книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

ІО*. Сформулируйте теорему 8.6, используя выражение «в том и только в том случае».

11*. Можно ли было теорему 8.5 доказать до теоремы 8.3? Объясните.

компланарны с двумя данными точками в том и только в том случае, если

§ 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ (СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ)

Следующие теоремы представляют сводку некоторых из основ­ ных фактов о перпендикулярных прямых и плоскостях. Одни доказательства являются простыми, а другие—довольно длинными, и мы не будем здесь каждое из них проводить. Но мы продемон­ стрируем встречающиеся здесь рассуждения* сопроводив подроб­ ными указаниями доказательство следующей теоремы.

Теорема 8.7

Дее прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, компланарны.

Чтобы понять, как нужно проводить доказательство, рас­ смотрим сначала ситуацию, к ‘ которой мы приходим в том слу­ чае, если наша теорема верна.

Иными словами, допустим, что две рассматриваемые прямые действительно лежат в одной плоскости, и спросим: в к а к о й плоскости должны они лежать?

245

того, такой отрезок PQ плоскости Е, что AB и PQ пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Определенно видно, что PQ_[_F в точке М. Если это так, то плоскость F является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ.

До сих пор, разумеется, мы ничего не доказали, так как

а затем показать, что прямые Іх и /2 принадлежат медиатрисеплоскости отрезка PQ.

Эта идея проходит. Вот главные шаги доказательства: 1°. AP — AQ (как указано на рисунке).

2°. A C A P g ^ A C A Q .

3°. CP = CQ.

4°. Точка С принадлежит медиатрисе-плоскости отрезка PQ. Обозначим ее буквой F.

5°. Прямая Іх принадлежит F.

Точно таким же образом заключаем, что и 6°. Прямая /2 принадлежит F.

Итак, плоскость, которую мы разыскивали, действительно

является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ; эта плоскость содержит обе прямые Іх и Іг, откуда и следует, что эти прямые компланарны.

Вы можете счесть, что обсуждение, предшествовавшее дока­ зательству, было для вас ценнее, чем само доказательство. Дока­ зательство, если оно уже получено, является логическим, но процесс придумывания доказательства бывает логическим очень редко. Вам нужно изо всех сил стараться найти способ дока­ зательства. И одним из лучших приемов для этого является метод «принимать желаемое за действительное», именно его мы проиллюстрировали в начале этого параграфа.

246

Теорема 8.8

Через данную точку проходит одна и только одна п л о с к о с ть ,

перпендикулярная данной п р я м о й .

принадлежать данной прямой или плоскости. Теоремы говорят нам, что в каждом из этих четырех случаев мы имеем и сущест­ вование и единственность. Это значит, что всего нам требуется восемь доказательств. Два из них уже были даны —см. выше, теоремы 8.3 и 8.5.

Теорема 8.9 гарантирует нам существование единственного пер­ пендикуляра к данной плоскости, проведенного из данной точки, не лежащей в этой плоскости. Поэтому оправдано следующее определение, аналогичное определению, которое мы дали после теоремы 7.7.

Определение

Р а с с т о я н и е от точки до не содержащей ее плоскости есть длина перпендикулярного отрезка, проведенного из этой точки до этой плоскости.

доказательство с того, что проведем через прямые PR и PQ плос­ кость. Довести доказательство до конца предоставляется вам.

247

Вопросы и задачи для повторения

c)Если прямая перпендикулярна каждой из двух других прямых, то она перпендикулярна плоскости, содержащей эти две прямые.

d)Пересечение двух плоскостей может оказаться отрезком.

e) Существует ровно одна прямая, перпендикулярная данной плоскости

вданной ее точке.

f)Для любых четырех точек существует плоскость, их содержащая.

g)Если какая-либо прямая пересекает некоторую плоскость только в одной точке, то в этой плоскости существуют по крайней мере две прямые, пер­ пендикулярные этой прямой.

h)Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендику­ лярную данной прямой.

i)Если три прямые попарно пересекаются, но нет точки, принадлежащей всем трем прямым, то эти три прямые компланарны.

І) Три плоскости могут разбивать пространство на восемь областей.

248

2.Дополните. Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, е с т ь ...

этого отрезка.

3.Дополните. Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть ... .

4.Дополните. Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух ...

и J ? Объясните.

7.Если боковые штанги ворот в одном конце футбольного поля перпендику­ лярны этому полю, то они компланарны, даже если их не соединяет верх­ няя штанга. Какая теорема подкрепляет это заключение? Могут ли они остаться компланарными, не будучи больше перпендикулярными полю? Если

лежат в этой плоскости. Чему равна сумма

т А D A P + m А С А Р ?

Если А С A B — прямой угол, то по край­

ней мере один луч, отличный от ~АР, и одна плоскость, отличная от Е, перпенди­ кулярны. Назовите все такие пары луч — плоскость.

9. Д А ВС лежит в плоскости Е. Р — точка,

не лежащая в £ и такая, что РА 1 AB,

P A ±. АС и P D JL ВС, где D — точка, при­

надлежащая отрезку ВС. Какое из усло­ вий РА > PD , Р А — PD , Р А < PD

верно? Почему?

249

13. Д а н о. Прямые В С и B D лежат в плос­

кости Е\ плоскость F _L BD в точке б;

плоскость G _L ВС в точке В; плоскости

G и F пересекаются по прямой AB.

250

§ 1. УСЛОВИЯ, ГАРАНТИРУЮЩИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

Существуют три способа расположения двух прямых в про­

вдоль одной из стен, и прямую /2, идущую по потолку перпен­

Определение

Две прямые называются п а р а л л е л ь н ы м и , если они

1°. компланарны;

2°. не пересекаются.

Следующая теорема позволяет нам говорить о (единственной!) плоскости, содержащей две параллельные прямые.

Теорема 9.1

Две параллельные прямые принадлежат одной и только одной плоскости.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если прямые Іх и /2 параллельны, то из определения следует, что они лежат в некоторой плоскости Е.

только одна плоскость, содержащая прямые Іг и /2, так как каж­ дая плоскость, содержащая прямую /2, содержит и точку Р.

253

Чтобы указать, что прямые /х и /2 параллельны, мы будем писать

/і II 1%-

Если два отрезка AB и CD принадлежат параллельным прямым, то для краткости мы будем говорить, что сами эти отрезки па­

р а л л е л ь н ы , и писать AB\\CD.

и т. д. еще для двенадцати подобных же случаев.

На основании определения может показаться, что решить, бу­ дут ли две прямые параллельны, вовсе не легко. Каждая из этих прямых неограниченно простирается в двух направлениях; поэто­ му, казалось бы, чтобы решить, пересекутся ли эти прямые или

254