книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

величины у 0 , уи . . ., (/„_4 представляют собой значения функции дискретного времени. Каждое из п чисел, составляющих последова­ тельность (1.1), называется ее элементом. Элементы последователь­ ности, описывающей сигнал, суть значения сигнала, измеренные через одинаковые промежутки времени, равные интервалу времен­ ного квантования записей. Индексы, стоящие при элементах последо­ вательности, означают порядковый номер отсчета сигнала, при кото­ ром было получено значение сигнала, равное данному элементу. Нумерация ведется от условно выбираемого нулевого отсчета, кото­ рый соответствует началу описания исследуемого процесса. В некото­ рых случаях целесообразно выбирать для рассмотрения лишь неко­ торый отрезок полученной последовательности, лежащий, например,

При рассмотрении процессов цифровой обработки сейсморазведочных данных иногда требуется учитывать не только те значения сигнала, которые будут наблюдаться после нулевого отсчета, но и те, которые наблюдались ранее нулевого отсчета. Элементы последова­ тельности, соответствующие таким значениям сигнала, обозначаются индексами с отрицательными знаками. Например, последователь­ ность yt — г/_2, У-\, у 0 , у I, у 2 , • • • включает значения сигнала у_ и измеренное заД f миллисекунд до нулевого отсчета, и у_2 , измеренное за 2Д£ миллисекунд до начала исследуемого процесса.

Представление сейсмической записи в цифровой форме, т. е. в виде последовательности дискретных чисел, всегда сопряжено с не­ которыми неточностями в описании исследуемого процесса. Первый источник неточностей состоит в том, что при дискретной записи данных регистрируются только их отдельные значения, определя­ емые в моменты отсчета; промежуточные значения (между моментами отсчета) не фиксируются и поэтому остаются неизвестными. Однако вытекающие из этого погрешности могут быть доведены до приемле­ мых пределов путем соответствующего выбора интервала временного квантования сейсмических записей. Если выбрать этот интервал слиш­ ком большим и производить отсчет сигнала относительно редко, то получаемая при этом цифровая запись может неточно воспроизводить истинный характер сигнала. Если выбирать интервал временного квантования весьма малым и получать на каждой трассе очень много отсчетов, это вызовет неоправданную перегрузку вычислительной машины и снижение темпов обработки.

Цифровая сейсмическая запись является дискретной не только по времени, но и по уровню. Дискретность по уровню является вторым источником неточностей. Поясним, что это означает. Цифровая за­ пись сейсмических трасс производится, как правило, в двоичном коде, т. е. по двоичной системе счисления. Двоичная система счисления удобна тем, что в ней используются только две цифры — 0 и 1, кото­ рые достаточно просто моделировать электрическими или магнитными элементами ЭВМ. При использовании двоичного кода для записи

10

Р и с . 1. П р е о б р а з о в а н и е а н а л о г — к о д п р и д в у х р а з р я д н о й ц и ф р о в о й

сейсмограмм важен вопрос выбора разрядности двоичных чисел. От разрядности зависят точность записи и ее динамический диапа­ зон. В свою очередь, разрядность определяется технологией преобра­ зования аналоговой записи в цифровую. Такое преобразование яв­ ляется обязательным. Оно осуществляется либо в процессе цифровой регистрации, либо на вычислительном центре, если исходные записи получены в аналоговой форме.

Рассмотрим процесс преобразования сейсмических записей из ана­

напряжения с эталонным напряжением, разделенным на разновели­ кие дискретные ступени. На выход поступает кодированное (в двоич­ ной системе счисления) значение, соответствующее ступени эталон­ ного напряжения, «ближайшей снизу» (по абсолютной величине) к значению измеряемого входного напряжения. Поясним этот про­ цесс на примере. Пусть преобразователь аналог— код является двух­ разрядным, т. е. может представить входное напряжение одним из трех кодов: 1, 0 или —1 (первый разряд отражает абсолютное значе­ ние кодируемого входного напряжения, второй разряд — его знак).

Эталонные ступени у такого преобразователя выбираются на уровне + У 2 и —у 2 ; на рисунке они обозначены через а и б. Пока входное напряжение (синусоидальная кривая) по величине меньше, чем ступень а, но больше, чем ступень б, сигнал кодируется как нуль. Как только сигнал превысит уровень а, он кодируется как + 1 ; если сигнал оказывается ниже уровня б, он кодируется как — 1 .

Если графически изобразить закодированный выходной сигнал, то он будет представлять собой два П-образных импульса — один положительный, другой отрицательный, разделенных временным промежутком, которому соответствует нулевое значение сигнала. Такое представление является грубым искажением формы входного сигнала.

Для улучшения качества кодирования необходимо увеличение разрядности преобразователей, что достигается путем увеличения числа эталонных уровней. Так, для четырехразрядного кодирования (трехразрядное абсолютное значение плюс один знаковый разряд) требуется четырнадцать эталонных уровней (рис. 2), обозначенных

11

Р и с . 2. П р е о б р а з о в а н и е а н а ­ л о г — к о д п р и ч е т ы р е х р а з р я д ­ н о й ц и ф р о в о й з а п и с и . ( Т р е х ­ р а з р я д н о е ч и с л о п л ю с з н а к . )

а — п — с т у п е н и э т а л о н н о г о н а ­ п р я ж е н и я .

буквами а—о. Из рисунка видно, что четырехразрядное кодирование вносит гораздо меньше искажений во входной сигнал, чем двухразряд­ ное; погрешности квантования по уровню, характеризующиеся вели­ чиной заштрихованных участков на рис. 1 и 2, во втором случае зна­ чительно меньше, чем в первом.

Помимо этих погрешностей, важным показателем качества кван­ тования по уровню является динамический диапазон записи, обеспе­ чиваемый квантованием с заданным числом разрядов. Динамический диапазон D записи 1 характеризуется выражением

# = 20 l g - ^ L ,

где утзх и ymin — соответственно максимальное и минимальное напря­ жение, которое может быть отображено при данном количестве раз­ рядов.

Пока сигнал не превысил уровень а (см. рис. 1), он будет кодиро­ ваться как нуль, т. е. будет фиксироваться отсутствие сигнала. Сле­ довательно, величина ymin равна абсолютным значениям уровней а или Ъ, т. е. равна х / 2 . С другой стороны, как бы ни был велик сигнал, при двухразрядном кодировании (с учетом знака) он не может быть передан числом, большим по абсолютному значению, чем единица.

иногда до 18 разрядов. При обработке обычно используют 10 -f. 15разрядные числа. Такая разрядность обеспечивает удовлетворитель­ ную точность представления записи, необходимую прежде всего при регистрации слабых сейсмических сигналов на фоне помех. Динами-

12

ческий диапазон 60 -f- 90 дБ, обеспечиваемый 10—15-разряд- ным кодированием при обработке, оказывается вполне доста­ точным.

Рассмотренный способ квантования записи по времени с равно­ мерным шагом At иногда называют эквидистантным кодированием. Из других способов кодирования, применяемых в сейсморазведке, следует упомянуть так называемое кодирование в точках экстрему­ мов, при котором считываются и запоминаются времена регистрации всех экстремумов на сейсмической записи, а также величины («ампли­ туды») экстремумов. Способы обработки записи, кодированной таким образом, отличаются от способов обработки эквидистантной записи. В дальнейшем мы обработку записей, кодированных в точках экстре­ мумов, рассматривать не будем.

В Е К Т О Р Н Ы Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Я С Е Й С М И Ч Е С К И Х С И Г Н А Л О В

В некоторых случаях целесообразно переходить от представления цифровых сейсмических записей как последовательностей дискретных чисел к их геометрическим представлениям в форме векторов в много­ мерном пространстве. Последовательность из п элементов, описыва­ ющая сигнал, может быть представлена в виде вектора в «-мерном пространстве таким образом, что каждый элемент последовательности представляет собой координату вектора в n-мерной ортогональной системе координат. Например, в последовательности, состоящей из трех элементов, первый элемент будет равен абсциссе вектора, отобра­ жающего данную последовательность, второй элемент — ординате и третий— аппликате. Поясним это на примере. Пусть сигнал описы­ вается последовательностью, состоящей из двух элементов: xt — 2,5. Такой сигнал может быть изображен вектором х на плоскости, как это показано на рис. 3.

л е н н о г о д в у м я от­ счетами .

13

вектором у в трехмерной системе декартовых координат, как это пока­ зано на рис. 4.

Для описания реального сейсмического сигнала требуется последо­ вательность, состоящая не из двух и не из трех, а из значительно большего количества элементов: например, для описания сигнала про­ должительностью 60 мс при временном квантовании записей в 2 мс потребуется последовательность, состоящая из 30 элементов. Для гео­ метрического изображения такой последовательности потребуется вектор в тридцатимерном пространстве. Конечно, вектор с числом компонент, большем трех, нельзя представить наглядно. Однако отсутствие наглядности представления векторов в многомерном про­ странстве не лишает смысла векторные представления сейсмических записей. Такие представления позволяют математически описать (независимо от размерности пространства) многие процессы обра­ ботки и определить пути машинной реализации этих процессов.

В теории цифровой обработки сейсмических данных наиболее часто используются две математические операции, осуществляемые над векторами, описывающими сейсмические сигналы: сложение век­ торов, дающее новый вектор, компоненты которого представляют со­ бой суммы одноименных компонентов векторов — слагаемых, и ска­ лярное произведение двух векторов, представляющее собой скаляр, равный сумме произведений одноименных компонентов векторов — сомножителей

двух векторов (1.3) мы встречаемся с суммированием парных произ­ ведений; как будет показано ниже, такая операция является типич­ ной для процессов цифровой обработки сейсмических данных.

Таким образом, любая последовательность, имеющая число эле­ ментов п > 1 , может рассматриваться как вектор; каждый же эле­ мент последовательности, взятый в отдельности, будет представлять собой скаляр.

М А Т Р И Ч Н А Я Ф О Р М А П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Я С Е Й С М И Ч Е С К И Х З А П И С Е Й

При обработке сейсмических данных приходится встречаться с последовательностями, каждый элемент которых представляет собой также последовательность. В определенных случаях такие сово­ купности последовательностей целесообразно рассматривать не по отдельности, а в виде матриц. Общая форма матрицы, состоящей из строк и столбцов, имеет следующий вид:

14

т X п (т — число строк, п — число столбцов). Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами и обозначаются двумя индек­ сами, первый индекс обозначает номер строки матрицы, в которой

Примером матрицы может служить запись многоканальной сейсмо­ граммы. Записи каждой трассы будут представлять собой столбцы матрицы, а значения сигнала, считанные со всех трасс в один момент

Такие матрицы широко применяются в теории цифровой обработки сейсмических данных; большинство обрабатывающих операций может быть описано с использованием только этих типов матриц.

И матрица-строка и матрица-столбец представляют собой после­ довательности, состоящие из скалярных элементов, а сами могут рассматриваться как векторы в многомерном пространстве. Матрицы типа m X п также представляют собой последовательности строк или столбцов, но каждый элемент таких последовательностей (т. е. строка или столбец) представляет собой уже не скаляр, а вектор.

Из алгебраических действий, производимых над матрицами, рас­ смотрим перемножение двух матриц, транспонирование и инверсиро-

15

вание (обращение) матриц, как наиболее часто употребляемые в тео­ рии цифровой обработки сейсмических данных.

Рассмотрим умножзние матрицы А на матрицу В. Прежде всего отметим, что подобная операция имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А имеет столько жз столбцов, сколько матрица В строк. Следовательно, если первым сомножителем является матрица типа т X п, то вторым сомножителем должна быть матрица п X р. Произведением будет матрица типа т X р.

Для того чтобы сформировать матрицу С, представляющую собой произведение матрицы А на матрицу В, необходимо определить эле­ менты матрицы С по следующему правилу: элемент матрицы С, стоя­ щий в i-й строке и j-u столбце, должен быть равен сумме парных про­ изведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие им элементы /-го столбца матрицы В. Следовательно, если матрица

то матрица С, равная произведению матрицы А на матрицу В, будет составлять

Поясним процесс перемножения двух матриц числовым примером:

чо

2 - 2

Операция перемножения двух матриц не является коммутатив­ ной — при перестановке сомножителей местами произведение изме­ няется: А-В Ф В- А. Для подтверждения этого повторим перемноже­ ние двух приведенных выше матриц, переставив местами сомножи­ тели

Как видим из приведенного примера, перестановка сомножителей привела к изменению получаемого произведения.

16

Инверсированной (обратной) матрицей (А* или А"1 ) называется матрица, которая, будучи умножена либо справа, либо слева на исход­ ную матрицу А, дает единичную матрицу Е, у которой элементы, имеющие одинаковые индексы, равны единице, а все остальные равны нулю:

Для вычисления инверсированной матрицы выполняют следу­ ющие действия: 1) транспонируют исходную матрицу; 2) заменяют каждый элемент транспонированной матрицы определителем, полу­ ченным в результате вычеркивания строки и столбца, в которых рас­ положен данный элемент; 3) этот определитель сопровождают зна­ ком «+», если сумма индексов элемента четная, и знаком «—», если она нечетная; 4) делят полученную матрицу на определитель исход­ ной матрицы.

Поясним это на числовом примере. Исходная матрица / 1 о\

Произведем замену элементов транспонированной матрицы

v - ( - i ) 1,

Отметим, что в рассматриваемом примере (матрица типа 2 X 2) вместо подсчета определителя используется тот элемент матрицы, который сохраняется после вычеркивания соответствующих строки и столбца, с соблюдением указанного выше правила знаков. Подсчитав определитель исходной матрицы А —1-2—(—1)-0 = 2, получаем инверсированную матрицу

Проверим правильность произведенной инверсии

1 0\ О 1/ '

1 (Г О 1,

18

Поскольку в обоих случаях умножения {А А* и А*А) была полу­ чена единичная матрица Е, следует сделать вывод, что инверсирование было произведено правильно.

в цифровой форме, представляющая собой последовательность дис­ кретных ЧИСеЛ X = Х0, Xi, хг, . . ., Хп _ t .

математических операций, обеспечивающих преобразование одной последовательности х в другую у.

Формула (1.10) отображает переход от х к у как при одинаковых, так и при разных аргументах у ж и у.В первом случае аргумент у опе­ ратора L такой же, как у хи у; во втором случае оператор должен быть функцией двух переменных — аргумента входной и аргумента выход­ ной функции.

С точки зрения векторных представлений процесс обработки сейсмических данных можно рассматривать как преобразование вход­ ного вектора х с компонентами х0, х ь х2, . . ., хп_х в выходной вектор у с компонентамиу0 , уt, у2, . . ., ут-\- Такой подход к рассмотрению процесса обработки позволяет конкретизировать формулу (1.10),