книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных
..pdfY(0) |
|
|
|
У(2) |
Р и с . 81. |
Д и а г р а м м а |
|
расчетов |
по |
а л г о |
|
У(0 |
ритму |
Б П Ф |
дл я |
N |
= 4. |
|
|
|
У(з) |
Пользуясь периодичностью функции W1"1 |
—• e ' 2 n i k n / N |
в нашем примере N = 4, заменим в (6.23) |
и (6.24) W2 |
W3 на —И7 1 . Получаем соответственно
= M 0 ) +•W°y0(2), M l ) = Уо(1)-1- W°y0(3), J/l(2):= »о(0)~•W°y0{2), J/l(3):= » о ( 1 ) - W°y0(S)
и помня, что на — И7 0 и
(6.25)
|
г/0(0) |
.'/,(") • •Woyi(l), |
|
|
|
||
|
l/o (2) = |
Уг(0) - W°yi (1), |
|
|
(6.26) |
||
|
I/od) |
|
• ^ i ( 3 ) , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
г/о (3) = |
2/i(2)-• W V i (3)- |
|
|
|
||
Системы (6.25) и (6.26) и |
представляют |
собой |
вычислительный |
||||
алгоритм БПФ для N = 4. Диаграмма его приведена на |
рис. 81. |
||||||
Вычисления |
производят |
в два |
этапа, |
которым соответствуют |
|||
системы (6.25) и (6.26). На первом |
этапе |
промежуточное |
значение |
||||
yi (к) определяется как сумма двух |
значений |
у0 |
(к), причем одно |
||||
из них взято с |
коэффициентом Wk, на втором |
этапе схема |
вычисле |
||||
ний та же, но вместо исходных формируют промежуточные значения г/i (к). Нормальный порядок выходных значений легко восстанавли вается с помощью замены порядка бит в нумерации Y (п) на об ратный.
Так же выглядит схема расчетов и при больших N, но только там этапов больше. Для вывода закономерностей расчетов при произ вольном Л7 необходимо определить следующие правила: а) из ка ких двух величин образуется последующее значение на каждом
этапе; |
б) в какой степени находится |
коэффициент |
W; в) как восста |
|
новить |
порядок выходных значений. |
|
|
|
Для ответа на эти вопросы введем |
некоторые |
дополнительные |
||
обозначения. Исходную функцию у{, |
состоящую |
из N отсчетов, |
||
где N = 2v, обозначим, как и выше |
у0 |
(к), где А; изменяется от О |
||
190
до Л7 — 1. Чтобы выразить к в виде бинарного номера, необходимо иметь у разрядов. Расчет по БПФ будет идти в у этапов
|
|
у 0 ( 0 0 . |
. |
000) |
|
|
3 |
• |
y |
v |
Уо(0) |
= |
|
|
|
г/i |
г/2 |
г/ • |
|
||
Уо(1) |
= Уо (00. |
. |
001) |
гл |
г/г |
Уз • |
• |
yv |
||
Уо (2) |
= (00. |
. |
010) |
г/i |
г/2 |
Уз • |
• |
yv |
||
Уо(3) |
= I/O (00. |
. |
011) |
г/i |
г/2 |
Уз • |
• |
yv |
||
У о ( ^ - 1 ) |
= г/о (И • |
. |
111) |
г/i |
г/г |
Уз • |
• |
yr |
||
|
Еозвращаясь к диаграмме на рис. 81, назовем узлами точки, |
||
где |
сходятся две линии. Каждому |
узлу соответствует |
величина |
Yp |
(п), где п — номер узла вдоль |
колонки, р — номер |
колонки, |
начиная с левой, которая является нулевой. Номера узлов к ко
лонке р — 1, из которых образуется узел п |
в колонке р, |
определя |
||||||
ются |
следуй.гцим |
образом. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Для слагаемого без коэффициента W. |
Номер узла |
в |
колонке |
||||
р—1 |
такой же, как для узла в колонке р, но при этом {у—р)-й |
би |
||||||
нарный разряд номера узла в колонке |
р—1 |
должен быть приравнен |
||||||
нулю. |
|
|
|
х колонки 5, |
|
|
|
|
П р и м е р . |
Определить |
номер |
узла |
|
который |
|||
участвует в расчете значения |
в узле с номером 7 колонки |
6, |
если |
|||||
N = 256 — 28 . у = 8. Имеем п = 7 == 00000111, у—р = 8 — 6 = 2. Мы должны второй разряд после нулевого в номере п заменить
нулем, следовательно, |
получаем |
х — 00000011 = |
3. |
|
|
2. Для слагаемого |
с коэффициентом W. |
Номер |
узла в |
колонке |
|
р — 1 такой же, как |
для узла в |
колонке |
р, но при этом |
(у—р)-й |
|
бинарный разряд номера узла в колонке р — 1 должен быть приравнен единице.
П р и м е р . |
Определить номер узла х колонки 2, который уча |
||
ствует в расчете значения в узле с номером 21 колонки |
3, если JV |
= |
|
= 32 = 25 , 7 = |
5. Имеем и = 21 = 10101; у—р = |
5 - 3 = |
2. |
Мы должны второй после нулевого разряд в номере п заменить
единицей, |
но здесь уже стоит единица, значит |
х = |
10101 |
= |
21. |
||||||||
по |
Степень коэффициента W при вычислении |
У р |
(п) |
определяется |
|||||||||
следующему правилу. |
Бинарный |
номер |
п нужно |
сдвинуть |
|||||||||
(У — Р) Р а з вправо, заполняя пустые |
места |
слева |
нулями, а |
затем |
|||||||||
в полученном |
значении |
поменять порядок |
бит |
на |
обратный. |
|
|
||||||
|
П р и м е р . |
Для узла |
7 в колонке 2 при |
Л' = |
16 |
|
24 |
имеем |
|||||
л = |
7 = |
0111, |
у — р = |
4 — 2 = 2. |
Сдвинув |
бинарный |
номер |
п |
|||||
на два разряда вправо, получим 0001. Поменяв порядок бит на об
ратный, |
имеем 1000 = |
8, т. е. при вычислении |
узла нужно при |
|||||
менять |
коэффициент |
W8. |
|
|
|
|
||
Наконец, |
для |
восстановления правильного |
порядка |
значений |
||||
в последней |
колонке |
р = у |
нужно |
изменить |
последовательность |
|||
бит в номерах узлов Yv |
(п) на обратную, тогда полученные |
значения |
||||||
укажут |
порядок |
нумерации |
искомой |
функции. |
|
|
||
191
На |
рис. 82 приведена диаграмма |
расчетов по указанным |
пра |
||
вилам для N — 8. Дополнительное ускорение достигается благодаря |
|||||
тому, |
что |
= |
wmN>'2 = e-2 n i |
e~*ni =? - И 7 Р . |
|
Очевидно, что обратное преобразование может быть выполнено |
|||||
по той же схеме, |
только знаки при коэффициентах W должны |
быть |
|||
изменены на противоположные. |
|
|
|||
При исследовании |
алгоритма БПФ следует учитывать, что в нем |
||||
осуществляется |
преобразование одного массива комплексных |
чисел |
|||
в другой. Сейсмическая информация |
во временной области задана |
||||
только действительными числами, поэтому вся вторая половина массива у0 (£), соответствующая мнимым числам, должна быть заполнена нулями. При обратном преобразовании "временным от счетам сейсмической трассы будет соответствовать только первая половина выходных значений. Вторая половина дает мнимые зна чения и должна быть отброшена.
Важной особенностью изложенного алгоритма БПФ является
возможность преобразования |
только массивов длиной N, где N = |
|||
= 2ч (у = |
1, 2, 3, . . .), -. е. N = 4, 8, 16, 32, 64, . . . Для сейсми |
|||
ческих трасс подходящими |
значениями у обычно являются 1024 |
|||
или 2048. |
Если необходимо |
обрабатывать |
промежуточное число |
|
точек, то недостающие до ближайшего |
2ч значения задают нулями. |
|||
Рассмотрим, какое ускорение счета |
дает |
алгоритм БПФ на опе |
||
рациях вычисления спектров и при выполнении свертки. Предпо
ложим, |
что необходимо |
обработать |
сейсмическую |
трассу из N — |
||
= 2048 |
отсчетов. При спектральном анализе |
обычное |
преобразование |
|||
Фурье |
требует N2 |
операций, обработка по |
БПФ — 2N\gN опера |
|||
ций. Отношение |
числа |
операций |
|
|
|
|
|
|
№ |
N |
2048 |
„о |
|
|
|
2NlgN |
2lgiV |
2-11 |
' |
|
т. е. алгоритм БПФ в этом случае приблизительно в 93 раза быстрее.
192
Обычная |
свертка требует 2NM операций, где М — число то |
|||
чек фильтра; |
обработка по |
БПФ — 2N\gN |
операций на |
прямое |
преобразование, 6ЛГ — на |
перемножение |
комплексных |
спектров |
|
и еще раз 2N log N на обратное преобразование. При М = 100, от ношение числа операций
2MN |
И |
_100 |
_ |
, |
4 ^ ( l o g i V + l,5) — 2 (log |
+ 1,5) ~ |
25 |
"~ |
* |
Мы видим, что уже при М >• 25 фильтрация в частотной области с применением. БПФ выполняется быстрее, чем во временной.
Фильтрация, переменная во времени
До сих пор, описывая процедуру фильтрации, мы предполагали, что оператор фильтра остается неизменным на всем протяжении
фильтруемого процесса — сейсмической трассы. Между |
тем |
харак |
|
терной особенностью сейсмической записи |
является |
медленное, |
|
но непрерывное изменение ее статистических |
свойств |
от |
начала |
трассы к концу, обусловленное наличием избирательного |
неупругого |
||
поглощения и другими факторами (см. гл. 2). Поэтому при осуще ствлении фильтрации стараются делать и фильтр переменным во времени, чтобы по возможности не нарушалось его соответствие соотношению сигнал/помеха, свойственному каждому данному уча стку трассы. Построение и использование фильтров, меняющихся непрерывно от отсчета к отсчету по трассе, экономически неопра вданно. На практике пользуются следующим приемом: трассу разбивают на ряд интервалов с некоторым перекрытием ДГ (рис. 83). В пределах каждого г-го интервала фильтрацию выполняют с помощью фильтра f{ (t), рассчитанного специально для этого интервала. Из полученных перекрывающихся отрезков трассы на выходе фильтра «составляют» отфильтрованную трассу. В пределах участков пере крытий соседние отрезки трассы суммируются с весами, линейно меняющимися со временем t от единицы до нуля для отрезка, распо ложенного «слева» от зоны перекрытия (т. е. в области меньших вре мен), и от нуля до единицы для отрезка, расположенного «справа» от этой зоны. Делается это для того, чтобы сгладить разрывы ре зультирующей трассы, которые появлялись бы при отсутствии зон перекрытия. В пределах трассы обычно выбирают не более пяти интервалов; длина каждой из зон перекрытия — обычно порядка полной длины весовой функции фильтра.
Многоканальная фильтрация
Как уже указывалось, различия сигналов и помех по кажущейся скорости, кривизне годографов, степени коррелируемости по про филю дают основание для применения пространственных интерфе ренционных систем — многоканальных фильтров, разделяющих сиг нал и помехи на основании этих различий.
13 З а к а з 312 |
193 |
|
J 7 |
+ ^тттТТП| |
|
Г" |
|
|
-y=y№fz(ty |
|
Р и с . 83. |
И л л ю с т р а ц и я алгоритма |
п е р е м е н н о й во времени фильтрации |
1 — трасс а |
на в х о д е фильтра; 2 — весовые коэффициент ы в п р е д е л а х з о н п е р е к р ы т и я . |
|
Простейшие разновидности |
таких интерференционных систем, |
|
как смешение, группирование, фильтрация скорости, давно приме няются в сейсморазведке. Применение вычислительных машин позволяет реализовать более сложные алгоритмы, основанные на более полной информации о параметрах полезных сигналов и помех.
Обратимся к модели (2.44) |
многоканальной сейсмической |
записи |
|||
и перепишем ее в упрощенном |
виде: |
|
|
||
yx{t) |
= |
|
Zx(t)~r-nx(t), |
(6.27) |
|
где 2Х (t) — сигнальная компонента; |
пх (t) — сумма всех |
помех. |
|||
Общая схема многоканальной фильтрации изображена на рис. 84 |
|||||
и для (М + 1)-канального фильтра |
описывается выражением |
||||
т=М/2 |
|
Ух-mif)]. |
(6.28) |
||
y X ( t ) = |
2 |
j 2 |
lfm(t) |
||
т=-М |
|
|
|
||
Здесь / т (t) — весовая функция многоканального фильтра. Ее можно |
|||||
рассматривать в соответствии с рис. 84 как совокупность М + 1
разных |
временных фильтров |
/ 4 (t), /2 |
(t), . . ., fM+i |
(t); ух_т (t) |
— |
||||
входные |
трассы |
ух+м/г |
(*)> Ух+м_ |
_i |
( 4 |
• • Ух-М/2 |
(*)• Значок |
* |
|
означает |
свертку |
функций fm |
(t) и ух_т |
(t) |
по временной координате, |
||||
при фиксированных |
т и х . |
|
|
|
|
|
|
||
Дискретная цифровая многоканальная сейсмическая запись (6.27) |
|||||||||
выглядит как матрица (см. гл. 1), у которой каждая |
х - я строка пред |
||||||||
ставлена |
отсчетами по данной х-й |
сейсмической трассе, а каждый |
|||||||
2-й столбец — отсчетами разных |
трасс на данном |
фиксированном |
|||||||
времени t (рис. 85). В виде аналогичной матрицы можно представить и оператор многоканального фильтра.
194
|
|
|
X x |
|
|
|
|
|
|
|
Ух-н/гЩ |
|
.XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f,(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x '• |
|
|
|
|
|
|
|
|
fo(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ух.г |
(У |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
. |
® |
• |
|
|
|
|
|
|
|
X X л (x |
|
|
|
|
|
||
Ух+м/гМ |
|
• , • |
• |
X X у x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ух+м/2+1(1) |
|
|
.... 1 |
|
|
© |
|
|||
|
|
|
|
X X X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р и с . 84. |
Схема |
м н о г о к а н а л ь н о й |
ф и л ь Р и с . 85. Матрицы |
в х о д н о й ух |
(t) |
(1) |
||||
|
|
т р а ц и и . |
и весовой fm (t) |
(2) ф у н к ц и й |
и |
|||||
|
|
|
отсчеты |
в ы х о д н о й |
ф у н к ц и и |
ух |
(t) |
|||
|
|
|
(3) |
д л я х = |
2, |
t = |
4, 5, |
6. |
|
|
При таком представлении привычная для нас временная |
филь |
|||||||||
трация |
выглядит как свертка |
вдоль строк |
матрицы |
сейсмической |
||||||
записи, |
смешение — как свертка вдоль столбцов |
этой |
матрицы. |
|||||||
Пространственно-временная фильтрация, описываемая формулой
(6.28), выглядит как двумерная свертка: матрицу |
Y = (yxi) выход |
||||||||
ной |
сейсмической |
записи |
получают |
путем перемещения |
матрицы |
||||
F = |
(fmt) |
весовых |
коэффициентов последовательно |
вдоль |
первой, |
||||
второй и т. д. строк «входной» матрицы |
Y = (yxt) |
с образованием |
|||||||
при |
каждом |
шаге |
суммы |
произведений |
соответствующих |
отсчетов |
|||
fm (Й и ух |
(t) |
(рис. |
85). |
|
|
|
|
|
|
В |
результате получают |
элемент |
«выходной» матрицы |
Y = \yxt\ |
|||||
для тех значений х и t, против которых на данном шаге располагался отсчет / 0 (0) весовой функции (см. рис. 85). Очевидно, что выходную матрицу можно получить также, перемещая (с образованием упомя нутых произведений) последовательно весовую функцию не вдоль
первой, |
второй и т. д. |
строк, |
а последовательно вдоль |
первого, |
||
второго |
и т. д. столбцов |
«входной» |
матрицы Y |
—- (yxt). |
Результат |
|
будет тот же. С этой точки зрения |
(6.28) можно |
переписать в виде |
||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
У/(*) = 2 |
(/в И * У«-в(*)1 |
|
(6-28') |
||
|
|
8=0 |
|
|
|
|
или в |
более общей форме |
|
|
|
|
|
|
|
М / 2 |
Г |
|
|
(6.29) |
|
Vtx. = |
2 2 |
fmWx-m, i-rr |
|
||
m = - M / 2 6*0
13* |
195 |
В дальнейшем мы будем придерживаться наиболее привычного для нас представления (6.28).
Рассмотренная схема соответствует пространственно-временной фильтрации с использованием фильтра, инвариантного как во вре
мени, |
так и в пространстве. В частности, фильтр |
fm (t) в |
(6.28) не |
||
меняется с координатой х, т. е. набор фильтров |
/ 0 |
(t), f±l |
(t), |
. . ., |
|
*±м/2 |
(0 — один и тот же для получения всех выходных трасс ух (t), |
||||
у2 (t) |
. . . Такой инвариантный в пространстве фильтр соответствует |
||||
случаю, когда статистические характеристики |
сигналов |
и |
помех |
||
не меняются по профилю. В более общем случае, если такие изме нения существуют и их требуется учитывать, фильтр делают пере
менным |
в |
пространстве, |
т. е. для |
разных выходных трасс уг (t), |
||||||
i/2 (t), . . ., |
yk (t) . . . используют |
разные наборы fmx |
(t) фильтров. |
|||||||
Далее |
фильтр, |
участвующий в |
выражении |
(6.28), может |
быть |
|||||
неременным во времени, |
т. е. вместо набора / 0 |
(t), |
f±i |
(t), . . . |
мы |
|||||
будем иметь набор |
/ 0 (t, |
т), f±i |
(t, |
т) . . . Наконец, |
в |
самом слож |
||||
ном случае |
многоканальный |
фильтр может быть переменным |
как |
|||||||
по времени, так и по координате х. |
В дальнейшем мы будем рассма |
|||||||||
тривать простейший случай (6.28), имея в виду, что для реализации переменной во времени или в пространстве многоканальной-, филь трации может быть использован тот же прием, что и для выполнения
переменной во |
времени одноканальной |
фильтрации. |
|
||||
Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И В Ы Б О Р А Ф И Л Ь Т Р О В |
|
||||||
Критерии |
оптимальности |
некоторых фильтров |
|
||||
Обратимся |
к |
модели многоканальной сейсмической |
записи. |
||||
С учетом (2.2) и |
(2.16) после |
ЦАРА и ввода поправок имеем |
|||||
|
|
|
y(t)=z(t) |
+ n{t), |
(6.30) |
||
|
|
z(*) = x ( o » s ( * ) = 2M*s (*-ef t ), |
(6.31) |
||||
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
s(t) = |
s0(t)*snoB(t)*sper(t). |
|
||
Здесь индексы х и | , |
характеризующие |
абсциссы точек возбуждения |
|||||
и приема, для простоты опущены. |
|
|
|||||
Фильтрация |
может применяться |
для решения различных задач. |
|||||
Конечной целью |
обработки |
является |
восстановление |
функции |
|||
х (х, t). Применительно к одноканальной модели (6.30) это анало гично задаче выделения зависимости к (t) в «чистом» виде. При вы соком уровне помех, однако, может выдвигаться другая, более простая задача: наилучшим образом обнаружить сигналы Aks (t —
— Qk) на фоне помех. Наконец, если нас интересует информация, которую несет в себе форма 5 (t) сигналов, задача фильтрации может быть сформулирована и так: воспроизвести на выходе фильтра только полезную компоненту z (t) записи, внеся в нее минимум искажений. Чтобы выбрать фильтр, наилучшим образом решающий ту или иную
196
задачу, нужно строго сформулировать условия и критерии, которым он должен удовлетворять. Критерии выбираются произвольно, но, будучи выбранными, они определяют уравнение фильтра одно
значно. Получаемый фильтр называют |
оптимальным с точки зрения |
|||||||||
выбранного критерия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотренным |
задачам |
в теории |
фильтров |
принято |
ставить |
|||||
в соответствие |
следующие |
критерии. |
|
|
|
|||||
1. Задача выделения |
зависимости х (t) |
«в чистом» виде |
решается |
|||||||
с помощью такого фильтра h (t), который преобразует |
входную |
|||||||||
трассу у (t) в выходную последовательность |
y(t), наименее (в среднею |
|||||||||
квадратичном |
смысле) |
отличающуюся |
от |
х (t). |
|
|
||||
В случае, когда помехи п (t) отсутствуют, возможно точное ре |
||||||||||
шение задачи, т. е. получение у |
(t) = х (t). В самом деле, |
с учетом |
||||||||
условия п (t) = |
0 |
вместо |
(6.30), |
после |
перехода |
в область частот, |
||||
имеем |
|
|
|
Г(со) = |
#(со)£(со), |
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
Н |
= |
^ И ^ . |
|
|
(6.32) |
|
Здесь множитель i/S (со) играет роль частотной характеристики иско мого фильтра l t (t), который должен произвести преобразование материала, обратное тому, которое описывалось как воздействие оператора s (t) на импульсную сейсмограмму х (t) (см. гл. 2). Ча стотная характеристика Li (со) этого фильтра оказывается обратной величиной по отношению к спектру S (со) одиночного сейсмического импульса:
Lx (со) = l/S (со). |
(6.33) |
Поэтому фильтр типа L t (со) называется |
обратным. |
При наличии помех точное решение (6.32) неосуществимо. При ходится искать приближенное решение, вытекающее из сформу лированного выше критерия минимума суммы квадратов отклоне
ний выходной последовательности |
y'(t) от искомой функции х (t). |
||
В силу принципа суперпозиции, справедливого для линейных систем |
|||
(см. гл. 1), |
фильтр li (t), |
удовлетворяющий этому критерию для |
|
суммы y'(t) |
= ak s (t — xk) |
+ n (t) |
одиночного /с-го импульса и |
помех, будет оптимальным и для всей суммы (6.30). |
Таким образом, |
|||||
критерий |
оптимальности |
фильтра |
Zt (t) сводится |
к выполнению |
||
условия |
|
|
|
|
|
|
|
^{Ht-rk)-[s(t-xk)+-^n(t)]* |
|
M * ) } ' - m i n . |
(6.34) |
||
|
(О |
|
|
|
|
|
Здесь |
6 (t — xk) — элемент импульсной |
сейсмограммы |
х (£), |
|||
соответствующий данному &-му импульсу: |
|
|
|
|||
|
|
( |
1, t = xk, |
|
|
|
|
б ( |
' - Н о , ^ т , |
|
|
( 6 - 3 5 ) |
|
197
2. Задача освобождения записи (6.30) от помех при минимальных искажениях полезной компоненты, очевидно, решается, с помощью такого фильтра l2 (t), который преобразует у (t) в последователь ность у (t), наименее (в среднеквадратичном смысле) отличающуюся от z (t). В дальнейшем такой фильтр будем называть фильтром оптимального воспроизведения сигнала.
Рассуждая так же, как и в случае Z4 (i), приходим к следующему условию оптимальности фильтра l2 (t):
[ s ( * _ T f t ) + J - n ( * ) ] |
W 2 ( 0 } 2 = min. |
(6.36) |
|
W |
|
|
|
Мы видим, что фильтры li |
(t) и l2 (t) являются частными случаями |
||
фильтра общего вида I (t), |
преобразующего |
наилучшим (в |
средне |
квадратичном смысле) образом аддитивную смесь сигнала и случай
ных |
помех |
в |
некоторый |
произвольно |
задаваемый («желаемый») |
сигнал х (t). |
Значительный |
вклад в теорию таких фильтров внесен |
|||
Б . Винером |
[121], поэтому иногда подобные фильтры называют |
||||
винеровскими. |
|
|
|
||
3. |
Задача |
|
оптимального |
обнаружения |
сейсмических сигналов, |
очевидно, может быть решена с помощью такого фильтра ls (t), который максимизирует отношение пиковой амплитуды полезного сигнала к среднеквадратичному значению помехи нэ выходе фильтра1 .
Допустим вначале, что помеха п (t) |
в (6.30) представлена |
стационар |
||||||||||
ным белым шумом со спектром мощности |
|
п0/2. |
|
|
через |
|||||||
Выразим полезную |
компоненту |
s (t) на |
выходе фильтра |
|||||||||
ее комплексный |
спектр |
g (со) — S (со) L 3 |
(со) с помощью |
обратного |
||||||||
преобразования |
Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t)= |
\ |
S((0)Ls(a)eiat |
da. |
|
(6.37) |
|||||
|
|
|
|
- о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия о 2 |
помехи на выходе фильтра равна площади |
спектра |
||||||||||
мощности помехи на выходе, следовательно, можно записать |
[34] |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" я „ = ^ |
J | £ в И 1 2 Ж » . |
|
(6-38) |
||||||
|
|
|
|
|
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
Пользуясь выражениями |
(6.37) |
и (6.38) и полагая, что |
сигнал |
|||||||||
s (t) |
на выходе достигает |
пикового |
значения в некоторый |
момент |
||||||||
1 |
М о ж н о т а к ж е |
пытаться |
решать |
эту з а д а ч у |
с п о м о щ ь ю фильтра, |
м а к с и м и |
||||||
з и р у ю щ е г о на выходе о т н о ш е н и е |
э н е р г и й п о л е з н о г о сигнал а п п о м е х |
[117]. |
||||||||||
О д н а к о о п р е д е л е н и е параметров |
такого |
фильтра |
т р е б у е т более |
г р о м о з д к и х |
||||||||
вычислений, а сам фильтр |
менее |
эффективен . |
|
|
|
|
|
|||||
198
времени t0, запишем условие оптимальности фильтра l3 (t) в виде
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
I s (*о) I |
|
j S (<о) |
Ь3(ы)ешЫ |
|
|
|
|
|
_ |
- о о |
- = max. |
(6.39) |
|
|
|
|
|
Оп |
I |
оо |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
» о / 2 J U 3 ( C 0 ) | 2 d ( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
-'со |
|
|
|
Выражения (6.34), (6.36) и (6.39) представляют собой математи |
|||||||
ческие |
формулировки |
критериев оптимальности фильтров lx (t), |
||||||
1г |
(t) |
и |
l.A (t) |
в рамках |
статистической модели (6.30). Пользуясь |
|||
этими |
выражениями, получим теперь |
уравнения весовых |
функций |
|||||
и |
частотных |
характеристик |
оптимальных фильтров. |
|
||||
Уравнение Колмогорова — Винера
Запишем условие, аналогичное (6.34) и (6.36), для фильтра общего вида I (t), используя, как и прежде, у' (t) вместо у (t):
2 [ * ( * ) - / (t)* |
Z(i)]2 = min. |
(6.40) |
Как известно, условие минимума |
будет выполнено в том случае, |
|
если все частные производные левой части (6.40) по каждому из весовых коэффициентов фильтра будут равны нулю. Обозначив через
А; число отсчетов |
(«длину») входного сигнала у' |
(t), |
через |
q |
«длину» |
|||||||||||||
желаемого |
сигнала |
х |
(t), |
через 8 — 1 , 2, |
. . ., Т |
номера |
весовых |
|||||||||||
коэффициентов |
фильтра |
I (t) и полагая, |
что к + Т (длина |
выход |
||||||||||||||
ного |
сигнала) |
больше |
q, |
запишем |
во избежание путаницы |
свертку |
||||||||||||
у' (t) * i |
(t) |
в |
виде |
суммы |
произведений. |
Продифференцируем |
ле |
|||||||||||
вую |
часть |
(6.40) : |
|
|
Гг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
Ik+T(k+T |
Тт |
|
|
21 |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dl |
(6) |
|
2 |
* ( о - 2 г ( т ) / |
( |
' ~ т |
) |
|
|
|
|
|||
|
k+T |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 2 |
|
|
|
|
x(t)-^l(x)y'(t~x) |
dl (В) |
*Ц)-^1{х)у'а—т) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
т=о |
|
|
|
|
|
Х=0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
г+Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
x(t)-Zy'b)i(t-r) |
|
1-у' |
(t-Q)] |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
г=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+T |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! S |
|
- x(t)y'(t-Q)+^l(x)y'(t~x)y' |
|
|
(t-Q) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t=o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+T |
|
|
|
|
T |
k+T |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.41) |
|
= |
2 I - |
2 |
x{t)y'(t-Q)+ |
% |
l(x) 2 |
|
|
y'(t~x)y'(t-Q) |
|
||||||||
|
|
|
|
t = 0 |
|
|
|
1=0 |
t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем выражении сумма первого слагаемого представляет |
||||||||||||||||||
собой |
оценку |
8-го |
значения |
функции |
гху, |
(6) |
желаемого |
|||||||||||
199