книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Угол — это фигура, похожая на одну из следующих фигур:

Определения

Если два луча имеют одно и то же начало, но не принадлежат одной прямой, то их объединение есть угол . Два данных луча на­ зываются с т о р о н а м и угла, а их общее начало — его в е р ш и н о й .

Если сторонами угла являются лучи AB и АС, то угол обозна­ чается символом ДВАС или ДСАВ.

Не имеет значения, какая сторона угла упомянута первой. Не существен­

стоят цифры и буквы, так что вместо ДВАС можно писать ДІ, вместо Д С А й можно писать Д а и т. д.

Стороны угла являются лучами, а не отрезками. Поэтому фигура, изображенная слева, углом не является.

83

(Разумеется, она определяет некоторый угол, изображенный

Определения

Если А, В и С— любые три неколлинеарные точки, то объеди­

мы вовсе не обязаны рисовать его углы. Как школа «порождает» своих выпускников, но не включает их, так и треугольник опре­ деляет свои углы, но не включает их. Если мы захотим нари­

ность угла.

84

1°. Р и В лежат по одну и ту же сторону от прямой АС;

2°. Р и С лежат по одну и ту же сторону от прямой AB. В н е ш н о с т ь /.В А С есть множество всех точек плоскости Е, не принадлежащих углу и не лежащих внутри его. (Если точка Q принадлежит внешности / В А С , то говорят, что она лежит вне этого угла.)

Можно проверить это определение на том же рисунке и убе­ диться, что оно выражает именно то, что здесь имелось в виду. Например, точка Р лежит внутри угла, потому что она удов­ летворяет и условию 1°, и условию 2°. Точка Q1 лежит вне угла:

чение двух полуплоскостей. Одна из них является стороной пря­

мой АС, содержащей точку В, а другая—стороной прямой AB, содержащей точку С:

Что такое внутренность и внешность треугольника, видно из следующего рисунка:

В

Определения

Точка принадлежит в н у т р е н н о с т и треугольника (лежит в н у т р и треугольника), если она лежит внутри каждого из

85

трех, то пришли бы мы к тому же самому понятию внутренности треугольника?) Любые определения намного легче выучить, если сначала продумать их наглядный смысл. В самом деле, когда ,зы забываете определение, то это обычно происходит по той

5.Сколько углов определяется изображенной на этом рисунке фигурой? Назовите их. Сколько из них можно, не опасаясь ошибки, обозначить, указывая только букву, отвечающую вершине угла?

86

6.Могут ли два угла треугольника иметь об­ щую сторону? Объясните.

7.Сколько углов имеется на этом рисунке? (Их здесь больше шести.)

8.Верно ли следующее утверждение: £\АВС

есть объединение а С А В и А С В А 7 Почему?

9.Какие точки на этом рисунке лежат

10.Лежит ли вершина угла внутри этого угла? вне его?

11.На сколько областей треугольник разбивает плоскость этого треугольника?

12.На сколько областей углы треугольника разбивают плоскость этого треугольника?

М

13. Назовите все треугольники на левом рисунке. (Их здесь больше четырех.)

14. Сколько треугольников имеется на рисунке справа? (Один из способов решения этой задачи состоит в следующем' выпишем буквы { Р , R , Я , М , D, К } , за­ тем составим всевозможные сочетания из трех входящих в это множество букв и каждое из них проверим на рисунке.)

15. Является ли внутренность угла выпуклым множеством? А внешность угла?

16.Является ли треугольник выпуклым множеством?

17.Является ли внутренность треугольника выпуклым множеством? А его внешность?

§7

§ 2. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИИ ОБ УГЛАХ

Углы, как мы их определили в этой главе, являются просто некоторыми множествами точек.

Порядок, в котором указываются стороны угла, не имеет абсо­ лютно никакого значения.

Это самая простая форма идеи угла; именно она нужна нам в этом курсе. Однако позднее, когда вы будете изучать тригономет­ рию, понятие угла приобретет для вас и другую форму. В три­ гонометрии будет играть существенную роль то, какая сторона угда упомянута первой, а какая — второй:

ной—сторона АС. Такого рода углы называются направленными

88

В этом курсе направленные углы не используются, потому что в элементарной геометрии они не нужны. Например, углы треуголь­ ника никогда не являются нулевыми или развернутыми и не су­ ществует разумного способа, позволяющего решить, каково их направление, т. е. какая из сторон /_АВС является начальной, а

какая —конечной. Направление углов нам пришлось бы приписы­ вать им случайно, и это не принесло бы нам никакой пользы, по­ тому что случайно выраженные направления не имели бы никакого отношения к тем задачам, которыми мы занимаемся.

§ 3. УГЛОВАЯ МЕРА

Точно так же, как отрезки мы измеряли масштабной линейкой, так углы мы измеряем транспортиром:

Число градусов, содержащееся в данном угле, называется его мерой. Если PQR содержит г градусов, то мы пишем

т L PQR = г.

89

Наблюдая деления транспортира, мы видим, чтб

Тот же прием дает нам

т А GAD — 100 — 30 — 70.

Заметим, что число 180 не является мерой ни одного угла на нашем рисунке. (Символ А ВАС не имеет смысла, поскольку лучи

AB и АС коллинеарны.) Мы можем тем не менее, пользуясь вычи­

танием из 180, получить

т А 0 Л / = 180— 150 = 30,

т А В А Н = т — т = Ь 0

ит. д.

Вследующих аксиомах просуммированы те факты, на которых

базируется использование транспортира. На рисунках, иллюстри­ рующих содержание этих аксиом, мы пишем r°, s° и т. д., чтобы напомнить, что эти числа являются градусной мерой соответст­ вующих углов.

Аксиома 11 (аксиома измерения углов)

Каждому углу А ВАС соответствует некоторое действительное число, заключенное между 0 и 180.

90

Определение

АВ

0 и 180, существует ровно один такой луч АР, что точка Р при­ надлежит полуплоскости Н и т РА В — г.

Пользуясь следующей аксиомой, мы можем вычислить меру углов с помощью сложения и вычитания:

Аксиома 13 (аксиома сложения углов)

Если точка D лежит внутри угла /_ ВАС, то

т /_ ВАС — т /_ B A D + т /_ DAC.

В

91