книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

7+ . Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения, в ко­ тором буквы р, q и г заменяют различные утверждения:

b)М желтое. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относитель­ но К? Если да, то какое?

c)J не синее. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относитель­ но К? Если да, то какое?

10+ . Какое заключение вытекает из следующих данных:

c)Не членам клуба пловцов не разрешается носить в клубном бассейне полосатые плавки.

§ 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЯМЫХ и плоскостях

Теперь довольно легко доказать остальные теоремы гл. 3. Для удобства сначала мы вновь сформулируем аксиомы, на которые опираются доказательства этих теорем.

Аксиома 4 (аксиома прямой)

Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки.

Аксиома 5

a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколлинеарные точки.

B) Пространство содержит по крайней мере четыре неком­ планарные точки.

174

Аксиома 6

Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.

Аксиома 7 (аксиома плоскости)

Любые три точки принадлежат по крайней мере одной пло­ скости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

Теперь мы докажем следующую теорему.

Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их пересечение содержит только одну точку.

Конечно, иллюстрирующий это доказательство рисунок выгля­ дит довольно странно. Мы изобразили точку Q только для того, чтобы напомнить обозначения, принятые в доказательстве. Само доказательство показывает, что такой точки быть не может. Со­ провождающие доказательства от противного рисунки всегда будут казаться нелепыми по той простой причине, что они передают

175

невозможные ситуации. Если бы мы попытались графически про­ иллюстрировать доказательство теоремы 3.1, то полученный ри­ сунок выглядел бы даже еще хуже. (Этот' рисунок изображал бы

Теорема 3.3

Если даны прямая и не при­ надлежащая ей точка, то суще­ ствует одна и только одна плос­

кость, содержащая эту прямую и эту точку.

Итак, мы имеем две различные плоскости Е и Е', содержащие неколлинеарные точки Р, Q и R, что противоречит аксиоме 7.

Заметим, что эта теорема и ее доказательство естественно рас­ падаются на две части. Тем самым иллюстрируется различие между существованием и единственностью. Первая часть доказа­ тельства устанавливает существование плоскости Е, содержащей Р и I. Вторая часть устанавливает единственность плоскости, со­ держащей Р и I. Когда мы доказываем существование, мы устана­ вливаем, что имеется не менее одного объекта определенного вида. Когда мы доказываем единственность, мы устанавливаем, что имеется не более одного такого объекта. Если случится, что мы

сумеем доказать и то и другое, то мы будем знать, что суще­ ствует ровно один такой объект.

- 1 7 6

Однако существование и единственность вовсе не всегда, при любых обстоятельствах, сопутствуют друг другу. Во многих слу­

ственность. (В самом деле: счастлив пес, в шерсти которого живет

Но такая пара целых чисел не единственна, потому что, кроме того,

у_ 2р_____ Зр

~3q

ит. д. Для старшей дочери встреченной нами женщины мы, оче­ видно, смело можем утверждать ее единственность, но вовсе не обязательно существование: в некоторых семьях вовсе нет детей или все дети— мальчики. Для общих точек двух различных от­ резков не обязано иметь места ни существование, ни единствен­

Чтобы подчеркнуть двойное значение выражения «ровно один», это выражение часто заменяют словами: «один и только один».

Следующая наша теорема распадается на две части совершенно таким же образом, как и теорема 3.3.

Теорема 3.4

Если даны две пересекающиеся пря­ мые, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

17 7

Заметим, что доказательство 2° дает вам образец записи в два столбца доказательств от противного. Строго говоря, фраза «На­ чало доказательства от противного» не является «аргументом»; она только объясняет, что мы имели в виду, записывая шаг 5.

Задачи к § 3

1.Какую теорему можно сформулировать таким образом: «Две пересекающиеся прямые определяют плоскость»?

2.Если не все три прямые на левом рисунке компланарны, то сколько плос­ костей они определяют? Перечислите все эти плоскости, назвав прямые, определяющие каждую из них.

178

3.Никакие три луча на правом рисунке не компланарны. Сколько плоскостей эти лучи определяют? Обозначьте каждую плоскость ее определяющими точками.

4.Какие аксиомы или теоремы, сформулированные в § 3, устанавливают един­ ственность точки, существование которой установить нельзя?

5.Как указано на рисунке, точки А и В лежат в плоскости £ , а точка Р — выше

нее. Какие аксиомы или теоремы утверж-

>

дают, что прямая A B содержится в £ ? На рисунке неявно присутствует вторая плоскость. Назовите ее.

Каково ее пересечение с £ ? Если некоторая четвертая точка Q лежит ниже плоскости £ и не коллинеарна ни с £ и Л, ни с Р и В, то какие плоскости при этом определяются? Сделайте чертеж.

6. Объясните, как употребляется выражение «один и только один»,

7. Допустим, что вы хотите доказать, что в плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой в данной точке. Вы будете доказывать существование или единственность? Если бы вы стали прово­ дить доказательство от противного, то какое допущение вы бы сделали

вначале своего рассуждения?

§4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ

Спомощью линейки и транспортира легко восставить перпен­ дикуляр к данной прямой в данной ее точке: просто нужно, как

на этом рисунке, отложить угол в 90° с вершиной в данной точке

костей, содержащихся в Е и определяемых прямой /, а X — произ­ вольная точка прямой /, отличная от Р (см. рисунок выше). В силу

179

по теореме 4.8 оба угла: /_ УхРХ и /_ У2РХ — являются прямыми, как указано на нашем рисунке. В силу аксиомы построения углов

ров; так, все спицы велосипедного колеса перпендикулярны его оси. Пометки на следующем рисунке указывают, что прямая I явля­

а через С проходит одна и только одна прямая, перпендикуляр­

180

Теорема 6.2 (теорема о медиатрисе)

Медиатриса данного отрезка в данной плоскости есть множе­ ство всех точек этой плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Пусть I — медиатриса отрезка AB в плоскости Е. Тогда:

1°. Если точка Р принадлежит I, то РА — РВ.

2°. Если РА = РВ, то точка Р принадлежит I.

Эта теорема доставляет нам пример так называемого характери­ стического признака математического понятия. Чтобы охарактеризо­ вать некоторое множество точек, мы устанавливаем условие, которому

1°. удовлетворяют все точки данного множества;

2°. не удовлетворяют никакие другие точки.

В нашем случае рассматриваемое множество точек является

181

Поэтому согласно определению /_ PCD является прямым и, зна­

чит, l'J_ÄB в точке С. Но по теореме 6.1 перпендикуляр един­ ствен, следовательно, /' = /. Таким образом, точка Р принадлежит /, что и требовалось доказать.

Следствие 6.2.1

Даны отрезок AB и прямая I, принадлежащие одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена

от А и В, то I является медиатрисой отрезка AB.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 6.2 прямая I содержит

две точки медиатрисы отрезка AB. Так как две точки определяют прямую, это означает, что прямая I является медиатрисой отрезка

ÄB .

Мы нашли, что при построении перпендикуляра к данной пря­ мой, проходящего через точку, принадлежащую этой прямой, ника­ кой проблемы не возникает: нужно только отложить угол в 90°. Если точка не принадлежит данной прямой, іо построение стано­ вится уже не совсем тривиальным.

Пусть даны прямая I и точка Р, не принадлежащая I. Мы хотим построить прямую, проходящую через Р и перпендикуляр­ ную I. (Разумеется, мы действуем в некоторой плоскости Е, содер­ жащей I и Р.)

Пусть Q и R —любые две точки прямой I. Чтобы построить перпендикуляр, сначала мы проведем луч QP и измерим /_ POR.

Затем мы проведем луч QS, где точка S лежит по противополож­ ную сторону от / по отношению к точке Р, как указано на ри­ сунке, и такова, что

A S Q R Q É APQR.

(Какая аксиома это позволяет?) Затем мы нанесем на луч Q3

182

доказательство следующей теоремы, которое мы запишем в два столбца.

Теорема 6 .3

Существует по к р а й н е й ме ре од на прямая, перпендику­ лярная данной прямой и проходящая через данную точку, не при­ надлежащую этой прямой.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть I —прямая и Р~точка, не принадлежащая I. Тогда существует прямая, перпендикуляр­ ная I и содержащая Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Это доказательства, как оно здесь записано, не допускает воз­ можности Q= U. Когда мы случайным образом выбрали на I

точку Q, вообще говоря, могло случиться, что PQ±.l. Но, ко-

183