книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

Такая же операция преобразования может быть описана как умножение прямоугольной матрицы преобразования на вектор, пред­ ставленный в форме матрицы-столбца; результатом перемножения будет матрица-столбец, описывающая выходной вектор:

Численные значения элементов матрицы преобразования рассчиты­ ваются применительно к требуемому режиму обработки. Покажем ис­ пользование формул (1.11) и (1.12) на примерах некоторых простей­ ших операции по обработке сейсмических данных.

Усиление входного сигнала в к раз осуществляется использова­ нием квадратной матрицы преобразования: первая строка матрицы преобразования содержит в первом столбце элемент к, остальные элементы равны нулю, в следующей строке элемент к смещается на один шаг, остальные элементы равны нулю, и т. д.

Как видно из приведенного расчета, в данном случае получаем выходную последовательность, все элементы которой равны соответ­ ствующим элементам входной последовательности, увеличенным в к раз.

Введение временного сдвига на миллисекунд с точки зрения аналоговых приемов обработки идентично пропусканию входного сигнала через «идеальную» (т. е без искажений формы сигнала и отра­

Как видно из приведенного примера, в данном случае-получаем выходную последовательность, элементы которой повторяют элементы

20

входной последовательности, но задержанные во времени на один интервал временного квантования, т. е. на время, равное At милли­ секунд.

П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е С Е Й С М И Ч Е С К И Х З А П И С Е Й В Ч А С Т О Т Н О Й О Б Л А С Т И . Д И С К Р Е Т Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я Ф У Р Ь Е

Обратимся вначале к представлению о непрерывных сигналах х (t) и их комплексных спектрах X (со). Функции х (t) и X (со) свя­

между представлением х (t) сигнала во временной области и его пред­ ставлением X (со) в области частот.

По аналогии с (1.13) и (1.14) дискретным временным последователь­ ностям xt = х0, Xi, . . ., хп_г соответствуют в области частот последо­ вательности Х(о = Xi, Х 2 , . • ., XQ, связанные с xt парой дискретных преобразований Фурье:

(=0

12

где t — О, 1, . . ., п — 1; со — 0, ± 1 , . . ., ±£2. Согласно формуле Эйлера

С учетом этих соотношений формулы (1.15) и (1.16) можно пере­ писать в виде

21

содержащая всего один ненулевой элемент. Из рис. 6 видно, что лишь в точке t = 0 косинусоиды суммируются без сдвига фаз и дают единственную ненулевую ординату; во всех остальных точках t = = ± 1 , ± 2 . . . сумма отсчетов косинусоид равна нулю.

22

Дискретные преобразования Фурье обладают рядом особенностей отличающих их от интегральных преобразований (1.13), (1.14).

1. Если непрерывной функции х (t) соответствует спектр X (со),, заданный в интервале — сог р , согр (рис. 7), т. е.

периоды располагаются справа и слева от главного на расстояниях

провести и некоторую другую кривую, представляющую собой функ­ цию х (t) с гармоническим заполнением, имеющим частоту со — 2л/At. Спектр такой кривой будет совпадать с первым побочным периодом

23-

20:/At

с

С(ы)

24

2 — ф и к т и в н а я с и н у с о и д а с з е р ­

главный период побочные периоды не накладываются; если же |сог р |

> л/At, то такое наложение происходит. Участки побочных периодов, накладывающиеся на главный период на частоте | со | s£ л/At, носят название зеркальных частот. Явление наложения зеркальных частот на главный период периодического спектра можно пояснить на при­ мере (рис. 10). Пусть компонента X (coj) исходного спектра X (со) имеет частоту щ ^>n/At. Из рис. 10 видно, что дискретность этой компоненты через интервал At приводит к появлению фиктивной сину­ соиды с частотой со2 < я / Л £ , которая будет суммироваться, с тем или иным фазовым сдвигом, с реальной компонентой главного пери­

постоянного множителя) спектру X (to) исходной непрерывной функ­

вить исходную функцию x(t). Если же |сог р | <Ся/Д£ и произошло на­ ложение зеркальных частот, то ни на каком участке оси со мы не най­ дем такого периода периодического спектра Ха, который совпадал бы с X (ы). ЭТО в свою очередь лишает нас возможности восстановить исходную непрерывную функцию х (t) точно. Она может быть вос­ становлена лишь с погрешностями, причем величина погрешностей определяется интенсивностью спектральных составляющих в области зеркальных частот.

представляет собой важную границу: если ненулевые ординаты глав­ ного периода спектра X (со) не выходят за пределы этой границы, то возможно точное восстановление функции х (t); если же выходят за пределы — то такое точное восстановление невозможно. Частоту Q = ±n/At иногда называют найквистовой частотой.

3. Рассмотренные особенности спектров дискретных функций позволяют сформулировать теорему Котельникова, или теорему от счетов: если спектр X (со) некоторой непрерывной функции х (t) задан в ограниченной полосе частот — ю г р =S со ^ сог р , то функцию х (t) можно полностью восстановить по ее отсчетам, заданным через интервал At <С_л/<огр (имеется в виду восстановление функции в про­ межутках между отсчетами). Эта теорема лежит в основе выбора

25

величины шага дискретизации At. Из теоремы вытекает, что если самая высокая частота в спектре X (со) функции х (t) равна

то максимально возможным шагом дискретизации является такой шаг At = л / с о г р , при котором у спектральной компоненты X (со г р ) на частоте с о г р получаются два отсчета на период.

В зависимости от фазового сдвига рассматриваемой спектральной компоненты, определяемого формулой (1.21), эти два отсчета попадут

ненте X (со г р ) спектра. В первом случае (отсчеты попали на макси­ мумы) компонента X (со г р ) будет восстановлена полностью; во вто­ ром — ее амплитуда будет занижена до нуля, остальные случаи являются промежуточными. Казалось бы, это ставит под сомнение теорему Котельникова: раз не обеспечивается точное воспроизведение компоненты спектра на частоте с о г р , значит не может быть точно воспроизведен и весь спектр.

На самом деле это противоречие кажущееся. Теорема сформули­ рована для функций, имеющих спектр, ограниченный в полосе частот от •— с о г Р до с о г р . Такой спектр, как известно, могут иметь только бесконечно протяженные функции z (t). С другой стороны, беско­ нечно протяженные функции имеют непрерывный спектр. Это озна­ чает, что компонента спектра на частоте меньше | с о г р ) на бесконечно малую величину уже будет восстановлена без ошибок. Следова­ тельно, и вся функция х (t) будет восстановлена точно.

Таким образом, для абсолютно точного соблюдения теоремы Котельникова необходимо, чтобы функция х (t) была бесконечно протяженной, а условие (1.23) соблюдалось строго. При этих усло­ виях выбирать шаг дискретности меньшим, чем At = нет никакого смысла. Между тем сейсмические трассы являются огра­ ниченными во времени функциями; в еще большей степени это отно­ сится к отдельным сейсмическим сигналам. Такие функции не могут иметь ограниченного спектра; лишь с той или иной степенью при­ ближения можно говорить о том, что их спектр задан в конечном интервале от до Поэтому и теорема Котельникова при­ менима к сейсмическим сигналам лишь с той или иной степенью приближения.

Выше были рассмотрены принципиальные возможности восста­ новления исходной непрерывной функции по ее дискретным отсчетам, реализуемые только при идеализированном способе интерполяции между отсчетами, а именно при аппроксимации исходной непрерыв­ ной функции рядом Котельникова [38, 85]. Практически же обра­ ботка записи выполняется с помощью таких способов, в которых реализуется (или подразумевается) более грубая аппроксимация исходной функции, например линейная интерполяция между от­ счетами или замена гладкой кривой ступенчатой функцией (см. рис. 1 и 2). Это приводит к дополнительным погрешностям, связанным с дискретизацией лишь косвенно, через посредство принятых способов обработки. Установлено, что для огра-

26

ниченных во времени сейсмических записей требуется выбирать

если известно, что исходная непрерывная функция х (t) не содержала (с обусловленной степенью точности) частот более высоких, чем сог р = = Q = к/'At. Выше было показано, что побочные периоды периоди­ ческого спектра Ха обусловлены высокочастотным заполнением, кото­ рое в принципе может быть у дискретной функции. Но если нам зара­ нее известно, что этого высокочастотного заполнения у исходной функ­ ции х (t) нет, следовательно, все побочные периоды функции Х№ при обратном преобразовании Фурье следует отбросить и выполнять сум­ мирование только в пределах от —л/At до +я/Д £ , что и показано

вформулах (1.16) и (1.16').

5.Для пары дискретных преобразований Фурье (1.15) и (1.16), так же как и для непрерывных (1.13) и (1.14), характерна так назы­ ваемая симметрия: обратное преобразование по форме очень похоже на прямое; разный знак у мнимой части в (1.15) и (1.16) в данном слу­ чае существенного значения не имеет. Поэтому все правила, обяза­ тельные при прямом преобразовании, обязательны и при обратном.

ных на интервале 0 ^ t s£ Т, спектр может быть вполне достоверно

6. Исходным материалом при обработке данных MOB практически всегда являются временные последовательности xt — трассы сейсмо­ грамм. Для получения спектров Ха требуется выполнить спектраль­ ный анализ трасс. Эта операция осуществляется с помощью прямого преобразования Фурье, выполняемого по формуле (1.16).

При выполнении прямого преобразования Фурье необходимо иметь в виду следующее.

Спектр сейсмического сигнала не может быть определен только для какого-либо значения времени; для определения спектра необ­ ходимо выбрать интервал записи требуемой длительности. На выборе длительности интервала, подвергаемого спектральному анализу, следует остановиться более подробно, так как от него зависит

27

тонкость структуры получаемого спектра, а следовательно, и точность последнего.

От длительности исследуемого интервала сейсмозаписи Т зависят величина минимальной частоты получаемого спектра и квантование частот в получаемом дискретном спектре. Исследуемый интервал сейсмозаписи Т должен быть таким, чтобы на нем полностью уложился

частот (в герцах) 1, 2, 3, 4. . . с квантованием частот в 1 Гц, то под­ вергаемый спектральному анализу отрезок сейсмической записи дол­

Рассматриваемая операция преобразования Фурье позволяет лостроить комплексный спектр Ха, однозначно соответствующий дан­ ной конкретной последовательности xt. Часто приходится сталки­ ваться с другой постановкой задачи. Сейсмические записи могут рассматриваться как реализации случайных процессов (см. ниже). Для обработки таких процессов требуется знание их статистических характеристик. Одной из важнейших статистических характеристик сейсмических трасс как случайных процессов является их амплитуд-

стической характеристики сейсмических трасс отличается от задачи вычисления С м как амплитудного спектра данной конкретной трассы. Всякая статистическая характеристика строится путем осреднения множества данных об индивидуальных реализациях. В данном случае спектр С ш строится путем осреднения спектров СА, вычисленных ло множеству различных трасс. При этом некоторые параметры пре­ образования Фурье, в частности c o m i n , выбираются по другим пра­ вилам (см. гл. 5).

Выполнение обратного преобразования Фурье базируется на формуле (1.16). Раскроем эту формулу с учетом, что элементы частот­ ной последовательности X® описываются комплексными выраже-

28

В формуле (1.29) в отличие от (1.16) используются только действи­ тельные величины; следовательно, подсчитываемые по (1.29) элементы временной последовательности всегда будут действительными.

Матрица оператора, реализующего обратное преобразование Фурье, строится по аналогии с матрицей прямого преобразования с учетом формулы (1.29).

оператора L к функции х (t) или воздействия оператора L на функ­ цию х (t). Все операторы делятся на линейные и нелинейные.

Линейным оператором называется оператор, который удовлетво­

Операторы, не удовлетворяющие этим условиям, называются нелинейными.

Линейными являются операции дифференцирования, интегриро­

Это выражение, называемое интегралом Дюамеля или интегралом свертки, описывает такие преобразования, как фильтрация, сглажи­ вание, интерполирование непрерывных функций. Дискретным анало­ гом интеграла Дюамеля является выражение

9=0

29