книги из ГПНТБ / Величко К.Ф. Основы теории полета управляемых баллистических ракет учебное пособие
.pdf-90 -
впотенциальную / Л / , Причем сумма величин этих анергий оотаетоя неизменной, т . к . ракетный двигатель не работает,а
масса |
остается |
постоянной: |
|
|
К+П * c o n s t |
|
Так, например, траектория искусственного спутника Земли |
|
/ К З / |
|| |
| |
Молния - |
1 имеет вытянутую эллиптическую орбиту |
|
/р и с .2 .1 3 /
с
Рио.2.13
В точках траектории,наиболее удаленных от поверхности 'Земли,движение происходит с малой скоростью, а следователь но, большую чаоть времени спутник находится на участке траектории CDEH . Это обеспечивает устойчивую телевизион ную и радиосвязь между далеко расположенными пунктами /А и В на рис.2*14/ на венной поверхности в течение продолжи тельного времени, например, между Москвой и Владивостоком.
п.5* Уравнение траектории в эллиптической теории
уравнение траектории для плоского движения должно уста навливать связь между координатами её точек. В данном еду-
- 91
чае |
для полярной системы координат |
такую вавиошооть мож |
||
но представить следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
(2.26) |
, |
Для |
получения такого соотношения разложим вектор окорости на |
|||
две |
составляющие /р и с .2*14/: вдоль радиуса-вектора / |
/ |
и • |
|
на |
нормаль к нему / Vn / - Величина |
14 определяется |
вьраже- |
|
Подставляя |
2*29 в |
2*28 |
имеем: |
, |
У л « £ |
'( 2 .3 0 ) |
|
Преобразуем |
уравнение |
(2.27) |
следующим образом: |
|
- |
92 - |
• |
\/ _ d ? s d z dQ s d7. |
|||
^ г ~ Ш |
37 Jip |
Щ> 3 t |
|
Заменяя dli выражением |
2*29 |
имеем: |
|
d t |
|
|
|
V |
|
|
|
|
г ^ |
г ‘ |
|
Т .к . vn + V2 ~ V , го можно |
записать: |
||
? г |
\ 1 д / |
?* |
v |
Приравняем мевду собой 2-31 и 2.14
(2.30)
(2 .3 i)
(2-32)
В полученном выражении имеются только две переменные t |
и % |
||||||
|
В результате |
решения дифференциального уравнения |
/2 .3 2 / |
||||
получают уравнение |
траектории в полярной системе координат: |
||||||
|
~ |
./ . |
V сезлв« |
|
(2.33) |
||
|
с 88 , |
....“ |
' |
1 . |
|||
|
\ ь |
{/-У(г- V) cos*9< 0*2 |
|
||||
где |
I/ |
( |
2 >34) - |
безразмерный |
параметр, выражающий |
||
‘У«с* |
|||||||
|
|
|
соотношение между величиной кине |
||||
|
|
|
|
тической и потенциальной энергией |
|||
вточке "К".
Вчислитель выражения (2.33) и подкоренное выражение
знаменателя входят известные величины |
'?к > VK » $к » |
• |
Введем обозначения: |
|
|
Р » 7 * У с о /0 * |
(2.35) |
|
б » У / - V(2-V)c°s*QK |
(2.36) |
|
С принятыми обозначениями уравнение (2*33) принимает вид 2 *2 , т .а . являетоя уравнением кривой 2-го порядка. ■
Анализируя параметры уравнения (2.33) i р и б , кото рые определяют характер траектории, можно сделать вывод,что они полностью зависят от начальных условий движения:
V* - скорости в точки выключения двигателя;
7- удаления точки выключения двигателя от центра' Земли;
|
|
- |
93 - |
|
0 ц “ |
угла |
наклона вектора скорости |
в точке выключения дви |
|
|
гателя относительно нормали к радиусу.вектору; |
|||
д и“ |
ускорения силы тяжести |
в точке |
выключения двигателя. |
|
|
п .6. |
Анаиив уравнений |
траектории |
|
Ранее было установлено, что форма траектории кривой второго порядка в полярной системе координат полностью опре
деляется величиной эксцентриситета, который |
вычисляется по , |
||||||
формуле |
(2*36) |
и зависит |
от V* * 9 * » |
|
• |
||
Анализ уравнения траектории будет проведен при QH* 0 . |
|||||||
Это обстоятельство значительно облегчит дальнейшее исследо |
|||||||
вание. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
следующие случаи: |
|
|
|
|||
1. |
6 |
= 0 . |
в данном случае траектория будет иметь ф |
||||
му окружности: |
|
|
|
|
|
|
|
e ^ l - V ( Z - V ) |
= 0 |
или |
v a- 2 v + i * o |
|
|||
Решая уравнение |
(2.36) относительно V |
» |
получим: |
||||
У ■ 1 • |
Т .к. |
\) = |
- |
, то |
|
|
|
|
|
9*7* |
|
,--------- .. |
|
||
|
|
|
|
VKs i 9 < 2x 55 |
(2*37) |
||
Скорость, определяемая по формуле |
(2 .3 7 /, получила наавание |
||||||
первой космической или круговой. |
|
|
|
||||
Первая космическая |
бкорость - |
ето минимальная скорость, |
|||||
при угле |
бросания,равном |
нулю, при которой |
тело |
становится |
|||
искусственным спутником Земли и движется по круговой орбите. Её величина определяется высотой точки выключения дви
гателя. |
|
|
|
|
|
Значение |
|
первой |
космической скорости у поверхности зем |
||
ли равно |
7909 |
м /сек, |
й с увеличением высоты уменьшается |
||
/таблица |
2-2/ . |
|
|
_ „ |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 .2 |
Высота /км / |
! |
о | |
250 i 500 llOOO |
|20(ю!5000 jlOOOO |
|
ЁоотьВ/м /сек/1 |
7909! |
7759| 7617~|7354 |
j690lj 5921j 4953 |
||
|
|
|
- |
9/4 - |
|
|
2» 0< 6 <1 |
. В данном |
олучае (траектория |
будет иметь |
|||
форму аддипоа: |
|
|
|
|
|
|
1 ] l - V ( 2 - V ) |
<1 |
или |
V ( 2 - V ) > 0 |
|||
Т .к . по условие V > |
0, то: |
|
|
|||
2 - V > 0 |
|
или |
2 > V > О |
|
||
В данном |
олучае |
возможны следующие варианты /р и с .2*15/: |
||||
а/ при |
V |
в 1 |
траектория |
космического |
аппарата имеет |
|
форму окружности, а скорость в точке выключения двигателя
равна |
первой |
космической; |
|
||
|
б / |
при |
0 < V < 1 |
траектория ракеты имеет форму эллипса. |
|
Причем |
при малых V |
она пересекается с поверхностью земли, |
|||
а при |
V бливких к единице не пересекается, |
но расположена |
|||
внутри |
круговой орбиты; |
|
|||
|
в / |
при |
2 > V > 1 |
траектория космического |
аппарата |
имеет форму еллипса, не пересекающегося с поверхностью Зем ли, а скорость в точке выключения двигателя превыцвет первую космическую.
Рис.2*15
3 * 6 ■ 1. в данном «ыучае траектория будет иметь фор-
|
|
95 |
- |
му параболы: |
|
|
|
i |
l - V ( 2 - V ) I |
или |
- V ( 2 - V ) ’ 0 |
Сокращая, |
получим: |
V* |
|
|
У - |
|
|
Решая /2 -3 9 / относительно |
V* имеем: |
||
|
Чхв шЩ |
^ |
12.38) |
Скорость, определяемая по формуле (2*38),получила наввание второй космической или параболической.
Второй космической скоростью называется минимальная скорость, при достижении которой ракета покидает сферу при тяжения Земли -независимо от угла бросания и становится искус ственной планетой солнечной системы.
Её величина определяется высотой В точке выключения двигателя. Значение второй космической скорости у поверхнос ти Земли равно 11,19 км/оек и с увеличением высоты, уменьш
атся /ом. таблицу 2.3/ .
Таблица 2.3^
Высота /км / |
_ |
■ |
|
|
|
- |
|
| |
i |
О I |
500 |
I |
1000 !2000 |
|5000 |
jlOOOO |
||
Параболическая |
| |
! |
|
Г |
! |
• |
|
| |
скорость /к м /с е к /j ll,1 9 | |
10,77} |
10,40) 9 ,7 б | |
8,37! 6,98 |
|||||
4* 0 > 1. |
В данном случае |
траектория будет иметь фор |
||||||
му гиперболы: |
,---------;-------г . |
|
|
|
||||
|
j i - v ( 2 - v7 > i |
|
|
VK>v„- |
||||
V - 2 > 0 |
, |
то |
есть |
V* |
> 2 д * ? к |
|
ч |
|
Следовательно, для движения по гиперболической траектории ракете должна иметь скорооть в конце активного участка,пре вышающую вторую космическую. 1Ъкая скорость была, впервые достигнута 2 января 1999 г . при запуске в Советском Ооюге космической ракеты в сторону Луны. Как известно, эта ракета,
пройдя вблизи Луны, вышла из оферы евиного тяготения и прев ратилась в спутник Солнца - первую искусственную планету
- эв -
солнечной системы. Формы траекторий космических ракет в за висимости от скорости в конце активного участка покаааны на рис.2*16.
‘На основании проведенного анализа можно сделать следу
ющие выводы:
1.. Для пуска ракет на любую дальнооть в пределах Земли
скорость в точке выключения двигателя при углах бросания, близких к углу наибольшей дальности,не превышает первой кос мической /7909 м /сек /.
2. Для выведения космического аппарата на околоземную
траекторию необходимо иметь |
скорость в пределах от первой до |
|
второй космической скорости |
/1119 |
м /сек /. |
3. Для вывода космического аппарата из с$еры земного |
||
тяготения ему необходимо сообщить |
скорооть, равную или пре |
|
вышающую вторую космическую. |
|
|
Рис.2.16
-97 -
§3* Приложение эллиптической теории
Эллиптическая теория нашла широкое применение для уста
новления зависимостей между параметрами траектории /даль ностью, высотой, временем полета/ и начальная условиями
движения { V* , 0к » |
д* |
, 2 К ) . Рассмотрим некоторые основные |
|||||
из них. |
|
|
|
. |
• |
|
|
|
п .1 . |
Определение дальнооти полета |
ракеты |
||||
Задача формулируется следующим образом: определить |
|||||||
дальность полета ракеты на эллиптическом участке |
/ 1_,л / , |
||||||
если заданы параметры конца активного участка траектории: |
|||||||
V* , |
9 к , |
9 * |
> |
|
* Условимся под Lэ |
понимать джину |
|
дуги jio |
поверхности |
Земли между точками К* |
и |
/рио .2 .17/,' |
|||
соответствующие |
эллиптическому участку траектории |
||||||
Рис.2.17
Величина L , вычисляется по формуле:
- 98 -
|
R |
|
L3 =2R('r-?K) =2 R |
p t(, |
12.39) |
где |
- |
радиус Земли; |
|
|
|
2 j3 K- |
угол между радиусами-векторами точек |
К и |
|||
|
|
|
/в радианах/. |
|
|
Для |
определения J S воспользуемся формулой |
(2.3 3 ).под |
|||
ставив |
вначения полярных координат для |
точки К или точки |
|||
(■г = г к ,£=/T-j3K):
|
|
|
|
|
|
р к ) |
|
Р . |
12.40) |
||
|
I -f-ecos |
|
i-e c o sfiq |
||||||||
|
|
|
|||||||||
Решая полученное |
уравнение (2.40) относительно J3K, |
||||||||||
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
c o sP |
« = |
e i r |
|
|
i2A l) |
||
Раскрывая |
|
параметры |
р |
и 6 |
согласно формулам |
(2*35 |
|||||
и 2.36) и произведя преобразование |
выражения (2 .4 1 ),подучим: |
||||||||||
|
|
|
I |
12 |
|
|
V |
Q* |
|
|
|
|
|
|
Ч) |
= |
| _ V + tg a©« |
|
12.42) |
||||
Следовательно, дальность полета ракеты на эллиптичес |
|||||||||||
ком участке |
определится |
по формуле: |
|
|
|||||||
|
I |
|
^ |
|
|
+ |
V tQ бк |
|
|
12.43) |
|
|
L 3 = |
2 R o ? c |
Сд |
|
|
|
|||||
Однако |
L , |
является |
лишь составной |
частью полной дальности |
|||||||
полета ракеты |
L |
, |
которая определяется дугой ОС /р и с.2 .1 7 / |
||||||||
по поверхности Земли и вычисляется по формуле: . |
|
||||||||||
|
|
L - L a * L 3 + L * , |
|
|
(2 -44) |
||||||
где |
L a - |
длина дуги |
по поверхности Земли между точками |
||||||||
|
|
О и К1, |
сбответствующая |
активному участку траек |
|||||||
L K - |
тории ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
длина дуги |
по поверхности Земли между точками |
||||||||||
|
|
К1 |
|
и С, |
соответствующая |
конечному участку траек |
|||||
|
|
тории, проходящему в плотных слоях атмосферы. |
|||||||||
Т .к. величины участков |
L a и L K относительно малы и |
||||||||||
их сумма не превышает 10% L |
,то |
полная дальность |
опреде |
||||||||
ляется |
главным обрввом |
величиной |
эллиптического участка |
||||||||
-99 -
иможет быть выражена следующим соотношением:
|
|
|
|
, |
12.45) |
где |
KL |
- |
коэффициент, учитывающий превышение полной |
||
|
|
|
дальности по сравнению с эллиптической. |
||
|
Величина |
KL |
зависит от типа, дальности |
поле'та ракеты |
|
и находится |
в |
пределах: KL= 1,05 + 1 ,1 . |
|
||
|
ПРИМЕР 2 .4 . |
Определить дальность полета ракеты на адлип- |
|||
тическом участке и приближенное значение полной дальности, если заданы параметра конца активного участка траектории:
VK* 5500 |
м/сек |
|
h K- |
100 км; |
0 К-35°ЗО’ ; |
<^“9,55 |
||||||
коэффициент |
K L * 1*1 * |
|
|
|
|
сек* |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Определяем |
|
|
5,5 е |
|
|
|
30,25 |
|
||||
V |
|
К2 |
|
|
|
|
|
0,49 |
||||
|
T i T |
_ |
9,55.10~8 .6,471 .10й ’ |
” 6l7e |
||||||||
|
|
|
||||||||||
Вычисляем |
Ч А |
|
по формуле (2 .45): |
|
|
|
||||||
|
0,49.0,7133 |
|
т Q.3495 |
- |
0,34305 |
J3*1 |
18°5б»05" |
|||||
1-0,49 |
+ 0,5088 |
"1,0188 |
||||||||||
|
|
18?933 |
|
|||||||||
Переводим |
fiK |
в |
радианы: |
А |
0,3304. |
|||||||
5763~ |
||||||||||||
|
||||||||||||
Находим |
по формуле |
(2*46) эллиптическую дальность: |
||||||||||
L 3 - |
2.0,3304 . |
6371 » 4210 |
км |
|
|
|
|
|||||
Определяем |
полную дальность: |
L |
* L y l , l - |
4631 ки. |
||||||||
п .2 . Определение оптимального угла бросания
Задача формулируется следугацим образом: требуется опре делить величину угла наклона вектора скорости к местному горизонту в точке выключения двигателя (угол бросания), ко торому будет соответствовать наибольшая дальность полета ра кеты при заданных параметрах в точке выклячения двигателя:
Vk » 9* ' ‘'К * |
и |
Следует отметить, |
что заданному значению скорости »к |