книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия
.pdf§ 7. ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ. ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКОВ
Часто треугольники, с которыми нам |
приходится иметь дело, |
|
расположены на |
чертежах не раздельно, |
а Перекрываются, как |
Д AFM и Д |
на рисунке: |
|
Когда мы сталкиваемся с такими случая ми, особенно важно, чтобы избежать путани цы и ошибок, правильно записать наши конгруэнтности:
Д AFM Д FAH.
R
Проверим, что соответствие A F M ^ F A H действительно явля
ется конгруэнтностью. После того как это сделано и |
мы хотим |
||
записать, какие же стороны (или углы) |
конгруэнтны, |
отвлечемся |
|
от рисунка и рассмотрим лишь саму |
запись |
^ A F M ^ /\FAFf. |
|
Мы знаем, что |
|
|
|
AF ^ FA, FM ^ АН, |
AM |
FH, |
|
поскольку это —соответствующие стороны в нашей конгруэнтности:
А F М ------- -- |
F А Н |
|
и |
Так поступать — намного надежнее, чем вертеть головой, разгля дывая рисунок со всех сторон, чтобы избежать ошибки.
Рассмотрим теперь случай, когда такая ситуация возникает в доказательстве теоремы.
Да но . HA = HF‘, |
HM = HQ. |
Н |
Т р е б у е т с я д о |
к а з а т ь . FM = AQ. |
|
Очень распространенный способ доказательства конгруэнтности двух отрезков состоит в установлении того, что эти два отрезка являются соответствующими сторонами конгруэнтных треугольни ков. Чтобы можно было с успехом воспользоваться здесь этим методом, прежде всего нужно выявить треугольники, содержащие
отрезки FM и AQ, Такими являются Д HMF и /\H Q A , и они существенно перекрываются. Теперь задача сводится к доказатель ству, что эти треугольники действительно конгруэнтны. Доказа тельство, изложенное в форме записи в два столбца, приведено ниже.
Д о к а з а т е л ь с т в о
|
У тверждения |
Аргументы |
1. |
Н А = H F . |
Дано. |
2. |
Л H c ^ z Н. |
Угол конгруэнтен самому себе. |
3. |
Н М = HQ. |
Почему? |
4. |
Д H M F Cü Д HQA. |
Почему? |
5. |
F M = A Q . |
Почему? |
Строго логическое доказательство должно не зависеть от ри сунка; оно должно вытекать из аксиом, определений и ранее до казанных теорем. Но геометры совершенно свободно пользуются рисунками, в первую очередь для сокращения развернутых объяс нений смысла задачи. В этом духе мы сформулировали пример 1 в начале § 4 следующим образом:
Да н о . AR и ВН делят друг друга пополам в точке Н.
Т р е б у е тс я до к а з а т ь: A B ^ R H .
в
1 54
Позднее мы объяснили, что все содержание этой теоремы можно передать дополнительными пометками на рисунке, вообще не поль зуясь словами, например так, как это указано на рисунке:
н
В
Чтобы обойтись без рисунка, нам нужно было бы сформулиро вать пример 1 так:
П р имер |
1. |
|
Пусть |
А, В, F, Н и R — пять неколлинеарных точек, лежащих |
|
в одной плоскости. Если |
||
1°. |
точка F лежит между А и R-, |
|
2°. |
точка F лежит между В и Н; |
|
3°. |
AF = FR\ |
|
4°. |
BF = FH, то |
|
5°. |
AB = RH. |
|
Первые два утверждения этого примера прочитать на рисунке, конечно, легче, чем третье. И читаются они совершенно точно, если понимать, как рисунки применяются для сокращения записей. Мы будем пользоваться рисунками, чтобы указать коллинеарность точек, порядок точек на прямой, положение точек внутри угла и вообще относительное расположение точек, прямых и плоскостей. С дру гой стороны, не следует делать заключения, что отрезки или углы конгруэнтны, только потому, что они к а ж у т с я конгруэнтными. Чтобы передать с помощью рисунка информацию такого рода, нужно обычным способом сделать на нем пометки.
в |
Е ■ F |
А Ас о |
|
|
А |
155
Например, |
правый |
рисунок |
сообщает |
нам, |
что DE ^ |
EF, но |
|
рисунок слева |
вовсе не |
говорит, |
что |
AB = |
ВС, |
даже несмотря на |
|
то, что самые |
тщательные измерения |
показывают, что это, |
по-ви |
||||
димому, так. |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
А |
|
|
|
|
С В D С В D
а |
Аналогично и здесь левый рисунок указывает, |
|
что ЛВ J_ CD, |
||
правый —нет. |
|
|
|
||
Задачи к § 7 |
|
|
|
||
1. |
На |
этом рисунке ЯѴ = |
S T , RQ = S P и Z V R O - а |
V |
Т |
|
£ £ |
Z T S R . Дополните |
доказательство того, что |
||
|
|
|
|||
Q V = P T .
|
|
* |
р |
О |
S |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
|
У тверждения |
Аргументы |
|
|
|
1. |
R V = S T . |
|
|
|
|
2. |
L VRQ. ^ Z T S P . |
Дано. |
|
|
|
3. |
... |
|
|
|
|
4. |
& R Q V ^ . . . . |
|
|
|
|
5. ...
2 . Докажите, что если на рисунке слева K G 1 GH, L H j_ GH и Z К Н Р
S Ë L LG H , то К Н ^ L G .
156
3. Дано, что А С — ВС |
и |
L C A E ^ L C B D |
С |
|
(см. рисунок справа |
в |
конце предыдущей |
||
|
||||
страницы). Докажите, что Д Л С £ с ^ Д BCD. |
|
|||
<
4. |
На |
этом |
рисунке АС = ВС, DC — Е С и |
|
AD = B E . |
Дополните доказательство того, |
|
' |
что |
Z А С Е ~ z BCD. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о
|
Утверждения |
Аргументы |
1 |
AC = BC, DC — EC. |
Дано. |
2. |
AD = BE . |
... |
3. |
D E — DE . |
... |
4. |
A D A - D E = B E + DE . |
Правило сложения равенств. |
5. |
A E = BD. |
Определение понятия «между» и |
|
|
шаг 4. |
6. ...
7. Z Л С £ ^ Z BCD .
...
...
5. На этом |
рисунке P M = Q N , P S — QR и |
Р |
M R = N S |
. Докажите, что Z P S N ^ - L Q R M . |
|
У
6. |
Докажите, что если на этом рисунке A F — BG, |
C |
|||||
|
L A |
Z В |
и A E — BD, то E F = DG. |
|
|||
7* . |
Докажите, |
что если |
на |
том же |
рисунке |
|
|
|
L A g ^ L B , |
AD — B E |
и Z |
ADG £ £ |
Z B E F , |
|
|
|
то Z C F E ^ |
Z CGD. |
|
|
|
|
|
157
8*. На рисунке внизу слева AD = BC, AC = BD, AK = BN и AG — BH. Дока жите, что KG —NH.
А К N В
9.Дана плоская фигура RSTV, причем w — x и у —г (см. рисунок справа). Докажите, что RV = ST.
10. Дано, |
что |
на этом рисунке |
L х ^ L у и |
С |
Z. т ^ |
L п . |
Докажите, чтоА С |
= В С . |
|
. |
А |
8 |
11*. Докажите, чтоесли на том же рисункёD F = EF и Z, х ^ |
L у , то Д А Е В — |
|
равнобедренный треугольник. |
|
|
12*. Докажите, что если на том же рисунке А С = В С
13. Найдите на этом рисунке угол, конгруэнтный Z KML, если MK = MQ, ML = MP и KL = QP.
Докажите, что ваш ответ правилен.
14*. Докажите, что если на том же рисунке М К |
= |
|
MQ, L |
LQ, Р М 1 М К и TM 1 MQ, |
то |
/.LP.
и DC'=£C, то DF = EF.
Р
15. Точки Б и С |
на сторонах /. А |
взяты так, что А В = |
А С . Через В прохо |
|||
дит прямая, перпендикулярная А С |
в точкеD. Аналогично, через С проходит |
|||||
прямая, перпендикулярная AB в точке Е . Докажите, |
что если AD = AE, то |
|||||
BD = CE. |
|
|
|
|
|
|
16*. Прямая |
I перпендикулярна отрезку XY и делит его пополам в точке S. |
|||||
Точки R |
и Т |
являются соответственно серединами |
отрезков XS |
и |
YS. |
|
На прямой I по противоположные стороны от XY взяты такие точки А |
и |
В , |
||||
что А Х —BY и AT — BR. Докажите, что AS = BS. |
|
|
|
|||
158
17*. Докажите, что если Z D ^ Z DI(M и 1 { М = = С М = Т М , то AD = BC.
18. Точки В , D и Н |
на |
этом |
рисунке принадле |
C |
|
жат плоскости Е , |
а точки А |
и С— не принад |
|||
лежат |
ей. Докажите, |
что |
если AB ± BD, |
|
|
CD 1 |
775, AB = HD и CD = BD, то AD=*HC. |
|
|||
19. а) Докажите, что если на этом рисунке точка |
|
|||
X является серединой отрезка MN, |
MZ — NY |
|
||
и XZ = XY, то £ |
F ^ Z Z . |
|
|
|
b) |
Необходимо ли, |
чтобы точки М , |
N, X, Y и |
|
Z были компланарны? |
|
|
||
20*. а) Докажите, что если на том же рисунке точки М , N, |
X, Y и Z компла |
|||
нарны, точка X является серединой отрезка MN, Z. М = |
Z. X и Z. -МХУ |
|||
^ |
£ WXZ, то Z |
£ Z. |
|
|
Ь) |
Необходимо ли, чтобы точки М , |
N, X, Y и Z были компланарны? Объ |
||
ясните.
§ 8. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, КВАДРАТЫ И ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Четырехугольник — это фигура с четырьмя сторонами. Вот примеры четырехугольников:
159
Фигура вроде той, которая изображена на рисунке слева, четы рехугольником не является.
Кроме того, стороны четырехугольника не должны пересекаться. Поэтому фигура справа — тоже не четырехугольник.
Следующие определения сформулированы так, чтобы они вклю чали те случаи, которые мы хотим включить, и исключали те случаи, которые нам не нужны.
Определения
Пусть А, В, С и D — четыре компланарные точки. Если ника кие три из них не коллинеарны и отрезки AB, ВС, CD и DA имеют
общими |
только свои концы, то объединение этих четырех отрез |
||||
ков |
называется |
ч етыр е х у г о л ь - |
|||
н и к о м . |
Эти четыре отрезка назы |
||||
ваются |
с т о р о н а м и |
четырехуголь |
|||
ника, |
а |
точки |
А, В, |
С и |
D — его |
в е р ш и н а м и . |
/ . DAB , |
/.А В С , |
|||
/ BCD и / CDА (их можно просто |
|||||
обозначить / А, / В, / С и / D), |
|||||
называются у г л а м и |
Четырехуголь |
||||
ника. |
|
|
|
|
|
Если все четыре угла четырех угольника являются прямыми, то четырехугольник называется п р я м о у г о л ь н и к о м .
Если все четыре угла четырех угольника являются прямыми и все четыре его стороны конгруэнтны, то четырехугольник называется к в а д р а т о м .
Мы будем обозначать четырехугольник символом □ ABCD.
160
Пометки |
на |
следующем рисунке |
4 |
сообщают нам, что отрезок AD являет |
|
||
ся медианой |
Д |
АВС. |
|
Формально это звучит так: |
|
||
Определение
М е д и а н а треугольника есть отрезок, концами которого слу жат какая-либо вершина треугольника и середина противополож ной стороны.
Каждый треугольник имеет три ме- |
А. |
|
||
дианы—по одной на каждую вершину. |
|
|
||
Пометки |
на следующем |
рисунке |
|
|
указывают, |
что отрезок АЕ |
является |
|
|
биссектрисой Д АВС. |
|
|
|
|
|
|
B |
E |
С |
Определение |
|
|
|
|
Отрезок |
называется б и с с е к т р и с о й |
треугольника, |
если |
|
1°. он принадлежит лучу, делящему |
пополам какой-либо угол |
|||
этого треугольника; |
|
|
|
|
2°. его концами служат вершина этого угла и точка противо положной стороны.
Задачи к § 8
1.Постройте (сделайте его побольше!) разносторонний треугольник. Постройте
три его медианы-. Постройте три его биссектрисы. ^
2. Д а н о. Д А В С , медиана A D которого
перпендикулярна стороне |
ВС. |
___ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т |
ь . |
Отрезок AD |
является биссектрисой Д А В С и Д A Ü C — равнобедренный треугольник.6
С
В
6 Геометрия |
161 |
3.Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треуголь ника, перпендикулярна основанию и является биссектрисой угла, противопо ложного основанию.
4. Дано, что □ MOPQ является квадратом
и точка R есть середина стороны MQ. До кажите, что Д R O P — равнобедренный тре угольник.
5. |
LG и |
Z.H в □ |
GKHM являются |
прямыми и, кроме того, GK —М Н и GH = |
||||
|
= M R , |
причем |
6' и // лежат по противоположные стороны от МК - Докажите, |
|||||
|
что |
□ |
GKHM — прямоугольник. |
|
||||
6. |
В □ |
A B C D |
отрезки АС |
и B D |
перпендику |
|||
|
лярны |
и |
пересекаются |
в |
точке F\ кроме |
|||
|
того, |
AC — B D |
и F D = F C . |
Докажите, что |
||||
|
Д ACD SË Д B D C . |
|
|
|
||||
В
7.Доказать: медианы конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника конгруэйтны.
8. Доказать: биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вер шин при его основании, конгруэнтны.
9. □ А BC D — квадрат, |
а |
точки |
Р, |
Q, |
R |
и |
S |
являются серединами |
|
сторон |
А В, |
ВС, |
CD |
и |
|
DA . Докажите, что |
L |
PQR |
~ |
/ . |
P S R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
S |
О |
10. |
□ А B F H — квадрат. |
X — точка |
луча ÂTT, |
а Y — точка луча |
BF, |
такие, что |
||
|
А Х — B Y . Докажите, |
что |
AY = |
BX. |
|
|
|
|
11. |
Л уч А Р |
делит пополам L |
ВАС . D — точка |
на А 5 , а Е — точка на |
ÂÜ, такие, |
|||
|
что AD = |
AE . Докажите, |
что |
PD = PE . |
|
|
|
|
12*. Дан рисунок, где луч |
К М делит пополам |
|
|
|||||
|
оба угла- |
L H R G и |
2 HSG. Докажите, что |
|
|
|||
КМ ± Ш .
К
162