книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Соответствие АВС •—DEF на этом рисунке является «ССУ-соот­

аF слишком мал

Конечно, из того, что равны соответствующие углы, следует только, что два треугольника имеют одну и ту же форму, они не обязаны иметь один и тот же размер.

Треугольники, связанные таким образом (связанные «УУУ-со- ответствием»), называются подобными.

Начиная с этого момента мы для краткости часто будем ссы­ латься на наши три аксиомы просто как на СУС, УСУ и ССС.

Задачи к § 3

1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников конгруэнтные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники конгру­ энтны по С У С - аксиоме?

133

2. В каждой из изображенных на следующей странице пар треугольников конг­ руэнтные элементы указаны пометками. Назовите, если это возможно, аксиому конгруэнтности (СУС, У С У или ССС), из которой следует, что соответствующие треугольники конгруэнтны.

§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТАРАЙТЕСЬ ПРИДУМАТЬ САМИ!

Теперь у вас имеется достаточно материала, чтобы на его базе можно было самостоятельно проводить подлинные геометри­ ческие доказательства. Начиная с этого момента придумывание собственных доказательств составит очень важную часть вашей работы, и, может быть, это покажется вам более занимательным, чем разбирать придуманные другими доказательства.

Приведем пару примеров, чтобы показать, как поступают, когда стараются найти доказательство, и как его записывают.

Приме р 1.

Если два отрезка делят друг друга пополам, то отрезки, соединяющие концы данных отрезков, конгруэнтны.

Приступая к решению такого рода задачи, прежде всего нужно сделать рисунок и обозначить каждую вершину какой-нибудь прописной буквой. Затем нужно сформулировать предположение и заключение в принятых вами обозначениях.

134

Да н о . Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F.

135

ß

Так как наша цель — доказать, что два определенных отрезка конгруэнтны, то вспомним, что мы знаем о конгруэнтных отрезках.

Пометки на рисунке указывают, что FB —FH, и в силу опреде­ ления середины отрезка это действительно так. По той причине

сунке, нужно'установить некоторое соответствие, а затем показать, что мы имеем СУС-соответствие, УСУ-соответствие или ССС-со­ ответствие. Из рисунка видно, что это должно быть соответствие

AFB+-RFH.

Две пары сторон конгруэнтны, так как

T F C^RF H T B ^ ÉFH.

А как обстоит дело с заключенными между ними углами? Если бы оказались конгруэнтными и они, то мы могли ба применить СУС-аксиому. Но они и в самом деле конгруэнтны, потому что эти углы являются вертикальными. Значит, по СУС-аксиоме

наше соответствие является конгруэнтностью. Отрезки AB и RH служат соответствующими сторонами и потому конгруэнтны. Именно это мы и хотели доказать.

В форме записи в два столбца наше доказательство будет выглядеть примерно так:

Да но . Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . AB _J_ RH.

В

136

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж дения А ргументы

Это доказательство приведено только как образец того, как могла бы выглядеть ваша самостоятельная работа. Существуют пределы «стандартности», которую можно ожидать от формы до­ казательства. Например, в шагах 2 и 3 мы записали конгруэнт­ ность отрезков формулами

AF —RF и FB —FH.

Но это можно было бы записать и по-другому:

АFcxRF и F B ^ F H ,

поскольку конгруэнтность отрезков и равенство их длин означают одно и то же.

Нельзя также строго указать, насколько подробным должно быть доказательство. По мере того как ваши знания и умения будут возрастать, вы сможете записывать доказательства с мень­ шим числом деталей. Ваш учитель явится лучшим судьей: когда вы это заслужите, он укажет вам, что вам будет разрешено пропускать.

Теперь вы понимаете, как обстоит дело, и потому второй наш пример мы изложим с некоторыми пропусками. Ваша задача состоит в том, чтобы заполнить пустые места так, чтобы полу­ чилось доказательство.

н

Пример 2.

Д а н о Ш _\ FR и I A H B ^ £ F H B .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . L A = L F .

137

- Г'

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж д ения А ргум енты

Задачи к § 4 (часть 1)

1. Перепишите эту задачу на отдельный листок бумаги и заполните пропущен­ ные в ней доказательства.

2. Перепишите задачу на отдельный листок и заполните пропущенные детали.

138

Д о к а з а т е л ь с т в о

полните пропущенные аргументы.

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверждения Аргументы

1. ДС = ОС. Дано.

( З а м е ч а н и е . Хотя утверждения 2 и 4 каж утся очень похожими, одно из них относится к углам, а другое — к треугольникам. Учтите это, формулируя аргу­ менты, обосновывающие утверждения 2 и 4.)4

139

б.Перепишите задачу и дополните доказа­ тельство. Докажите, что если на нашем рисунке G K =H K и М —середина отрез­

ка GH, то z G z Я.

Д о к а з а т е л ь с т в о

ной отрезка GH.

140

После того как вы закончили доказательство, часто обна­ руживаете, что рисунок можно сделать более поучительным, поста­ вив на нем дополнительные пометки.

Этот рисунок иллюстрирует пример 1 и его доказательство. Пометки на отрезках AF и FR указывают, что конгруэнтность

было доказано в. примере 2.

14і

Аналогично наши три аксиомы конгруэнтности СУС, УСУ и

ССС оправдывают все восклицательные знаки на следующих рисунках:

cue

УСУ

ССС

Вообще, это очень полезно — размечать рисунки таким образом, чтобы в них было заключено как можно больше информации. Иногда удается сделать чертеж, дающий полную картину какойлибо теоремы. Например, следующие рисунки полностью излагают теоремы, встречавшиеся нам в гл. 4. Какие это теоремы?

распространенная ошибка — пользоваться в своем доказательстве как основанием теоремой, в действительности являющейся следствием

142