книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

Это соотношение, известное как уравнение Колмогорова — Винера [74] (в зарубежной литературе уравнение Винера — Хопфа), занимает важнейшее место в статистической теории фильтрации. Левая часть (6.42) представляет собой свертку весовой функции фильтра и функции автокорреляции Ъу, (9). Следовательно, экви­

ивзаимный спектр функций х (t) и у' (t) (см. гл. 1). Аналогично в области z-представлений

Уравнения некоторых применяемых при цифровой обработке

Обратные фильтры

Существует несколько разновидностей обратных фильтров — фильтр сжатия, фильтр ошибки предсказания, дереверберационный фильтр, корректирующий фильтр. Рассмотрим их подробнее.

Фильтр сжатия. Как уже указывалось, главной целью обратной фильтрации является получение процесса к (t) «в чистом» виде, т. е. наилучшее приближение («сжатие») каждого отдельного им­ пульса aks (t — Qk) к единичной функции (6.35). Такой фильтр является обратным по отношению ко всей совокупности компонент, входящих в выражение (6.31) для формы s (t) единичного импульса. Будем называть этот фильтр фильтром сжатия, или собственно обратным фильтром. Для фильтра сжатия х (t) = 8 ( I ) , следова­ тельно,

200

Таким образом, уравнение Колмогорова—Винера для обратного

Частотный спектр «перевернутого» импульса s ( — В), как известно, равен комплексно-сопряженной функции S* (со) по отношению к спектру S (со) импульса s (0). Следовательно, аналогом выражения (6.45) в области частот является уравнение

льного» обратного фильтра (6.33), выведенную в предположении отсутствия помех, как частный случай.

201

Величина а называется интервалом предсказания. Если пред­ шествующие значения процесса у (t), t ^ 9 нам известны точно и оператор предсказания l n i (t) выбран правильно, то ошибка пред­ сказания

занными с предшествующими вступлениями волн, и никаких новых

новых волн. Именно эти новые волны и представляют для нас инте­

ан у л е й

Вобласти z-преобразований, очевидно,

Найдем теперь выражение для фильтра предсказания l n i (t), пользуясь уравнением Колмогорова — Винера. В соответствии с (6.47) желаемым выходным сигналом х (t) для фильтра Zn l (t) явля­ ется входной сигнал в последующие моменты времени. Поэтому

гху (т) = Ьу (t + а)

1 Так как мы предсказываем мешающую компоненту записи с целью ее последующего вычитания, следует прогнозировать не только спутники и ре­ верберации, но и помехи n (t), т. е. процесс у (t) в целом.

202

Особенностью этого выражения является то, что кроме неизвест­

Отметим одно интересное обстоятельство. Интервал предсказания а выбирается произвольно, и можно выбрать его так, чтобы, поль­ зуясь оператором lon t (t), предсказывать и вычитать не только волныспутники и реверберации, но и последующие экстремумы главного («чистого») импульса. Например, можно выбрать or, равное длине первого полупериода импульса s (t) (рис. 87): тогда все последующие полупериоды будут подавляться, т. е. будет достигнуто существенное сокращение длительности импульса. Можно далее выбрать а рав­ ным одному интервалу дискретности Дг. Тогда будут предсказываться и вычитаться все ординаты импульса, кроме первой. Это, в сущ­ ности, означает, что мы поставим задачу наилучшего приближения к единичному импульсу [его роль будет играть первая ордината импульса s (£)]. Оказывается [107], что в этом случае фильтр ошибки предсказания сводится к фильтру сжатия. Таким образом, послед­ ний может рассматриваться как частный случай фильтра предска­

Рассмотрим еще один частный случай фильтра ошибки предска­ зания, когда причиной образования сложного импульса является водная реверберация (рис. 88). Будем считать, что источником возбуждения генерируется одиночный импульс s0 (t). Принимая коэффициент отражения от границы вода — воздух за —1 и обо­ значая коэффициент отражения границы вода—дно через к, мы можем представить волну, прошедшую водный слой и распространяющуюся

времени, равные удвоенному времени пробега Е±Т в слое воды, и обу­

203

а

импульса S0 (t) в такую последовательность можно рассматривать как результат действия некоторого оператора

Q = l, 0, 0, . . ., —к, 0, 0, . . ., к\ 0, 0, . . ., -А», 0, 0 . . .,

где отличные от нуля значения встречаются через каждые п = А.Т/Ы точек.

Весьма просто выглядит z-преобразование оператора Q: Q(z) = l-kzn + k*z™-k3z*n + .. - = - д а г .

Каждая волна, отраженная в толще пород, выходя к приемнику, вновь проходит через водный слой и претерпевает те же воздействия, что и возбужденный сигнал. Поэтому действие водного слоя на пути волны в прямом и обратном направлениях описывается оператором реверберации

а сложный импульс на выходе этого оператора имеет вид

205

Компонентой, подлежащей предсказанию и последующему вы­ читанию, является выражение

Построим уравнение Колмогорова — Винера. Продолжая опе­ рировать в области z-преобразований, с учетом некоррелированно­ сти полезной компоненты и помех (rSn (z) — 0), находим

V (z) = bs (z) + bn (z) = [s0 (z) Q* (z)f +^-bn (z),

rxy.(z)=s*0(z)QHz) [Q*(z)-\],

откуда

Оператор ошибки предсказания определяется соотношением (6.51).

Корректирующий (формирующий) фильтр. Задачей корректиру­ ющей фильтрации является устранение изменчивости формы записи по профилю, связанной с изменчивостью поверхностных условий, и обеспечение стабильности (по профилю) некоторой выбранной

Р и с . 89. М о д е л ь д е р е в е р б е р а ц и о н н о й ф и л ь т р а ц и и .

206

общего вида, обеспечивающего наилучшее (в среднеквадратичном

В сущности, этот фильтр не является обратным. Однако он по­ явился в результате попыток устранения некоторых нежелатель­ ных эффектов «чистой» обратной фильтрации. Кроме того, он как бы содержит обратный фильтр в качестве своей компоненты. В самом деле, произвольный желаемый сигнал х (t) всегда можно предста­ вить как результат свертки с единичным импульсом а (£) (6.35):

Переходя в область частот, получаем

/>1 (ш)Ди (<в)«яХ(©)5» (09),

откуда

единичного импульса б (t), а результат действия всего фильтра L c l (со) Х((и) в целом — от желаемого импульса х (t). Схематически действие различных обратных фильтров показано на рис. 90.

Фильтр оптимального воспроизведения сигнала

Для фильтра оптимального воспроизведения желаемым сигналом на выходе является сигнал на входе, освобожденный от помех, следо­

Из выражений (6.59)—(6.61) видно, что оптимальный фильтр воспроизведения сигнала целиком определяется через автокорреля­ ционные функции сигнала и помех на входе (либо через модуль спектра сигнала и спектр мощности помех) и не требует знания конкретной формы сигнала, в частности его фазового спектра.

Оптимальные фильтры обнаружения

Вернемся к фильтру обнаружения Z3 (t), условием оптималь­ ности которого является выражение (6.39). Пусть формам (t) вход­

Будем считать временем прихода этого сигнала момент £0 —0. Чтобы найти фильтр, максимизирующий отношение (6.39) в момент вре­ мени t = 0 (выходной сигнал s (t) в этот момент должен принять пиковое значение), воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского, гласящего, что если а (х) и 6 (х) — произвольные комплекс-

208

ные функции, и а* (х) — функция, комплексно сопряженная с а (х), то справедливо соотношение

видим, что правые части (6,39) и (6.62) имеют одинаковую структуру. Следовательно, (6.39) максимизируется в том случае, когда в соот­

Таким образом, при помехах, представленных белым шумом, фильтр обнаружения имеет амплитудную частотную характеристику, совпадающую (с точностью до постоянного множителя) с модулем спектра одиночного полезного сигнала; весовая функция фильтра повторяет зеркальное отображение полезного сигнала.

Перейдем теперь к более общему случаю стационарных коррели­ рованных помех п (t), рассматривая по-прежнему модель у' (t) вместо у (t). Вывод формулы для частотной характеристики фильтра J8 (t) в этом случае можно построить, исходя из следующих сообра­ жений. Представим искомый фильтр как совокупность двух линей­ ных фильтров, действующих последовательно. Задачей первого фильтра является превращение помехи п (t) в белый шум. Для этого,

соответствующая спектру мощности белого шума на выходе фильтра. Поскольку на выходе фильтра L ' 3 (со) помеха станет белым шумом, вторым фильтром L'a' (со) должен быть фильтр типа (6.64). Однако вместо S* (со) в формулу (6.64) мы должны теперь подставить ком­ плексно сопряженный спектр полезного сигнала на выходе первого