книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

3) y, = t>t-i + aia«-i'>

dx = a0 &/ + 1 4 a A + • • • T - aA -

Стереотипность описанных итераций позволяет легко програм­ мировать весь процесс \

Расчет фильтров в области частот

Для расчетов в области частот могут быть непосредственно использованы в качестве рабочих формул выражения (6.46), (6.58), (6.61), (6.68) для комплексных частотных характеристик соответст­ вующих фильтров. Бапомним, что если и саму фильтрацию пред­ полагается делать в области частот и при этом фильтруемые трассы имеют длину Ттах, то частотные характеристики должны быть найдены с тем же шагом дискретности Д/ = 1/Ттах, что и фильтру­ емые трассы; если же по найденным частотным характеристикам фильтров предполагается определить их весовые функции и затем выполнять фильтрацию в области времен, то частотные характери­ стики должны быть найдены с шагом Д/ 4 = 1/Г, где Т — обусло­ вленная заранее длина весовой функции искомого фильтра.

Оценка статистических характеристик. Функция автокорреля­ ции Ьу (т) трассы у (t) оценивается наиболее просто и устойчиво. Расчеты выполняются непосредственно по формуле

220

Интервал Т2 — Тt должен не менее чем в 5—10 раз превосхо­ дить предполагаемую длину s (t) импульса со всеми волнами-спут­ никами и реверберациями. Если имеется в виду, что фильтрация будет инвариантной во времени, интервал 1'а — Т'х выбирается рав­ ным всему исследуемому интервалу времен с отбрасыванием началь­ ных участков трассы, перегруженных помехами. В противном случае трасса разбивается на несколько интервалов, которые могут частично перекрываться, и оценки Ъу (т) получаются для каждого интервала в отдельности.

Особенно чувствительными к нестационарности сейсмической записи являются обратные фильтры всех видов. Сделанные оценки [96] показывают, что если исследуемый разрез сложен рыхлыми осадками с высоким коэффициентом поглощения, обусловливающим сильную нестационарность, то интервал Т2 — Т4 должен составлять 0,7—1,0 с. При плотных слабо поглощающих породах покрыва­ ющей толщи интервал Тг — Tt может быть увеличен до 1,0—1,2 с.

Ограниченность интервала анализа обусловливает неустойчи­ вость оценки Ъу (т) при больших т. Поэтому значения Ъу (т) исполь­ зуют с весами ф (т), более или менее быстро убывающими с т, т. е. вычисляют

Оценку By (оо) спектра мощности трассы получают обратным преобразованием Фурье функции Ъу (т) или (реже) путем спект­ рального анализа трассы. В последнем случае квадрат модуля спект­ ра трассы для получения сглаженной оценки В^(со) подвергают свертке с преобразованием Фурье выбранной весовой функции ф (т).

221

Очевидно, что оценку z (t) сигнальной компоненты можно полу­

В частном, но весьма распространенном случае Тг = 0.

Из формулы (6.85') следует, что ry (t) есть функция взаимной корреляции трассы и ее обращенной во времени копии, или авто­ свертка трассы. Если спектр трассы у (t) есть Sy (со), то спектр функции ретрокорреляции ry (t), длина которой вдвое превышает длину исходной трассы, можно представить в виде

Таким образом, комплексный спектр ретрокоррелограммы равен квадрату комплексного спектра исходной трассы. При этом фазо­ вый спектр ретрокоррелограммы равен удвоенному фазовому спектру трассы.

В результате автосвертки однократного отражения момент его

свертка всей трассы, или ретрокоррелограмма, не содержит одно кратных отражений, на ней выделяются только многократные волны (рис. 98).

Другая особенность, вытекающая из (6.85"), заключается в том,

и процедуру регулировки амплитуд (ЦАРА), можно ожидать, что нормализованная таким образом ретрокоррелограмма будет близка по структуре к сейсмограмме без однократных волн. Полученную

222

картины с целью выделения осей синфазности, связанных с крат­ ными волнами. Вторым возможным вариантом является вычитание нормализованной ретрокоррелограммы из исходной трассы, в ре­ зультате чего произойдет ослабление многократных волн.

Выбор формы импульса. Расчет минимально-фазового сигнала.

дополнительных предположений не дает оснований для определения этой функции. Непосредственно по сейсмограммам MOB, в условиях неразрешенной по времени записи, можно оценить ее автокорреля­ цию или модуль спектра, но фазовый спектр оценить невозможно (см. гл. I ) 1 . Единственный выход — задавать фазовые соотношения

отличается выбранная фазовая характеристика полезных волн от действительной. Наиболее просто предположить, что полезные волны обладают нулевой (линейной) фазовой характеристикой. Этому случаю соответствует симметричная форма волны с максимальной амплитудой в центре (см. рис. 29, б). Реальные же сейсмические сигналы характеризуются смещением максимальной амплитуды в начальную часть, ближе к вступлению волны. Такой формой обладают

223

характеристику (см. 29, а). Из всех возможных сигналов, име­ ющих одинаковую амплитудную характеристику или одинаковую автокорреляционную функцию, минимально-фазовый сигнал выде­ ляется тем, что он имеет наименьшее запаздывание своего «центра тяжести» по отношению к вступлению. Другими словами, если у всех сигналов, имеющих одинаковый амплитудный спектр, найти точку, по обе стороны которой суммы квадратов амплитуд равны, то у мини­ мально-фазового сигнала эта точка ближе, чем у других сигналов, смещена к вступлению.

Теоретический анализ [116] и практические оценки |91] показы­ вают, что минимально-фазовые функции достаточно хорошо описы­ вают реальные сейсмические сигналы. Один из наиболее простых способов вычисления минимально фазового сигнала по известному

Таким образом, задача расчета s (t) сводится к поискам фазового спектра 8 (со) минимально-фазового сигнала. Комплексный спектр минимально-фазового сигнала может быть выражен через дискрет­ ные ординаты сигнала уравнением

где st=r0 при t < 0 и шаге дискретизации At. z-Преобразование урав­ нения (6.92) дает

224

Возвратимся теперь к известному амплитудному спектру | S (со) |, являющемуся вещественной и четнсй функцией со:

|£(со)| = |£(—и) |, |б1 (со) | ^ 0 при — о о < с о < о о . (6.97)

Функция lg | S (со) | также является вешественной и четной и может быть выражена через косинус-преобразование Фурье

Искомый минимально-фазовый сигнал st можно получить из (6.90) и (6.91) обратным преобразованием Фурье.

Особенности расчета обратных фильтров. Выбор параметров

Разбирая способ решения системы вида (6.80), мы для простоты полагали, что 9 принимает только нулевое и положительные зна­ чения. Такую индексацию переменной 9 всегда можно присвоить непосредственно для выполнения вычислений, после того как сис­ тема (6.80) составлена. Однако для того, чтобы правильно составить систему, следует иметь в виду, что 9 может принимать как положи­ тельные, так и отрицательные значения. Перепишем с учетом этого систему (6.80) в матричной форме, полагая для определенности, что

По аналогии с левой частью здесь введено обозначение s9 — s (9). Особенностью системы является то, что в правой части ее распо­ ложен «перевернутый» импульс se [см. уравнение (6.74)]. Перепи­ шем систему для случая, когда импульс se является минимальнофазовым (см. рис. 29, а). Для такого импульса, как известно, se = 0

226

при 0 < 0 . Следовательно, система (6.107) принимает вид

можно считать известными: они равны нулю. Следовательно, при переходе от (6.107) к обычной форме записи вида (6.80), выполняя

отбросить заранее. Чтобы корреляционная матрица сохранила свои свойства, а система в целом сохранила столько уравнений, сколько неизвестных, следует в (6.108) отбросить также все элементы обеих частей системы, расположенные выше штрихпунктирной линии. Оставшаяся система

(6.108')

>Т £ > Т-1 •• • «о обладает следующей особенностью: в ее правой части сохранился

лишь один ненулевой коэффициент. Это означает, что при расчетах в области времен принятие допущения о минимальной фазовости импульса se вообще освобождает нас от необходимости рассчитывать форму импульса: пользуясь свободой выбора постоянных множите­ лей при весовых функциях фильтров, полагаем s 0 = l , и можно приступать к вычислениям, располагая только значениями корре­ ляционной матрицы.

Саму корреляционную матрицу, оказывается, достаточно знать только для | т | Т; параметр Т выбирают равным длине импульса s (t) со всеми волнами-спутниками и реверберапиями. Так же прост расчет фильтра, если импульс максимально-фазовый (см. рис. 29, г): для него se — 0 при 0 > 0, 1Т = 0 при т > 0 , и система (6.108) принимает вид

неизвестных коэффициентов и свободных членов системы (6.108) нулей не появляется. Расчеты ведутся непосредственно по этой системе, с учетом того, что Т в этом случае равно лишь половине

следует приурочивать к первой ординате импульса, похожего на

следует приурочивать точку 0 = 0 к максимальному по абсолютной величине экстремуму.

Следует отметить, что оператор фильтра сжатия является весьма чувствительным к ошибкам выбора фазовой характеристики и при неудачном ее задании может стать неустойчивым [118]. При этом оказывается, что, задавая минимально-фазовую характеристику в случаях, когда сигнал в действительности не минимально-фазо­ вый, мы рискуем меньше, чем при обратной ситуации. Поэтому обычно используют решение, соответствующее предположению о ми­ нимально-фазовом сигнале.

Расчеты в частотной области выполняются непосредственно по

В качестве S (со) обычно используют минимально-фазовый сигнал [см. (2.38), (6.105)].

Если используется импульс, найденный экспериментально по данным специальных наблюдений, то перед вычислением комплексно-

228

рактеристики. Однако это не означает, что эффективность фильтра предсказания (а также вытекающего из него фильтра ошибки пред­ сказания) не зависит от фазовой характеристики сигнала. Оказы­ вается [107], что предсказание тем точнее, чем более похож весь сигнал s (t) с волнами-спутниками и реверберациями на минимальнофазовый. Очевидно легче предсказать слабые последующие вступле­ ния по сильным предыдущим, чем наоборот.

Величину Т выбирают так же, как и при расчете фильтра сжа­ тия. Выбор величины а иллюстрируется рис. 87. Обычно а равно числу отсчетов, предшествующих второму пересечению нуля функ­ цией автокорреляции. Реже — это число отсчетов, предшествующих первому или третьему пересечению нуля.

Фильтр предсказания рассчитывать в области частот неудобно.

Расчет выполняется но обычным правилам деления многочленов. Корректирующий фильтр (6.76) получают, рассчитывая порознь

центов, т. е. фактически вместо (6.74) используют регуляризованный фильтр (6.77). Соответственно для расчетов в области частот иногда вместо (6.109) используют (6.109"). Приемы расчета оператора

Регуляризованный фильтр сжатия (6.77) отличается от «класси­ ческого» фильтра сжатия (6.74) только тем, что в уравнении этого фильтра искусственно завышается отношение помеха/сигнал, т. е. предполагается, что, кроме реальных помех п (£), существует еще некоторая воображаемая помеха v (t), которую считают белым шумом не коррелированным с сигналом. Наличие такой помехи не меняет правой части системы (6.108). а в левой части вместо Ьу (0) исполь­ зуется by (0) = by (0) + bv (0). Для т ф 0 by (т) = by (т). так как автокорреляционная функция bv (т) белого шума равна нулю при всех значениях т, кроме т = 0.

Практически при расчетах используют систему (6.108), в кото­ рой значения Ь0 завышены на несколько (обычно 5—10) процентов. В области частот расчет гыполняется по формуле

(6.109")

229