
h K * 100 км |
|||||||||||
над |
поверхностью Земли, |
а С^к * 9,55 м/сек**. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.4 |
||
Скорость |
, |
gQQoj |
3000! |
4000 |
j |
5000 |
Г |
-------- 7--------- |
||||
7000 |
! 7500 |
|||||||||||
Ук/ |
м /с е к /_____ l |
I |
|
! |
|
6000 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Дальность |
• |
|
! |
! |
|
; |
|
: |
9159 |
!12650 |
||
L |
/км / |
! |
427t |
1004! |
1920 |
j |
3270 |
| &403 |
||||
------------------------------- '■ ■■ ■ |
----------/ - 1 |
|
|
|||||||||
На основании данной таблицы построен график /^ и о .2 .2 0 /. С помощью полученных зависимостей и графиков для оптималь ных -траекторий может решаться и обратная задача, т .е . для заданной дальности определяются начальные условия движения.
ПРМЕР 2 .6 - Определить параметры-в конце активного участка траектории, если задана полная дальность полета ра кеты [_ = 6600 км.
Используя соотношение (2-45), получим:
63 & -- = 6000 км
1,1
Из графика /р и с .2.2 0 / определим по VK скорооть в точке выключения двигателя:
104 -
VK* 6000 м/сек.
Ив графика /р и с .2*18/ определим по VK оптимальная угод бросания;
Таким оорявом,
веданной дальнооти соответствуют следующие параметры:
VK6000 М/сек; 9 ,'J 33°. „
Таблица зависимости дальностей от величины скорости в точке "к", определенных при оптимальных углах брооания,при ведена в приложении 3. Понятие оптимальной траектории часто испольауетоя для анаяива баллистических возможностей ракет и широко применяется в смежных курсах /автономные системы управления, конструкция ракет/.
О |
. **оо |
оооо вооо |
/оооо /гооо /оооо |
Рис.2.20
п.З* Определение высоты траектории
Задача формулируется следующим образом: определить вы соту траектории, если известны начальные уоловия движения:
V|f * к » ~^к . « |
• |
- 105 -
Высота траектории по определению равна /р и с .2.21 / :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.47)- |
где |
7 в |
- |
радиус-вектор вершины траектории. |
Для определе |
|||||
|
|
|
ния |
? в воспользуемся формулой /2 .3 3 /. Так как |
|||||
Г2В - 180°, то соs |
= - 1 и формула /2 :3 3 /, |
записанная |
|||||||
для |
точки |
в» принимает |
вид: |
у _ |
Р |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 " |
i - e |
|
|
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
|
||
|
|
|
|
|
Н в = 7 ? ё ~ - К |
|
<2.48), |
||
|
Величины |
р |
к б |
вычисляются на основании формул |
|||||
/2 -3 5 / и (2 .3 6 ). |
|
|
|
|
|
||||
|
ПРМЕР 2 .7 . |
Определить |
высоту оптимальной траектории, |
||||||
если |
заданы |
параметры |
в точке выключения двигателя: |
||||||
• К - 5 , 8 |
Л |
. |
; |
100 км; |
9,55 |
секV * |
|||
|
|
|
сек |
|
|
|
|
% |
|
Определяем |
величину угла б к |
иэ условия оптимальности траек |
|||||||
тории: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 106 -
tgQk - J i |
- V |
• 11 - 0,544 |
- 0,675. |
|
|
|
|
1 |
■ 0„ « 34°02’ • |
|
|
|
|
||
|
|
|
«ЛЯЛ* |
параметра |
и |
и эксцентрисите |
|
Вычисляем величину фокального |
|||||||
та 6 |
по формулам /2 .3 5 / и /2 -3 6 /: |
|
|
|
|||
Р - У |
c o s 29 ^ 0 ,543 •6, 471.108.0,683 - |
2, 4 . 1 0 8 км |
|||||
в |
«\| | - V ( 2 - V ) c o s % m ^ 1-0,542.1,458.0,683 |
= ( о ,4 б - |
|||||
|
|
|
|
|
|
- |
0,679. |
Определяем |
высоту траектории по формуле 2.48: |
|
|||||
На |
р |
|
2,4 .10s . |
- 6371 - |
1094 км |
|
|
| |
R |
- ------------1 0,679 |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
V |
|
|
|
|
||
В таблице 2*5 представлены аначения Hg в зависимости от дальности полета для оптимальных траекторий /при
h - 1 0 0
к
v K Гj l
к 1 сек
,= U L / “ J
Нв [км]
км, |
g « 9 , 5 5 |
“ _ / . |
|
|
|
|
|
||
|
|
оекй |
|
|
•ч |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
||
' " ■Г |
|
о 8 |
(5000 |
|б 000 |
I |
7000 |
i |
7500 |
|
2Q00! 3000 |
i |
||||||||
|
|
|
i |
• |
1 , |
i |
|
f |
|
470 i |
1100 |
12090 |
|3600 |
[5950 |
! |
|
S13915 |
||
j 10750 |
|||||||||
| |
|
i |
i |
|
1 |
i |
|
i |
|
1 |
325 |
! 525 |
i |
795 |
j 1115 |
i |
1400 |
[ |
1315 |
185! |
i |
||||||||
1 |
|
i |
j------- |
f |
i |
|
_i_________________________ |
||
' На основании таблицы построен график /р и с .2 .2 2 /.
Ив графика следует, что высоты оптимальных траекторий возрастают до значения дальности L » 10600 км, а затем умень шаются.
п .4 . Определение времени полета ракеты
Задача формулируется следующим образом: определить вре мя полета ракеты на эллиптическом участке траектории, если известны параметры движения в точке выключения двигателя
to? -
''Рио. 2*22
/Ук.вк • 9* . г* /•
Для решения задачи воспользуемся уравнением /2*29/. Равдедяя переменные, получим:
|
|
|
|
d t |
- |
c " dl2 |
|
(2.-49) |
|
Величина ? 2с/^ |
■» |
есть удвоенная элементарная |
площадь |
||||
d S |
, |
описываемая радиусом-вектором аа время d t |
i |
|||||
|
|
|
d |
t - |
^ p |
|
. « . » ) |
|
-■ |
Интегрируя выражение |
/2*50/ в |
пределах: |
: |
||||
|
t |
—ош |
t K~0 |
до |
|
|
и |
|
|
Q |
- от |
180 |
- |
|
9 d ^ = 3 6 0 ’ - i2 K , получим |
||
время полета |
ракеты на эллиптическом участке: |
|
||||||
|
|
|
тэл^ |
. |
- |
|
||
где vS3/l - площадь эллиптического сектора, ограниченного
- 108 -
радиусами-векторами точек К и К4и вллиптической кривой КВК^/рис.2.23/. Таким образом задача определения вре мени сводится к вычислению площади S iA-
Мв аналитической геометрии известно, что площадь елляптического сектора вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
S M = а б ( о ( + e siricx), |
|
|
|
(2. 58/ , . |
|||||||||
где |
Q |
и 6 |
- |
большая и |
малая |
полуоси эллипоа, опреде |
||||||||||||
ляемые выражениями: |
q |
|
Р _ |
|
|
|
|
|
(2*53) |
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
= a |
/ - |
|
|
|
|
(2.54) |
|||
ГД6 |
|
- |
вксцентриоитет |
эллипса, |
определяемый по |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
формуле |
/2 .3 6 /; |
|
|
|
|
|
|
oC^arccosl^ |
|||||
|
|
ex' |
- |
угол наклона |
|
плоокости |
сечения. |
|
||||||||||
Подставляя /2 .5 3 / |
и /2 .5 4 / |
в /2 .5 2 /, |
получим: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Т э |
|
|
|
(<* |
|
+ e s L n * ) |
|
|
|
( 2 . 5 5 ) |
|||||
Преобразуя /2*55/, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ПРМЗР 2 .8 . |
Определить |
|
время |
полета ракеты |
1 2 ' 5 7 ) |
||||||||||||
|
|
на эллипти |
||||||||||||||||
ческом |
участке |
|
траектории, |
если |
заданы |
параметры |
конца |
актив |
||||||||||
ного |
участка траектории: |
1/к |
* 4500 |
м/сек, |
h K - 100 |
км, |
||||||||||||
% - |
9,55 |
м/сек2 |
0 К - |
3 9 ° ? 0 '. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяем: |
|
, |
А s 2 |
|
|
|
|
|
-=0,33- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
У * |
—5x2— 5----------- -а |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6,471.10° |
9,55 .10 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Определяем |
эксцентриситет |
по формуле |
/2 .3 6 /:. |
|
|
|
||||||||||||
в |
|
ф |
~ 0,33 |
(2 - |
0,3 3 )СО5*39°20’ |
* |
0,82 |
|
|
|||||||||
Находим |
|
oi |
шагеcos 1 |
|
Q»33 =cnccos 0,817 |
= 35°10', |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,82 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
переводим |
его |
|
значение |
в радианы: |
о< |
= |
3571? |
= 0,614. |
||||||||||
|
|
|
|
|
' |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
57°28 |
|
|
|
Вычисляем |
Тэ |
по формуле (2.57): |
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
- 109 -
(0,614 + 0f eZsin 35°10*)-930_
се к .
В таблице 2*6 представлены еначения Т0 в аавиошости от дальности полета ракеты для оптимальных траекторий.
|
|
Таблица |
2 .6 |
|
МЛм/овк]] 2000 ! 3000* 4000 J 5000 ! 6000 |
! |
7000! |
7500 |
|
_________ Li_____ 1_____ I______L |
___L |
_j |
_ • |
|
] = Г |
3 |
U / km/! |
470} |
1100} |
2090 |
•-> |
t |
! |
Т |
|
|
|
|
/мин/ | |
5, Г 1 |
8,1 j |
11,6 |
|
|
I |
1 |
! |
|
3600 |
! |
5950 |
10750113915 |
16,0 |
j |
22,0 |
j |
31,0| 37,5 |
|||
|
! |
|
i |
Однако Та является лишь составной частью полного време ни полета ракеты Т, которое определяется от момента её отры-. ва от пускового стола до момента падения головной части и вычисляется по формуле:
|
|
|
Т - Т « * Т , + Т к |
(2 .58), |
где |
Та |
- |
время полета ракеты на |
активном участке траекто |
|
|
|
рии; |
|
|
Тк |
- |
время движения головной |
части ракеты в плотных |
|
|
|
слоях атмосферы. |
|
Величины Т„ и Тк вависят от типа ракеты и дальности её полета. Значение Та для современных баллистических ракет на
ходится в пределах: |
от 2 до 3,5 мин, 'а |
от 1 до 1,5 мин. |
С учетом этих |
величин на рис.2*24 |
представлена зависи |
мость полного времени полета ранеты от дальности для опти мальных траекторий.
В случае, если угол бросания будет больше оптимального, то время полета будет увеличиваться, а если меньше - умень шаться по сравнению со временем для оптимальных траекторий.