книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Теперь мы покажем,

что и ССС можно дока-

а

зать как теорему. Сначала мы напомним, что

единственным, чем мы пользовались в доказа­

тельстве теоремы о равнобедренном треугольнике,

была аксиома СУС. Так

как А В С А С В

есть

СУС-соответствие, то Д

АВС = Д АСВ,

и по­

тому

У тверждения

Аргументы

1.

A B = DE,

AC = DF,

B C = E F .

Дано.

2. По противоположную по

отноше-

Аксиома

построения

углов.

нию к точке В сторону

от

АС

существует

такая

точка

G,

что

Z C A G ^

z

D.

3. Существует

такая

точка

Я

луча

Теорема

о

нанесении

точки.

ÄG, что A H = DE.

Шаги 1,

2

и 3.

4.

A H C < ^ D E F есть

СУ С - соответ-

5.

ствие.

СУС.

ES A H C ^ A D E F .

Таким

образом, мы построили конгруэнтную копию /\D E F

снизу от Д

АВС. Этим закончена первая половина доказательства.

Во второй половине мы собираемся показать, что Д АВС

Д АНС.

Нижеследующее доказательство относится к случаю,

изображен­

У тверждения

Аргументы

6.

Z

А В Н

L

А Н В .

Теорема

о

равнобедренном

тре-

угольнике.

7.

L

В В С

L

СН В .

Теорема

о

равнобедренном

тре-

угольнике.

8.

L

A B C ^

Z

АНС.

Аксиома

сложения углов.

9.

А В С - * - * - А Н С

есть

СУ С - соот-

Шаги

1,

5 и

8.

ветствие.

10.

Д А й С ^ Д А Я С .

,

СУС .

11.

Д

А В С ^

Д

DEF .

Шаги

5

и 10.

7*

195

Строго

говоря,

эти утверждения

нуждаются в доказательстве.

Но почти во всех книгах,

включая «Начала» Евклида и большин­

ство последующих

учебников, такие

доказательства опущены. Не

надо думать,

что это непременно

плохо.

Здравый смысл является

в

геометрии

совершенно

правильным

ориентиром —прежде всего

именно здравый смысл говорит

нам,

что наши аксиомы разумны.

И

геометрия

сложилась

как

вполне развитая наука за две

тысячи лет

до того, как

людям

удалось выписать аксиомы, кото-

!) Возможен

также

случай, когда

точка

К

лежит правее точки С; однако

его

можно отдельно не

рассматривать (почему?).

пользоваться, хотелось

бы освободить

изложение от явных пробе­

лов, сформулировав

и

доказав

теоремы, которые нам требуются.

Теорема 6.5

Если точка М

лежит на

прямой

I между точками А и С,

то М и А

лежат

по

одну сторону

от любой другой прямой,

содержащей

С.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть ^ —другая

прямая,

содержащая

точку С. Допустим,

что А

и М лежат

по противоположные сто­

роны от Іѵ Тогда отрезок

AM содержит

некоторую точку D пря­

мой Іѵ Но отрезок

AM принадлежит

I,

a

I пересекает Іѵ только

в точке С. Следовательно,

C —D. Поэтому

в силу

определения

отрезка точка С находится

между А и М, что невозможно, так как

точка М лежит между Л и С (см. утверждение 2° на стр. 48).

Отсюда легко

получается

теорема,

которая была

нам нужна

в доказательствах

теорем 5.2

и ССС.

( З а м е ч а н и е . В нижеследующих задачах ни из

одного рисунка не нужно

«вычитывать»

никакой

информации.)

1+. Сделайте

рисунок

для следующего утверждения

и докажите, что оно спра­

2+. Даны

прямая

А С

и точка R,

удовлетворяющая условию R — А — С ,

точка

В ,

не

принадлежащая

А С ,

и такие точки Р

и Q, что В — Р — С и B— Q— A.

Дополните каждое из следующих утверждений и обоснуйте свой ответ:

a)

Точка

Р

лежит

внутри

L ... .

B )

Точки

Q и

В

лежат

по

... сторону

от

А С .

Дс.

Р

c)

Точки

Р и

В

лежат

по

...

от

R

d)

Точки

Qи

Р

лежат

по

...

от А С .

А

С

e)

Точки

Rи

Р

лежат

по

...

от

AB.

3+. Д о к а з а т ь .

Если точка М лежит на

прямой

/

между точками

А

и С,

то Л

и

С

лежат по противоположные стороны от

любой другой прямой, содержащей М.

4+. Даны

компланарные

точки А ,

В , С ,

D,

Е

и Н ,

причем А ,

В

и

С

неколлинеар-

ны и, кройе

того,

B— C—D,

А — Е —С

и В — Е —Н .

Докажите,

что Л и Я ле­

жат по одну сторону от BD.

5 * +. Д о к а з а т ь .

Если

некоторая

прямая

пересекает какую-либо сторону треуголь­

ника в точке, отличной от его вершины,

то она должна пересечь еще хотя бы одну

сторону

этого

треугольника.

( У к а з а ­

н и е .

Пусть

Н х и Я 2 — полуплоскости с

ребром

I,

причем

точка

С

принадлежит

Н

ѵ

Нужно

В

рассмотреть

три

случая:

когда

точка

принадлежит

прямой

I,

когда

В

принадлежит Я х и когда

В

при­

надлежит Я 2.)

6 * +. Даны

компланарные точки Л,

В ,

С ,

D,

А

Е

и Я ,

причем Л, В и С

неколлинеарны

и,

кроме

того,

В — C — D,

А — Е

—С

и

В

— Я — Я . Докажите, что точка

Я

лежит

внутри

L ACD. ( У к а з а н и е .

Согласно

определению внутренности угла вам нужно

показать,

что

точки

Л

и

Я

лежат

по

одну

сторону

от прямой

CD (см.

задачу

4)

и что

точки D и Я

лежат по одну сто­

7 * +. Следующая

теорема,

справедливость

которой кажется

такой

очевидной, часто

принимается

без

доказательства.

a) Пусть /Д

и

Н 2— полуплоскости,

имеющие своим

ребром

прямую ВС,

причем точка

А

принадлежит Н ѵ

Возьмем любую точку D на луче, про­

тивоположном

лучу ВА. Проведем отрезок DC, образовав

д

DAC. По­

чему точка

D принадлежит Я 2?

B ) Почему точка К

принадлежит Н г?

Какая теорема

показывает,

что каж ­

дая точка

луча

В К , исключая В,

принадлежит Н{?

d)

Почему отрезок

DC

не пересекает луча

B f (?

e)

Почему

отрезок

DC

не

пересекает луча,

противоположного лучу WR?

О

Почему

отрезок

DC

не

пересекает прямой В К }

---

g)

Почему прямая

^

В К

должна пересечь отрезок А С ?

прямоугольник и что его

сторона В С повернута вокруг точки В в направлении

от прямоугольника, так

что В С = В С и L А В С — тупой угол. Пусть ме-

С

Кроме

того, в

силу С С С

Д

Е А

Х ^

As Е В

Х

и, таким

образом, т А

Е

А Х =

= т

А

Е В Х ,

откуда

после вычитания следует, что т

А DAE — т

А

С ' В Е .

Если точка, соответствующая точке X , лежит

выше A B ,

как на нижнем рисунке, то, в точности как и раньше, по­

лучаем

т

А DAX —т

А

С ' В Х ,

т

А Е А Х

=

m А

Е В Х ,

и требуемое равенство следует из сложения двух преды­

дущих: т

А DAE = т

А

С ' В Е .

Что в этом

рассуждении

неверно?

( У к а з а н и е .

Попробуйте

сделать

точный

рисунок для

случая,

когда т А А В

С

лишь ч у т ь - ч у т ь

м е н ь ш е ,

чем

180.

Н асколько

такое

«доказательство» будет

про­

ходить

в

этом

случае?)

А * ---------------------------

\ в

0\ -------

2k. £54

4. Перерисуйте

каждый

из

изображенных

выше

треугольников,

выбранных

так, чтобы

каждый

из

них определенно был

разносторонним.

Постройте

мой в

данной ее

точке.

B )

Доказать, что «существует ровно один» — это значит, доказать

и существо­

вание

и единственность.

c)

Самая

длинная

сторона любого треугольника называется

гипотенузой.

7 *. Прямая

I

является

медиатрисой отрезка

ВС,

причем

А — середина

этого

отрезка. Точки К я

G лежат по одну сторону от прямой ВС.

Точка

К ле­

жит по ту же сторону от I, что и точка

В, а

точка G — по ту

же сторону

от I, что и С, и при этом

L

В А К ^

L CAG. Перпендикуляр к отрезку В С

в

точке

В

пересекает

луч

А К

в

точке

D,

а перпендикуляр к отрезку ВС

в

точке

С

пересекает

луч

AG в

точке

Е .

Докажите, что

отрезки B E

и CD

волежащих этим сторонам?

Заметим, что эта

задача естественно

возникает из теоремы 5. 3,

утверждающей, что если две стороны

треугольника имеют о д н у

и ту

же длину,

то противолежащие

им углы имеют о д н у и ту

же

меру.

с двумя сторонами заведомо неравной

длины. Здесь ВС больше,

чем AB, и т Z. А

больше, чем т

С. Начертив еще несколько

треугольников, вы,

вероятно, убедитесь, что должно быть верно

следующее утверждение:

имеют неравные длины, то

Если две стороны треугольника

Теперь

испробуйте тот же прием на следующих задачах.

Задачи к §

1

С

С

1. У

каждого из этих треугольников т L А >

т

L

В.

Какую гипотезу можете

вы

высказать о сторонах, противолежащих

L

А

и

L ß?