Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

10*+ . Докажите, что кратчайшая	ломаная, соединяющая две данные точки,
есть отрезок с концами в этих	точках.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны п точек Alt Л2, . . . , А„. Докажите, что

Д Д + Л2Л3+ •••+ An_iA n SS А1Ап.

§ 8. ТЕОРЕМА О ШАРНИРЕ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотрим		две	связанные
в точке А шарниром палки AB
и АС,	другие	концы В		и С
которых	соединены		тонкой	ре
зинкой:

Если палки развернуть ши ре, то резинка должна растя нуться :

Переводя сказанное на геометрический язык, получаем сле дующую теорему. (Вы, возможно, сочтете, что вторая формули ровка звучит проще, чем формулировка самой теоремы.)

Теорема 7 .9 (теорема о шарнире)

Если две стороны одного треугольника соответственно конг руэнтны двум сторонам другого треугольника и если угол, заключен ный между указанными сторонами первого треугольника, больше угла, заключенного между соответствующими сторонами второго, то третья сторона первого треугольника больше третьей сто роны второго треугольника.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны Д АВС и /\D E F , причем AB = DE и АС = DF. Если Д А > Д D, то ВС > EF.

2 2 4

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Шаг 1.	В
Начнем с построения такого Д А К С
с вершиной	К, лежащей	внутри
L ВАС, что	Д А К С д ^ Д й Е Р .

Чтобы это сделать, сначала (пользуясь аксиомой						построения
				— ►		<■■>
углов) возьмем такой луч AQ, что точка Q лежит от						прямой АС
по ту же сторону, что				и точка	В и что /_ QAC ^	/_ D. Затем
(по теореме о нанесении точки) возьмем такую точку К луча AQ,
что AK = DE. На основании СУС					имеем Д А К С = Д й Е Е , как
мы и хотели.			мы	разделим	б
Шаг	2. Теперь
пополам	/, ВАК		и	обозначим
буквой М точку		пересечения бис
сектрисы	этого	угла с		отрезком

ВС.

Мы уже близки к доказатель ству теоремы. В силу СУС

	Д А М В ^ Д А М К .
Следовательно, МВ = М К ■ Применяя к					Д С К М неравенство тре
угольника		(теорему 7.8),	получаем
		ск<см + мк.
Поскольку		МВ = МК, отсюда .следует,			что
Так	как	с к < с м + мв.
		СК — EF	и	СМ-\-МВ = ВС,
то
			ЕЕ с ВС,

что	и требовалось доказать.			теореме	7.9.
Верна		и теорема, обратная

Теорема 7.10 (обратная теорема о шарнире)

Если две стороны одного треугольника соответственно конгру энтны двум сторонам другого треугольника и если третья сто рона первого треугольника больше третьей стороны второго, то угол, заключенный между указанными сторонами первого тре угольника, больше угла, заключенного между соответствующими сторонами второго треугольника.

8 Геометрия

225

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны Д АВС и /\D E F , при чем AB — DE и АС = DF. Если ВС > EF, то Д Л >* Д D.

Чтобы	вывести эту теорему из теоремы о шарнире, поступим
так же, как тогда, когда				мы выводили теорему 7.6 из теоремы 7.5.
Иными словами,		покажем,		что неравенство Д А <с Д D и конгру
энтность	Д А ~	Д D	невозможны, так		что остается лишь един
ственная	возможность:		Д А > Д D. Для		первой части доказатель
ства нужна теорема о			шарнире, а для		второй части —СУС. По
дробное доказательство			проведите сами.
Задачи к	§ 8
1. На этом	рисунке				D'

AD = CD и L A D B > L CD B .

Докажите, что A B > ВС.

2. S — точка основания равнобедренного & P Q R , отличная от середины. Д ока

жите, что луч P S не является биссектрисой і. RPQ.

3. Д а н о . Д А В М с медианой M R , причем /. M R B > /. МК А .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . А М > М В .

4.	Д	А ВС	и	Д A B D		имеют	общую сторо
	ну	A B	и	AC = AD.		Докажите,		что	если
	точка С лежит внутри					Z, D A B ,	то	BD >	ВС.
5.	В	Д Д 5 Т		точка	М	является		серединой
	стороны		R S и R T > S T . Тогда					д T M R —
	тупой или			острый?	Объясните.6

6.Докажите, что на рисунке (обратите внима ние на пометкиі) /. W > Z U.

226

7. На рисунке слева F H = AQ и А Н > FQ.			Докажите,	что	A B > F B .
8 * . На	рисунке справа AD — BC. Докажите,		что А О	DB.
9 *. В Д	А В С	имеем A — F — C и A — D — B ,	причем F C = D B . Докажите, что
если	A B >	АС, то F B > CD.

§ 9. ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
На каждом из этих рисунков	отрезок BD является высотой
Д АВС:
В	в

В каждом случае отрезок BD принадлежит перпендикуляру,

опущенному из В на прямую АС, и называется высотой, прове денной из вершины В к стороне АС. Заметим, что основание

этого перпендикуляра не обязано принадлежать отрезку АС. Но все случаи учитываются в следующем определении.

Определение

В ы с о т а треугольника есть отрезок, принадлежащий перпен дикуляру, опущенному из какой-либо вершины треугольника на прямую, содержащую противо положную сторону, и заключен ный между этими вершиной и стороной.

(Вопрос. Может Ли высота тре угольника быть стороной этого треугольника? Если да, то при каких условиях это возможно?)

Конечно, каждый треуголь ник имеет три высоты: по од ной, проведенной из каждой вершины. Это показано на сле дующем рисунке:

8 *

2 2 7

Здесь	BD —высота,	проведенная из вершины В; АЕ —высота,
проведенная из вершины		А	и С/7 —высота, проведенная	из вер
шины С.	Заметим, что	хотя	в этом конкретном случае	никакие

два из отрезков BD, АЁ и CF не имеют общей точки, все три содержащие их прямые, как видно из рисунка, пересекаются

водной точке G.

Ксожалению, то же слово «высота» употребляется еще в двух смыслах:

(1) Иногда длина высоты также называется высотой. Так, если расстояние BD равно 6, то можно сказать, что высота, проведен ная из вершины В, равна 6.

(2) Прямая, содержащая	высоту,	также	называется высотой.
Так, на последнем рисунке	прямые	< >	>• 0">
		BD, АЕ и CF можно назы

вать высотами. Именно в этом смысле мы употребляем слово «высота» в гл. 15, где мы докажем, что три «высоты» треуголь ника всегда пересекаются в одной точке. Если бы высота непременно была отрезком, то, как показывает последний рисунок, эта теорема была бы, конечно, неверна.

Такое тройное значение одного и того же слова легко могло бы приводить к недоразумению. Но обычно этого не бывает, потому что в большинстве случаев из контекста видно, какое из этих значений имеется в виду.

Задачи		к	§ 9
1. Перерисуйте Д				А ВС . Обратите внимание на то,			С
что он		разносторонний. Проведите биссектрису
треугольника из вершины С. Затем						проведите
из	вершины С			медиану. Наконец,		проведите
из	С	высоту.		Если	в ы . начертили	аккуратно,
то вы должны увидеть, что эти три отрезка
различны. В каком					треугольнике биссектриса,		В
медиана			и высота совпадают?

2. Перерисуйте этот тупоугольный треугольник и проведите три его высоты.3

3.Докажите, что высота, проведенная из вер шины, противоположной основанию равнобед ренного треугольника, одновременно является также и медианой.

223

4. Докажите следующую теорему:

Высоты, проведенные из вершйн, противо положных конгруэнтным сторонам равнобедрен ного треугольника, сами конгруэнтны.

•(На рисунке изображен случай, когда т <			С <
< 90.	Рассмотрите	также случаи,	когда
т А С — 90 и m /. С >		90.)

5.Докажите. Высоты равностороннего треугольника конгруэнтны.

6.Докажите теорему, обратную теореме задачи 4:

Если две высоты треугольника конгруэнтны, то этот треугольник - равнобедренный,

7. Докажите следующую теорему:
	Дано	соответствие		ABC*-~DEF.		Если
AB = DE,		ВС — ЕР	и высота, проведенная из
вершины С,		конгруэнтна		высоте,	проведенной
из вершины F, то			это соответствие является
конгруэнтностью.
	Д а н о .	AB =	DE	и BC =	EF.	Высо
ты	CG и T H . CG — FH .
	Т р е б у е т с я		д о к а з а т ь .		Д Л Д С ^
^	Д DEF.

8. Докажите, что периметр треугольника больше, чем сумма трех его высот.

Вопросы и задачи для повторения


1.	Для		каждого		из	этих примеров укажите, какое свойство отношения по
	рядка		он иллюстрирует.
	a)	Если		г > 6		и	6 >	t,	то	t < г.
	B )	Если		М Р — 2>		и	R S — 7,		то	M P - { - R S — 10.
	c)	Если		D K ^ 1 1		и	D R	И , то			D K — 11.
2.	Объясните, почему						если D — точка,				лежащая внутри А АВС, то / АВС >
	>	А DBC.3
3.	Если		а =	20,	то	х ....
	Если		Ь — 65,		то	X ___
	Если		с — 100,		то X . . . .

229

4. Определите расстояние между точкой и				/ м
прямой.	Определите	высоту	треуголь	/ м
ника.
5. Докажите,	что если	медиана,	проведен
ная к какой-либо стороне треугольника,
не перпендикулярна		этой стороне, то
хотя бы две стороны треугольника не
конгруэнтны.

6. Три проволочные растяжки равной длины поддерживают недавно посажен ное на горизонтальной площадке дерево. Будут ли закрепляющие их в земле колышки находиться на равном расстоянии от основания дерева, если все три растяжки прикреплены к дереву на одной высоте? Почему?

7.Из различных вершин равностороннего треугольника проведены медиана, биссектриса и высота. Что можно ска

	зать об их	длинах?	£
8.	Докажите, что на рисунке А A D B >		А С.
9.	В Д А ВС	имеем АС > AB. Докажите,
	что если D — любая точка между В		и С,
	то AD < АС.

10. Докажите-следующую теорему:

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Д а н о . Л уч Ä P делит пополам А В А С .

Р Е ± AB.

YF J_ АС.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Р Е — P F .

11. Какой отрезок является наименьшим, если меры углов указаны на рисунке? Объясните свое рассуждение.

230


12. Плоскости		Е и	F	пересекаются			по
прямой A B .		Точка	С	лежит		в плоско
сти F ,	а точка		D — в		плоскости		Е.
Кроме	того,	C B = AD,			С А	_L A B	и
D B _L Ä B . Докажите,				что CA — DB.

13.	Отрезки,		соединяющие	некоторую точку,		лежащую внутри	треугольника,
с тремя		его	вершинами,	имеют длины г,	s	и t. Докажите,	что сумма л +
+	s + f	больше, чем половина периметра			этого треугольника.

14.	Доказать. Если	AM — медиана Д			АВС,	R
	то проведенные	из	В и	С отрезки,	пер
	пендикулярные прямой ЛУИ, конгруэнтны.
15.	На этом рисунке		P T =	T R = R Q .	До	т
	кажите, что				Р	т
	P R >		RQ.

16*. Докажите следующую теорему:

Если из любой точки перпендикуляра к некоторой прямой проведены к этой прямой два наклонных (не перпендикулярных) отрезка, т о тот

отрезок, конец		которого,	лежащ ий на данной прямой,	дальш е отстоит от
основания перпендикуляра, имеет больш ую длину.
17*. Дано,	что	ЛС = 5 С ,	A B < АС и	D
А — С — D.	Доказать,		что Д A BD —	D

разносторонний треугольник.

18*. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треуголь ника, до концов одной из его сторон меньше суммы длин других двух сторон. Иными словами, доказать, что а +

> с + d.

19*. Z. С — прямой	угол в	Д	А ВС . Если
т /. В = 2т z Л,	то А В =	2ВС.
( У к а з а н и е .	Проведите		биссектрису
Z В .)

231

2 0*. а) Д ан Д А ВС , где ВС = а, АС — Ь и А В = с. Докажите, что | а — 6 | < с . Ь) Сформулируйте словами теорему, обобщающую предложение из задачи а).

2 1 *+ . Сумма мер углов треугольника меньше, чем 270.

22+ . На основании сформулированных в этой книге ранее аксиом и уже дока занных теорем нельзя доказать, что сумма мер трех углов треугольника равна 180 (факт, с которым вы через некоторое время познакомитесь). Однако мы легко можем построить треугольник специального вида и дока зать, что сумма мер его углов меньше, чем 181.

К В

И С

Пусть L В А С имеет меру 1 (аксиома построения углов). На лучах A B

и АС возьмем точки К и М так, что А К = АМ. Сумма мер углов Д А К М

меньше, чем 181. Почему? Если мы сделаем т /, A * = - ^ t то что мы сможем

сказать о сумме углов полученного треугольника?

Конкурсная задача

Пусть прямая BD пересекает прямую АС в точке В , лежащей между

Л и С. Перпендикуляры, проведенные из точек А и С к прямой BD, пере секают эту прямую соответственно в точках Р и Q. Докажите, что точки Р

и Q не лежат по одну сторону от АС.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ