книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

два шага и т. д.

Обычно цифровые фильтры описываются не столь простыми после­ довательностями, как было показано, а обладают амплитудно-частот­ ными и фазово-частотными характеристиками, представляющими собой сложные функции частоты. Но такой сложный фильтр можно представить в виде ансамбля параллельно соединенных элементар­ ных фильтров, каждый из которых имеет постоянный коэффициент усиления и создает постоянную для данного фильтра задержку ix. Подобный ансамбль элементарных фильтров показан на рис. 15. Каждый элементарный фильтр, входящий в ансамбль, характери­ зуется своим постоянным коэффициентом усиления Кр не зависящим от частоты проходящего через фильтр сигнала. Каждый из элементар­ ных фильтров имеет в своем составе «идеальную» линию задержки, которая задерживает пропускаемый через фильтр сигнал на один, два три или п шагов (причем каждый шаг задержки равен интервалу вре­ менного квантования). Поскольку выходы всех фильтров суммиру­ ются, z-преобразование весовой функции оператора, описывающего действие всего ансамбля фильтров, будет равно

Во многих алгоритмах обработки, в частности в алгоритмах одно- и многоканальной фильтрации, сейсмические записи рассматри­ ваются как случайные процессы: перед проведением сейсморазведоч­ ных работ заранее никогда не известно, какая именно величина сей­ смического сигнала будет зарегистрирована в данной точке профиля на данном времени. Поэтому для удобства читателя представляется целесообразным условиться об обозначениях и дать краткую сводку

40

формул теории случайных функций, используемых в дальнейшем. Вывод этих формул, а также содержание основных понятий теории вероятности читатель может возобновить в памяти, обратившись, например, к [9].

Обозначим случайные величины большими буквами X, Y, Z, возможные значения этих величин — соответствующими малыми бук­ вами х, у, z. Очевидно, что отсчеты цифровых сейсмических записей, , полученных в результате квантования входных сигналов по времени и по уровню, являются прерывными, или дискретными случайными величинами в том смысле, что они могут принимать не любые, а только определенные значения в пределах используемой разрядной сетки, например (в двоичном коде) 00... 001, 00. . . 010, 00. . . 011 и т. д. Однако в данном случае мы отвлечемся от этого факта и будем считать, что отсчеты сейсмограмм, а также некоторые другие величины, которые мы будем в дальнейшем рассматривать как случайные, являются непрерывными, т. е. могут принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Такой подход является общепринятым.

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Интегральный закон распределения или функция распределения F (х), есть вероятность того, что рассматриваемая непрерывная случайная величина имеет значение, меньшее х. Плот­ ностью распределения вероятности (или просто плотностью распре­

Для многих случайных величин распределение подчиняется нор­ мальному закону (так называемое Гауссово распределение). В этом случае кривая плотности вероятностей имеет характерную колоколь­ ную форму (рис. 16, а) и описывается формулой

41

Если случайная величина принимает значения от я до х + Ах (Ах -»- 0) с одинаковой вероятностью для некоторого диапазона зна­

и Y <Су. Двумерная плотность распределения вероятности / (х, у) величин X и Y определяется как вторая смешанная частная произ­ водная от F (х, у) по х и у:

ления независимых случайных величин равна произведению плотно­ стей распределения каждой из этих величин: / (х, у) — f (х) f (у). Эти определения легко распространяются на совокупность несколь­ ких случайных величин.

Случайной функцией или случайным процессом X (t) будем назы­ вать такую функцию, значение которой при любом t является слу­ чайной величиной. Аргумент t, который будем условно называть «временем» и считать величиной неслучайной, может принимать либо любые значения в заданном интервале, либо только определенные дискретные значения. Рассмотрим вначале первый случай, считая одновременно, что случайная функция X (t) является непрерывной функцией своего аргумента, т. е. за малые промежутки времени орди­ ната процесса может получить заметное приращение только с малой вероятностью.

Конкретная функциональная зависимость х (t), получаемая в ре­ зультате независимого наблюдения функции X (t), называется реали­ зацией этой функции. Если возможно повторение наблюдений, то может быть получено множество реализаций функции X (t). Это мно­ жество иногда называют ансамблем реализаций.

как систему отдельных случайных величин и характеризовать ее соответствующим многомерным законом распределения. Так как это весьма громоздко, в большинстве практических случаев используют

42

ния величины X в момент времени it. Оценкой 1 математического ожи­ дания является среднее значение случайной функции на данном

равна нулю. Из моментов второго порядка обычно используются цен­

ции, играет важнейшую роль в теории случайных процессов. Чтобы уяснить ее смысл, рассмотрим две последовательности

43

полученные в результате проведения двух опытов, и попытаемся определить их общ­ ность и различия.

функции существует значительное сходство. Более того, такое сходство существует и между отсчетами, взятыми через один.

Посмотрим, как отражаются эти особенности на поведении функ­ ции корреляции. Оценкой Ь/ 7 корреляционной функции в общем слу­

Для того чтобы вычислить значение функции корреляции, например,

ются сходными, во всяком случае имеют одинаковый знак, то их произведения будут положительными величинами. Среднее значение будет также положительно и отлично от нуля. Если же хк2 и xki не связаны между собой, то часть произведений xk2xki будет положи­ тельными величинами, а другая часть — отрицательными. Среднее значение произведений, очевидно, будет близко к нулю.

44

| л / И 7

Таким образом, корреляционная функция указывает на степень связи между центрированными (т. е. полученными после вычитания среднего значения) отсчетами процесса в моменты времени £у- и th Если изменение математического ожидания или дисперсии про­ цесса с течением времени t на некотором интервале от tx до tn можно охарактеризовать последовательностями значений X (£t), X (t2),- • ., X (tn), (рис. 18), то для характеристики степени связи между значе­ ниями процесса на этом интервале требуется построить матрицу

вида

Такая матрица называется корреляционной матрицей случайного

Раздел теории случайных функций, оперирующий только с мо­ ментами первых двух порядков, носит название корреляционной тео­ рии случайных функций. Значения этих моментов определяются тем,

45

Стационарные случайные функции

Важнейшим свойством любой случайной функции Xt является зависимость или независимость ее статистических характеристик X (t), D [X (t)], В (tj, tt) от начала отсчета времени. Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее мате­ матическое ожидание и дисперсия постоянны во времени, а корреля­ ционная функция зависит только от разности т = tj — tt моментов времени tj и tt:

X (t) = X = const,

Если первое или третье из этих условий не соблюдается (второе является, в сущности, частным случаем третьего: D [X] = В (0)), то случайный процесс является нестационарным. Примеры нестационар­ ного и стационарного случайных процессов даны на рис. 18.

Сейсмические трассы по своей природе нестационарны: амплитуда записи убывает со временем t регистрации в силу геометрического расхождения, потерь на поглощение, отражение и т. п.; форма импульсов отдельных сейсмических волн также меняется со време­ нем t. Однако подавляющее большинство алгоритмов обработки сей­ смических трасс построено на предположении о том, что эти трассы — стационарные процессы. Поэтому обычно в самом начале обработки

Важнейшим преимуществом стационарных процессов перед неста­ ционарными является простота определения статистических характе­ ристик по одной, отдельно взятой, реализации процесса. Для полу­ чения статистической характеристики всегда приходится выполнять усреднение тех или других величин: самих отсчетов функции для оценки среднего значения; квадратов центрированных отсчетов для оценки дисперсии и т. п. Если у нестационарных функций в общем случае необходимо усреднение этих величин по ансамблю реализа­ ций функции, то у стационарных в силу постоянства их статистиче­ ских свойств во времени возможно усреднение этих величин по вре­ мени. Стационарные случайные функции, у которых усреднение по ансамблю эквивалентно усреднению по времени для любой реализа­ ции, называются эргодическими.

46

Обращаясь к матричному представлению сейсмической записи (1.48), мы видим, что для эргодических стационарных функций усред­ нение по столбцам заменяется усреднением по строкам. Формулы для вычисления статистических характеристик принимают вид

Если в формуле свертки (1.34) считать, что весовая функция kt свертки равна сворачиваемому процессу xt, то формулы (1.34) и (1.52') будут очень похожи. Обе формулы представляют собой суммы парных произведений соответствующих отсчетов двух функций Вместе с тем останется существенное различие: в формуле (1.52') не происходит характерного для (1.34) «переворачивания» одной из функций, входя­ щих в правую часть выражения

47

тонно) по модулю, стремясь у реальных процессов к нулю при доста­ точно больших т. Величина т, начиная с которой огибающая корреля­

симы друг от друга, имел бесконечную протяженность по t, то его нормированная корреляционная функция была бы равна нулю везде, кроме т = 0; иначе говоря, его корреляционная функция выража­ лась бы единичным импульсом (1.34"). Процесс с такой корреляцион­

т. е. ординаты корреляционной функции по модулю никогда не пре­ вышают дисперсии случайной величины. Это соотношение является основанием для использования нормированной корреляционной функции.

48

3. Корреляционные матрицы стационарных процессов в силу свойства (1.55) являются диагональными, т. е. имеют вид

Корреляционные функции некоторых случайных процессов, чаще всего встречающихся на практике, изображены на рис. 20.

Функция взаимной корреляции

До сих пор мы говорили об одной отдельно взятой случайной функции. Рассмотрим теперь систему двух случайных функций X (t) и У (t). В рамках корреляционной теории для системы случай­ ных функций, так же как и для одной функции, ограничиваются рас­ смотрением первых двух моментов этих функций. Первый и второй моменты каждой случайной функции в отдельности рассмотрены выше, и остается рассмотреть второй смешанный момент ординат функций X (t) и У (t), взятых в различные моменты времени tj и th определяемый для вещественных X (t) и У (t) равенством

rXY(t}, h)^М {[Xit^-xit^WY(t^-yiti)]}; (1.57)

и называемый функцией взаимной корреляции.

Для стационарной в широком смысле системы функций (когда

и функция автокорреляции, функция взаимной корреляции отли­ чается от свертки тем, что ни одна из последовательностей Xt и Yt при вычислениях взаимной корреляции не «переворачивается»; ин­ дексы отсчетов xt и yt возрастают в одном и том же направлении.

Используем для вычисления функции взаимной корреляции те же последовательности Xt — х0, хи х2 и Yt — у0, ух, у2, которыми мы оперировали, рассматривая пример свертки.