книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

гические доказательства. Утверждения, которые мы будем до­ казывать, называются теоремами.

Хотя почти все наши утверждения-будут доказаны как теоремы, будут и некоторые исключения. Простейшие и наиболее фун­ даментальные из наших утверждений не будут доказываться. Они называются аксиомами. Точно так же и простейшими и

доказываем какую-нибудь теорему, мы показываем, что она ло­ гически следует из теорем, которые нами уже были доказаны раньше. Но всегда проводить доказательства таким образом

доказанные утверждения и являются аксиомами.

Тот же принцип применим и к определениям. По большей части, когда мы вводим новое понятие, мы определяем его, поль­ зуясь понятиями, которые уже были определены раньше. Но всегда так поступать невозможно. В частности, п е р в о е из наших

ранее. Это значит, что некоторые геометрические понятия мы обязаны ввести, не давая им никакого определения. Именно по­ тому мы будем пользоваться простейшими и наиболее фундамен­ тальными геометрическими понятиями, не предпринимая попытки их определитьТакими фундаментальными неопределяемыми по­ нятиями будут понятия: точка, прямая и плоскость.

Аксиомы, конечно, выбираются отнюдь не произвольно. (В про­ тивном случае ни один разумный человек не стал бы обращать на них никакого внимания.) Аксиомы описывают основные свой­ ства пространства. Точно так же и идеи точки, прямой и плос­ кости подсказываются некоторыми физическими объектами. Если мы нанесем карандашом точку на листе бумаги, то получим вполне удовлетворительное изображение геометрической точки. Чем острее карандаш, тем лучше это изображение. Такое изо­ бражение всегда будет только приближенным, потому что точка, нарисованная карандашом, всегда занимает некоторую площадь,

20

сят все меньшие и меньшие точечки, то вы получите хорошее представление о том, что мы понимаем в геометрии под словом «точка».

Под «прямой» мы всегда будем понимать прямую линию. Пря­ мая линия бесконечно простирается в обоих направлениях. Обычно мы указываем это на наших рисунках, пририсовывая в концах изображенной части прямой стрелки.

Эти стрелки должны напоминать нам, что прямая не кончается там, где обрывается чертеж.

Для фигуры вроде изображенной ниже мы будем пользоваться другим термином — «отрезок». Хорошее представление об отрезке дает туго натянутая веревка. Еще точнее изображает отрезок сильно натянутая тонкая струна рояля и т. д.

Если вы вообразите совершенно ровную поверхность, бесконечно простирающуюся в каждом направлении, то вы получите хорошее представление о том, какой должна быть плоскость.

Следует иметь в виду, что все вышесказанное —это не опреде­ ления. Это только объяснение тех идей, которыми люди руководст­ вовались, когда выбирали аксиомы. Когда мы приступим к дока­ зательству теорем, единственной информацией о точках, прямых и плоскостях, которой мы сможем пользоваться, будет информация, даваемая аксиомами.

В заключение сделаем два предостережения.

Во-первых, существуют пределы того, что логика может для нас сделать. Логика позволяет проверять наши догадки. Но прежде такие догадки должны возникнуть, и тут от логики большой по­ мощи ждать нельзя. При изучении математики вы никогда не до­ стигнете той ступени, когда можно будет продвигаться без изобре­ тательности или не руководствуясь своей интуицией.

Во-вторых, первые несколько теорем, которые мы докажем, не произведут сильного впечатления: вас может удивить, почему мы просто не объявили их аксиомами, после чего их вообще не при­ шлось бы доказывать. Но эта первая часть, во всяком случае, бу­ дет легкой; наберитесь терпения, прочтите текст и переходите к за­ дачам.

В начале следующей главы мы дадим краткий очерк идеи мно­ жества и краткий обзор свойств действительных чисел. Этим ма­

21

понятий, а будем считать, что они имеются в нашем распоряжении

ЕВКЛИД (третий век до нашей эры)

Евклид, пожалуй, имел самый большой успех из всех когда-

22

тематике и в физике у вас может возникнуть идея, которая ка­ жется вам правдоподобной. Но в физике лучший способ убедиться в ее правильности - пойти в лабораторию и попытаться ее про­ верить, а в математике —еще немного поразмышлять и попытаться

еедоказать.

Вто время как общий метод Евклида сохраняет силу, его аксиомы и основанная на них теория сегодня уже являются мало

употребительными. Благодаря развитию алгебры использование чисел для измерения геометрических величин приобрело фунда­ ментальное значение. Этот метод в «Началах» не встречался, потому что ‘во времена Евклида алгебра еще почти не была известна.

Задачи к § 2

1.Ученик, желающий узнать значение слова «измерение», обращается к толко­ вому словарю. В словаре в качестве его синонима указано слово «размер». Затем ученик в свою очередь находит синонимы этого слова. Он составляет следующую таблицу:

—величина

— протяженность — или

-длина — наибольшее измерение

-измерение

-величина — или

— размер

a)Выделите из этой таблицы «круговой (или циклический) список», состоя­ щий из трех терминов, каждый из которых имеет в качестве синонима следующий за ним. (В «круговом списке» первый термин считается сле­ дующим за последним.)

a)Периметр прямоугольника получится, если образовать сумму длин его сторон.

B ) Длина окружности получится, если вы умножите диаметр на л .

c)Плоская фигура, имёющая четыре стороны, являтся прямоугольником, если ее противоположные стороны имеют одну и ту же длину.

23

§ 1. МНОЖЕСТВА

Может случиться, что слово «множество» вы в математике не встречали, но соответствующая идея вам, наверное, хорошо знакома. Ваша семья есть множество людей, состоящее из вас, ваших родителей и ваших братьев и сестер (если они имеются). Эти люди являются элементами данного множества. Ваш класс в школе также есть некоторое множество людей. Про любой эле­ мент множества говорят, что он принадлежит этому множеству. Например, вы принадлежите вашей семье и вашему классу. Про множество говорят, что оно содержит свои элементы или что оно состоит из своих элементов. Например, и ваша семья и ваш класс содержат вас. Если одно множество содержит каждый эле­ мент некоторого другого множества, то мы говорим, что второе множество является подмножеством первого. Например, ваш класс является подмножеством множества всех учеников вашей школы, а это последнее множество включает ваш класс. (Мы говорим,

чили возможности совпадения подмножества со всем множеством. Таким образом, каждое множество является также своим соб­ ственным подмножеством.

Когда мы говорим, что два множества равны, или пишем ра­

10, 11, 12, 13 и 14. Фактически почти всегда одно и то же мно­ жество можно описать несколькими разными способами. Поэтому из того, что описания выглядят различно, вовсе еще не следует, что различаются и сами множества. С тем же самым мы сталки­ ваемся и в алгебре. Выражения 3-17 и 39+12 выглядят раз­ лично, но они описывают одно и то же число; именно это мы и имеем в виду, когда пишем 3-17 = 39+12.

Два множества пересекаются, если существует хотя бы один элемент, принадлежащий каждому из них. Например, ваша семья и ваш (школьный) класс пересекаются, поскольку вы являетесь элементом и своей семьи и своего класса. (Вернее всего, вы яв­ ляетесь единственным общим элементом этих двух множеств.) Пе­ ресечение двух множеств есть множество всех объектов, принад­ лежащих обоим этим множествам.

27

Переходя к математическим примерам, мы видим, что мно­ жество всех четных чисел состоит из элементов

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... ,

а множество всех чисел, делящихся на 3, —из элементов

3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

Пересечением этих двух множеств является множество, со­ стоящее из чисел

6, 12, 18, ...

(т. е. множество всех чисел, делящихся на 6).

На рисунке справа каждый из двух прямоугольников, состоя­ щих из четырех отрезков, является некоторым множеством точек; пересечение этих прямоуголь­ ников состоит из двух точек.

Точно так же некоторым мно­ жеством точек является и каж­ дая из изображенных на этом рисунке прямоугольных обла­ стей, пересечением которых яв­ ляется маленькая прямоуголь­ ная область в середине рисунка.

На следующем рисунке каж­ дая из двух прямых является множеством точек; их пересе­ чение состоит из одной един­ ственной точки.

В этой книге точки, прямые и плоскости будут рассматри­ ваться как некоторые множе­ ства точек. (Если хотите, мо­ жете считать это нашей первой аксиомой.) В действительности, все геометрические фигуры мы будем рассматривать как мно­ жества точек. На следующем ри­ сунке мы видим два множества точек, каждое из которых пред­ ставляет собой некоторую пря­ моугольную область, принадле­ жащую своей плоскости, при этом плоскости двух прямо­ угольников различны. Пересе­ чением прямоугольников слу­ жит отрезок прямой.

28

Объединение двух множеств есть множество, состоящее из всех объектов, принадлежащих какому-либо одному из этих множеств, а также всех объектов, принадлежащих другому.

Например, на рисунке снизу мы видим большую прямоуголь­ ную область R, являющуюся объединением двух меньших прямо­ угольных областей А и В. Пересечением А и В служит верти­ кальный отрезок почти в середине рисунка. Точки этого отрезка входят в объединение А н В сразу по двум причинам: как при­ надлежащие А и как принадлежащие В.

Пересечение и объединение трех или большего числа мно­ жеств определяются аналогично. Таким образом, треугольник яв­

Поскольку введено пустое множество, мы можем теперь говорить о пересечении л ю б ы х двух множеств, допуская и возможность того, что это пересечение пусто. Например, пусто пересечение множества всех нечетных чисел и множества всех четных чисел. Пересечение

29

связанную с их употреблением. Когда мы говорим о пересечении двух множеств, мы допускаем и возможность того, что это пересечение пусто; однако когда мы говорим, что два множества пересекаются, то всегда подразумеваем, что их пересечение содержит по крайней

ство—родственники, быть может, близкие, однако это вовсе не одно понятие, а два разных. Например, уравнение

х + 3 —3

имеет своим единственным решением число 0, и потому множество его решений непусто: оно состоит из одного элемента, а именно из числа 0. С другой стороны, уравнение

х + 1 —х-\-2

вообще не имеет решений. Следовательно, множество его реше­ ний есть ф .

2.Пусть

Р = { 2, 5, 7, 10, 14, 17, 19}.

30