книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Из

каки х

чисел

состоит

пересечение

множеств

Р

и

Q? Из

каких

чисел

состоит объединение Р и Q?

3. Рассмотрим следующие множества:

51 — множество

всех

учеников

вашей

школы.

5 2— множество

всех

мальчиков в вашей школе.

5 3— множество

всех

девочек

в

вашей

школе.

5 4— множество

всех

учителей

вашей

школы.

5 5— множество,

единственным

элементом которого

являетесь

вы — ученик

школы.

a)

Какие

из этих множеств

попарно

пересекаются?

B )

Какое

множество

является

объединением S 2 и S 3?

c) Какое множество является объединением

и S 5?

d) Опишите объединение S ,

и S 4.

e) Какие из этих множеств

являются

подмножествами

S 4?

4. Прямые и окружности, изображенные

на следующем рисунке, мы будем

рас­

сматривать как множества точек. Объясните, что представляет

собой в

каж ­

дом из трех случаев

их

пересечение.

5. Что представляет собой

пересечение треугольника А ВС и отрезка АС

(см. рисунок)? А их объединение?

6. Рассмотрим

множество Е

всех

поло­

жительных

четных чисел

и

множе­

ство О всех

положительных

нечетных

чисел.

a) Опишите объединение Е и О.

B ) Опишите пересечение Е

и О.

8. Пусть

Л — множество

всех

пар

чисел

(х , у),

удовлетворяющих

уравнению

Зх + У — 15;

В — множество

всех

пар

чисел (х, у),

удовлетворяющих

урав­

нению

2 x - j- jy = l l .

Опишите

пересечение множеств

І

и fl.

9.

П усть

А =

{ (1,12),

(2,9), (3,6),

(4,3),

(5 ,0 )},

5 =

{

(1,9), (2,7),

(3,5),

(4,3),

(5,1) J-^

(Заметим, что элементами множеств А и В являются

п а р ы

чисел.)

Какие

пары чисел

входят

в

пересечение

А и ß ? В

объединение

Л

и В?

10.

Пусть

Л — множество

всех

решений

уравнения

5 / - - | - s = ll,

а

В — мно­

жество

всех

решений

уравнения

Зг— s = 5.

Из каких

пар

чисел

состоит

пересечение

Д и fl?

11.

Пусть

Л — множество

всех

решений

уравнения

7х — у = 28,

а

В — мно­

жество

всех

решений уравнения

Зх +

2 г /= 1 2 . Из

каких

пар чисел

состоит

пересечение

А

и ß?

2//г-)-/г == 8,

12.

П усть

Л — множество

всех

решений

уравнения

а

ß — мно­

жество

всех

решений уравнения 4 т - | - 2 п = 1 2 . Опишите пересечение

Л

и В .

13*.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, делящихся на 2, и

множество всех натуральных

чисел,

делящихся на 3.

a)

Опишите

пересечение

этих

двух

множеств

и

укажите

какие-либо

четыре

его элемента.

B ) Найдите алгебраическое выражение для этого пересечения.

c)

Опишите

объединение

этих

двух

множеств и укажите какие-либо

шесть

его

элементов.

14.

Представим

себе точку Л на доске

или на листе бумаги. Сколько

пря­

мых на плоскости доски или листа

бумаги содержат

точку Л? (Прямые,

содержащие точку Л, образуют некоторое множество,

элементами

которого

они являются. Сколько элементов содержит это множество?)

15.

а)

Даны две

различные

точки

Л и

В .

В множестве

всех прямых

сколько

имеется элементов, содержащих одновременно Л

и В?

(Часто

этот

вопрос

формулируют иначе: сколько прямых можно провести через

две

данные

точки Л

и

ß?)

d)* В задачах а), Ь) и с)

ставился

один и тот же вопрос, но число заданных

точек было различно.

Ответьте

на тот же вопрос, если задано п точек.

жеств

включают

само множество и пустое множество. Так, множество {а , Ь}

имеет следующие

подмножества:

{а , Ь }, {а } , {Ь } , ф .

Таким

образом,

множество с двумя элементами имеет четыре подмножества.

a) Перечислите все подмножества множества

{а, Ь, с} .

B ) Сколько подмножеств имеет множество из

четырех элементов?

1

2

3

и

5 ■■■

Слева от 1

поставим число 0:

-«г

I

■ *о~— —о

■ О1

о——-о — а

0

1

2

3

и

5 •••

-----1------

1—

I----------

(--------

(— — о------

о-------

о ------

о-------

о-------

о

--------5

- 4

- 3 - 2

- 1

о

1

2

3

и

5

отрицательных целых чисел и нуля.

Натуральные

числа —это,

конечно, положительные

целые

числа;

их часто так и называют.

Заметим, что на прямой осталось

еще много точек, которым

пока не приписано никаких чисел. Нам нужно,

по крайней мере,

-

1

1

2

1

1

2

д’

д.

разместить дроби

з ’ 3” ’ ~ 2 ’ ~ 3 ’ ~ з и т'

д*еждУ каж'

дыми двумя целыми

числами

имеется

бесконечное множество та­

ких дробей.

Поэтому все, что мы можем сделать на рисунке, это

указать для

примера

некоторые

из

них.

- І

- і

- і

i

f

1

b— — o — ►

' o -H — o -i

o - f — o — f - o — +— <H

о-------

5 -4 - 3 - 2 -1

0

1

2

3

U 5 —

рациональными числами. [Этот термин

(«рациональный»

значит

«разумный») вовсе

не должен приводить к мысли,

что остальные

числа неразумны.

Он

только отмечает тот факт,

что рациональ­

ные числа являются

о т н о ш е н и я м и

(по-латыни ratio)

целых

чисел.]

Рациональные

числа не заполняют

числовую

прямую

цели­

циональным. Это же относится и к числам |/ 3

и 1^5, а также к не­

которым «особым» числам вроде я.

чтобы каж­

Если мы нанесем все эти добавочные числа так,

дой точке нашей прямой было приписано

некоторое

число, то

2

Геометрия

3 3

,/Г

і

г

я

-Ш

. Ѵ2

3

п

2

Т

- ?

\

\

/

/

—о------ (о-

—о—4—о——КН+—о—

■о— о—

- - 5 - 4 - 3

-1 і

0

1

с2

3 4 5 -...

Число X меньше, чем число у,

если х

лежит

на

числовой

прямой л е в е е ,

чем у,

например,

как на следующем

рисунке.

у

Ц

.....

-О-

О—

I

о

«о

О—

■ О

I

о— ' —-

■■ т 9

-

- 3

-

2

-

1 0

1

2

3

-

- 1 0 0 0 0 0 0 < ~ ,

хотя число

— 1 000 000 в

каком-то

смысле

и кажется

больше.

Выражения,

в

которые входит

з н а к < ,

называются

нера­

венствами. Любое

неравенство можно

переписать,

обратив его

знак;

у > х

означает

просто, что х< іу .

Таким образом,

если

у > х ,

то у

лежит

на

числовой

прямой

п р а в е е ,

чем х.

Выражение

х ^ у

означает,

что

либо

х < у ,

либо х — у.

Таким

образом, —2«^1,

поскольку —2 < 1

и

2 ^ 2 ,

так

как

2 = 2.

главным

При изучении алгебры вы до сих пор имели дело

образом с поведением

действительных

чисел

при

сложении и

методом,

каким

мы будем в этом курсе

изучать

геометрию.

Иными словами,

все известные вам алгебраические

факты можно

вывести

из нескольких

простых

аксиом. Тем

не

менее

не

ис­

ключено,

что алгебру

вы таким

способом

не

изучали,

а

нам

едва ли

хватит

времени, чтобы пройти всю

алгебру

снова.

По­

В учении о квадратных корнях имеется

один довольно дели­

катный момент. Когда мы говорим, что

х

есть

квадратный ко­

рень из а, то мы подразумеваем

только

то,

что

х 1= а.

Напри­

мер, 2 есть квадратный корень

из

4,

так

как

22 = 4.

Но—2

также является квадратным корнем

из

4,

поскольк (—2)2 = 4.

Неверно:

—2 = ^ 4 .

Причина

именно такого употребления символа У а очень

проста. Если

допустить, что У а означает л ю б о й из двух квад­

2*

36

0.02,-

/ 4 ,

і

|

14,003,

- 3

,

Ѵ2

]

/ |

,

0,

1,414,

5

’

Ѵ ш ' л-

Заполните

таблицу,

поставив

каждое

из

этих

чисел

во

все

те

столбцы,

в заголовках

которых

названы

множества,

содержащие

данное

число.

2. Выясните,

верно

или ошибочно

каждое

из следующих уіверждений;

a)

Отрицательные числа являются действительными числами.

B )

Действительная

числовая

прямая

имеет по

крайней

мере

один

ко­

нец.

c)

Для

всех

чисел х число

— х отрицательно.

7

d)

Точка

на

действительной

числовой

прямой,

соответствующая

, ле-6

у

жит

между

точками,

соответствующими

6

8

у

и у ,

e)

На действительной

числовой

прямой существует точка, соответствую­

щая

числу

Ѵ^2

и отличная от точки, соответствующей

числу

1,414.

f)

Если

X— отрицательное

число,

то

— х

— положительное

число.

g)

Если

х > і /, то

X— у >

0.

3. В

каком порядке должны быть расположены на числовой прямой точки

каждого

из следующих

множеств

(при этом предполагается, что положитель­

ные числа лежат справа от нуля):

а)

¥ >

1 8

’>

Ь) 4>1:

4 ’06;

4’012;

с) - 1 , 3 ; - 0 , 7 ;

- 2 , 1 4 ;

d) у ;

- l | ;

- l y ?

4. Запишите

следующие высказывания,

пользуясь

знаками

порядка

(т. е. < ,

и т. д.):

a) X— число,

большее

чем

0.

B )

у — число,

заключенное

между

— 1 и 2.

c)

W — число,

заключенное

между

— 1 и 2

(включая

и сами

эти

значения).

5. Опишите

следующие

неравенства словами:

а)

А В >

CD,

b) т г£ л;

с)

— 11 <

5 < 8 ;

d) — 2 г ^ & г с ;2 ; е) х < 0; I) у > :0 .

6. Какие

из следующих

равенств верны:

а)

|/Фб =

4;

b) К 2 5 =

— 5;

с) - ^

6 4 =

- 8 ;

d)

- |

^

3

6 =

- 0 , 6 ;

е)

— К 0,04 = 0 ,2 ?

_

а)

х =

3;

Ь ) х = — 3;

с)

х =

0;

d ) x = l ;

е ) х — ~

1;,

f)

х <

0;

g)

X

0;

h) -і- >

0?

0,

1,

Ѵ '4,

- У

Т ,

У 9 ,

- У

9 ,

\Г\Ъ,

- J / 2 5 .

9. Пусть

г и S . — действительные

числа, отличные

от

нуля,

и такие,

что r > s .

Укажите, какие из следующих неравенств верны

всегда,

т. е. для

всех г

и s,

верны

иногда,

т. е.

только

для

некоторых

г

и

s, или

не

верны

никогда:

a)

s >

г,

b)

г — s >

0,

с)

Y >

1,

d)

s2 <

г2.

а) — >

— ,

Ь) г3 > s3,

г

s ’

с) — г < — s,

d) г — 2 < s — 2.

§ 3. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Абсолютная

величина числа

х обозначается символом | х |.

Смысл этого символа легко понять

из примеров:

и т. д. Здесь

мы руководствуемся следующими правилами:

1°. Если

х ^ 0 ,

то I X I = X.

2°. Если

X<

0,

то I je ] —соответствующее положительное число.

Если задано

конкретное число, то легко

увидеть, чему равна

его абсолютная величина. Если перед ним

нет знака минус, то

переход от

числа

к его абсолютной величине ничего не меняет.

х = —2,

—* = —( —2) = 2,

X — —3,

—х = — ( —3) = 3 и т. д.

Мы можем теперь дать второе определение j х |:

1°.

Если

х ^ О ,

то

I лг 1= лс.

2°.

Если

х < 0 ,

то

j j c | = —X.

Это второе определение труднее для

понимания, чем

первое,

но с ним в дальнейшем будет легче работать. Проверьте

его на

нескольких числах, пока не убедитесь,

что оно и в самом деле

дает именно то, что требовалось.

а) 5 I ;

b) I — 6 ! ;

c)

d)

2

|+

( — 2) ;

e)i 2 | + j

— 2 j ;

f)

| 8 - 5 |

g)

5 — 8 I ;

h) j 5 I — I 8 I ;

i ) | - 8 - 5 | ?

2. Какие из следующих утверждений верны:

а)

I — 3 I = ! 3 I;

b) I 3 = — 3;

-

с) I 7 — 9 I = | 9 — 7 I ;

d) |0 - 4 |= | 4 - 0 |;

е)

\ k \ - k

для

каждого

действительного числа

k l

3. Какие из следующих равенств верны для всех

значений

переменных:

а)

— п I =

— п ;

b)

I п2 |=

п2 ;

с) х — 3 I = I 3 — х |;

d) I а — Ь\ — \Ь — а \\

е)

d + l | =

|d| +

l ?

4. Дополните следующие утверждения:

a)

Если

k >

0,

то

[ k j =

___

b)

Если

k <

0,

то

I k j =

___

c)

Если

k =

0,

то

\k\ = ___

5. Ha

следующих

четырех рисунках

графически изображены на числовой пря­

мой четыре

алгебраических

соотношения,

записанных

слева

от рисунка.

X <2

- з

- 2

- 1

0

1

— ♦ — — I---------

2

3

\х\=2

- 3

—2

-1

0

1

2

3

\ х \<2

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

|х |> 2

*

■ ■

— О - — I— — !— — Ь -— О - .... и

- 3

-

2 -

1

0

1

2

3

Аналогично этому изобразите графически следующие соотношения:

а)

х =

1

b)

X — отрицательное

число;

с) X>

d)

х ^ г О ;

е) , х ;= 1;

I) И *

§)

I X і 3> 1,

h)

, X I ^ 0.

6 .

а)

Чем

графическое

изображение соотношения х < 0

отличается

от

графи­

ческого

изображения соотношения х sg О?

B )

Чем

графическое изображение соотношения |х |=

1 отличается от графи­

ческого

изображения соотношения | x | sg ;l?

c)

Чем

графическое

изображение

соотношения— l s g j t s g l

отличается от

графического изображения

соотношения j лс |с

1 ?

7 * .

Если

мы

рассмотрим алгебраические соотношения

с

двумя

переменными

х и

у,

где х и

у принимают

действительные

значения,

то

их

мы

сможем

изобразить на (координатной) (х, у)-плоскости. Вам придется

только

вспом­

нить, что графическое изображение соотношения

между х

и у — это мно­

жество всех упорядоченных пар (х , у) (т. е. всех точек плоскости с коорди­

натами

X и у

I),

удовлетворяющих

нашему

алгебраическому

соотношению.

Т ак,

соотношение

х — у = 1

изображено слева, а

условие

х — у ^ І

справа

на следующем

рисунке.

a)

Графически

изобразитесоотношение

у = \ х \ .

B )

Графически

изобразитесоотношение

у >

\х\.

8 * . Пользуясь задачей 7, как введением к

этой задаче,

a)

Графически

изобразитесоотношение

|х

I - j - 1у |=

1;

B )

Графически

изобразитесоотношение |х

|+

1у \<

1.

Р

Q

1

I

: )

I

I

I

I- -

-f - - -

- -1- - - - - -

-1- - - --

- -- 1-- --

- --1- - -- - - - - - - - - - -

- - - - -

1

2

3

4

5

6

7

8

Э

10

11 12

р

Q

I

— Т

1— — I—

''

f

-Г

1

5

6

7

Т

1

12

1

2

3

4

8

9

10

11

-

1-

- п -

1---

-- Г - - -- 1- -

- і--

!- --

1- - -

- - 1-

- - 1- -

- - -

1- -

- -

- -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f

£

Z

i

------------

1--------------

*-------------

'---------------

1---------------

d

0

этих единицах. Оно равно 70 лш; 7 см\

0,07 лг, 2

3

11

дюйма; ^ фута;

1.

Расстояние

от

точки

Н до точки

К ,

измеренное

в сантиметрах равно 12.

Чему будет равно число, измеряющее это расстояние, если за единицу длины

принять миллиметр?

2.

Расстояние

от

К

до

М , измеренное в миллиметрах, равно 9. Чему равно

число, измеряющее

в

сантиметрах

расстояние от К

до М ?

Р

0

R

Т

Единица измерения

PQ

PR

РТ

QT г

Дюйм

2

1

Ф ут

4

1

1

Ярд

18

9

Сантиметр

5,08

Миллиметр

50,8

Метр

0,0762

Ладонь

0,364

Пядь

0,54