книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Даны Д АВС и /\D E F , причем

т /_ А — т /, L) — 90,

AB = DE,

ВС — ЕЕ.

/ \ A B C 9 È ADEF.

В

Е

Задачи к

§ 4

1.

Перечислите все известные вам методы до­

Т

казательства

конгруэнтности

треугольни­

ков.

2.

Д а н о .

P T

± R T , W 1 QV,

R T = QV,

PQ — S R .

3.

Отрезок A B

на

этом

рисунке делится пополам отрезком CD и

Z С ^ / D.

Докажите, что отрезок CD делится пополам отрезком

A B .

4. Д а н о . Z К = Z J и MR = М? .

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

M K — N J .

5.

Из середины

одной

стороны

треугольника проведены

отрезки,

перпендику­

лярные двум

другим сторонам. Докажите, что если эти отрезки конгруэнтны,

то треугольник — равнобедренный.

и В С _L A B

и

Z ADE ^

Z В С Е .

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

/. ED C ^

^

Z £C D .

7.

Точки

К

ш M

делят отрезок

GH

на

три

равные

части,

причем

G — К — М. Точки

/ и J лежат по одну

сторону от прямой

GH на

перпен­

дикулярах

к

этой

прямой,

восставленных соответственно

в

точках

G и Н.

Далее,

J M — I K .

Отрезки

J M

и

І К

пересекаются в точке

Р . Докажите,

что Д

Р И М — равнобедренный

треугольник.

8 * . На этом

рисунке

Z D

и Z С — прямые углы

и А

A P R — Д

BQT. Д ока­

жите, что

Д

ADF ^

Д

ВСЕ .

9* + . Точки А,

В и Q лежат в плоскости Е ,

AQ _L P R ,

BQ J_ P R

и Z Р А В ^

^ Z Р В А .

Докажите, что Д P A R

Д

P B R .

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если в произвольном Д АВС

выпол­

няется неравенство А В > АС, то и /_С~> А. В.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

D —такая точка

луча АС, что

AD = AB. Тогда Z AB D ^É Z А

потому что углы при основании

равнобедренной) треугольника

конгруэнтны. Так как AD — А В >

> А С ,

то точка

С должна

лежать между А и D. Поэтому по

аксиоме сложения

углов

т Z ABD —m Z АВС-\-т Z CBD.

Следовательно,

т Z АВ С < т ^ ABD.

(Почему?) Теперь

мы

перестанем

пользоваться

мерами

углов

и перепишем последнее неравенство

просто в виде

Z А В С < Z ABD.

Так как Z ABD ^z Z А

то отсюда следует, что

L А В С < Z А

Но из теоремы о внешнем угле мы знаем,

что

Следовательно,

Z D < Z АСВ.

Z АВС С Z АСВ.

Итак,

в /\А В С

мы имеем Z В <

Z С,

что и требовалось дока­

зать.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Если в произвольном ДЛДС

выполняется неравенство

Д О

Д В,

то и А В > АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

чисел

AB и АС имеются три воз­

можности:

А В < А С ,

(1)

AB = АС,

(2)

AB >

АС.

(3)

«Допустим, что

теорема неверна. Тогда

либо АВ = АС,

либо

А В < А С . Равенство AB —АС невозможно потому,

что —

Нера­

венство AB <сАС

невозможно потому, что

—

Поэтому

наше

ции «возможности», а затем показать,

что только одна из них дей­

ствительно возможна.

Задачи к § 5

1.

В Д А В С

имеем Л В =

12,

В С = 7, АС — 9. Назовите

наибольший угол;

наименьший

угол.

2.

В Д PQR имеем m д Р =

72,

т L Q — ЪІ

и т L 7? = 71.

Назовите наиболь­

шую сторону; наименьшую сторону.

3.

На левом рисунке L

A BD >

L D B C . Докажите, что AD > BD.

4.

Перечислите стороны правого треугольника в порядке возрастания их длин.

5.

Какой отрезок

на

левом

рисунке имеет

наибольшую длину, если углы

имеют указанные

меры? Тот

же вопрос для

правого рисунка.

7. Отрезки

A B и CD (левый

рисунок)

пересекаются в точке Е , L С > L А

и /. D >

/. В. Докажите»

что A B >

CD.

К

8 *.

В равнобедренном

Д

KG H

(пра­

С

вый

рисунок) имеем

K G — K H ,

Р — любая точка

прямой

GH, не

принадлежащая

отрезку

GH.

До­

кажите,

что Р К

всегда

больше,

чем

KG

и К Н .

9 * .

Какой

отрезок

на

этом

рисунке

имеет

наименьшую

длину,

если

углы

имеют указанные

меры?

Теорема 5.4'

Дан I \ А В С . Если

Д С ^ Д В , то AB —АС.

После того как мы доказали какую-нибудь теорему, имеющую

простую форму «если

..., то», обычно

имеет смысл исследовать

обратную ей теорему.

В каждом случае

нужно проводить отдель­

теорема утверждала

бы,

что если два

угла

конгруэнтны,

то они

вертикальны,

а это

не только

не

верно,

но

совершенно

нелепо.

Аналогично,

если

х = у,

то

х і = уі.

Обратная

теорема

утвер­

ждала бы,

что если

=

то

х = у.

Таким

образом,

и здесь

обратная

теорема

не

верна:

она

исключает возможность, что

х = — у.

верными и сама теорема

и теорема, обратная

Если окажутся

из обратных

утверждений.

a)

Если

вам

больше 20 лет, то вы

имеете право

голоса.

B )

Если

вы

находитесь в Африке, то вы видите львов

и слонов.

c)

Каждый,

у кого скарлатина, серьезно болен.

2. Сделайте

то

же, что в задаче 1.

a)

Если

два

угла конгруэнтны, то

они — прямые.

B )

Если

два

угла образуют линейную пару, то

они

пополнительны.

c)

Любая точка медиатрисы некоторого отрезка

равноудалена от концов

этого отрезка.

d)

Если

два

угла дополнительны,

то каждый из

них — острый.

Каждый равноугольный треугольник

равносторонен.

6. Разбейте следующую теорему на две

теоремы в

форме « е с л и ..., то»:

Треугольник является

равносторонним

в том

и

только

в

том

случае,

если

биссектриса

каждого угла этого

треугольника служит

медиатрисой

противоположной

стороны.

Какая

из этих двух

теорем соответствует части

«только

в

том

случае,

если»

сформулированной нами теоремы?

прямой.

ф о р м у л и р о в к а . Даны прямая I и не принадле­

Д р у г а я

жащая ей точка Р. Если

PQ _і_ I в точке Q и если R — другая

точка прямой I, то PQ < PR.

Д о к а за те л ь ст во. По предположению т /_ Q= 90.

Послед­

ствию 7.2.1 Д

— острый угол. Таким

образом, т Д R < m /_ Q.

По теореме 7.5 P R >P Q .

Расстоянием между точкой Р и прямой I естественно

считать

м и н и м а л ь н о е расстояние между Р

и точками прямой I.

Из предыдущей теоремы мы знаем,

что такое минимальное рас­

стояние существует, и знаем, где

оно достигается.

Поэтому

наше определение можно сформулировать так:

Определение

Р а с с т о я н и е

м ежду

п р я м о й

и не п р и н а д л е ж а щ е й

ей т о ч к о й

есть

длина

перпендикуляра,

опущенного из этой

точки на эту

прямую. (Расстояние между

прямой и принадле­

Д р у г а я

ф о р м у л и р о в к а . В любом /\А В С

выполняется

неравенство:

AB + В С > АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D, как указано на рисунке,— такая

точка

луча,

противоположного лучу ВС,

что BD — BA. Тогда

DC = DB -f ВС,

так как

точка В лежит между D и С. Следовательно,

DC = AB + ВС.

(1)

т Z. DAC = т Д DAB-\-m /_ ВАС,

так

как

В лежит внутри /. DAC. Следовательно,

Но

т /_D A C > m Д DAB.

т Z. D = m /_ DAB,

так

как

BD = ВА . Поэтому

т / _ D A C > m /_D.

(2)

Применяя к ДЛ£>С теорему 7.6, получаем

DC > АС.

(3)

Сопоставляя

(1) и

(3),. находим,

AB + В С > АС,

что и требовалось

доказать.

Задачи к

§ 7

1.

Мы

можем

утверждать, что на рисунке слева

CD < ... и CD < ... и что

B E <

... и

B E < . . . . Сформулируйте теорему,

из которой

это следует.

A

D

В

Р

Q

2.

Учитывая угловые меры,

указанные

на рисунке, расставьте P S , P R и PQ

в правильном

порядке в

следующей

цепочке неравенств: ... <

Приведите теоремы, подкрепляющие ваше заключение.

3.

Докажите, что сумма длин диагоналей

четырехугольника

меньше периметра

этого четырехугольника.

^

жащие по

одну сторону

от I.

Найдите

^ _______

*

такую точку R прямой I, для которой

^

сумма

PR-\-RQ

является

наименьшей.

л р

( У к а з а н и е .

Это легко

сделать,

если

вы

решили задачу

6 к § 4 гл. 6.)

8. Даны

два

отрезка,

АС и BD, пересекаю-

^

щиеся

в

точке Р .

Докажите,

что

если

X — любая,

отличная

от

Р

точка

плос-

» X

— "

кости,

в

которой

лежат

отрезки

АС

и

BD ,

то

Х А -f-Х

В

Х С

-{-X D

PA -f*

р,-*******^

•

-f- PB -\ -PC -\ -PD .

Останется

ли

этот

X?

В

результат

в

силе,

если точка X

не

при­

надлежит

плоскости

отрезков АС

и B D ?

9 *+ .

Пусть

А,

В

и

С — точки,

не

обязательно

различные.

Докажите, что

A B +

В С ^

АС.

(Нужно рассмотреть

несколько случаев.)