книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Д о к а з а т е л ь с т в о

a) Внутри какого угла лежит точка Р?

этом CD J_ AB. Дополните доказательство того, что

b + g + d — a

4 2

^ X ÜBE.

38.На левом рисунке X 2 и X 3 —пополнительные углы. Докажите, что / . 1 ^ x 4 .

тX ABD = m X ABE.

41.Джим и Джордж должны были записать в форме «Если ... , то ...», следу­ ющее утверждение:

«Две пересекающиеся прямые пересекаются только в одной точке». Джордж написал: «Если Р —точка, то прямые Іг и /2 пересекаются только в Р». Джим написал: «Прямые /і и /2 пересекаются только в одной точке, если они пересекаются и различны». Прав ли какой-нибудь из мальчиков?

(Вспомните, что достаточно только одного исключения, чтобы все утвержде­ ние оказалось ошибочным.)

ИЗ

определяет взаимно-однозначное соответствие, но не конгруэнтность, потому что первый и второй треугольники при сопоставлении их вершин по этой схеме не совпадут. Это соответствие приведет ко

многим несуразностям: отрезок AB слишком короток, чтобы нало­

составляющее содержание первого из разобранных нами приме­ ров, можно записать в одну строку так:

A B C ^E F D .

При этом следует условиться, что первая буква слева соответствует первой букве справа, вторая буква —второй и третья —третьей:

Приведем еще один пример. Две фигуры на следующем рисунке имеют один и тот же размер и одну и ту же форму.

118

Это соответствие является конгруэнтностью, т. е. если вершины совместить указанным способом, то фигуры полностью совпадут. Для краткости это соответствие можно записать в одну строку:

ABCD ** FEHG.

Заметим, что п о р я д о к , в котором записаны сопоставляемые пары, значения не имеет. Наш перечень сопоставляемых пар мож­ но было бы записать и так:

D <-> G,

В *-* Е,

С++Н,

А**F,

инаше взаимно-однозначное соответствие можно было бы записать

водну строку так:

DBCA «•* GEHF.

Единственное, что существенно,—это то, какие точки соответствуют друг другу.

А

способом. На этом рисунке соответствие

АВС +* FDE

является конгруэнтностью, а соответствие

АВС ** FED

второй конгруэнтностью между теми же двумя треугольниками. Очевидно, что Д АВС совпадает с самим собой; для того чтобы наложить Д АВС на Д Л 5С , его не надо двигать. Если мы усло­ вимся каждой вершине Д АВС ставить в соответствие т у ж е вер­

шину, то получим конгруэнтность

АВС*-* АВС.

Она называется тождественной конгруэнтностью. Но сопоставить вершины этого треугольника можно и по-другому. При соответствии вершины В и С меняются местами, а треугольник совпадает с самим собой. Ясно, что такая конгруэнтность возможна далеко не

119

Задачи к § 1

В некоторых из нижеследующих задач вам надо решить, конгруэнтны ли две данные фигуры, внимательно изучив рисунок, на котором они изображены. При

120

3.Взгляните на фигуры, изображенные ниже. Выпишите столько конгруэнтностей между ними, сколько вам удастся отыскать. Здесь нужно найти ш е с т ь конгруэнтностей (не считая тождественной конгруэнтности, сопоставляющей каждую из фигур саму с собой, но учитывая нетождественную конгруэнтность

между произвольным треугольником и им самим, существующую в том слу­ чае, когда у этого треугольника есть две конгруэнтные стороны). Вот одна из конгруэнтностей: АСВ+-* LMN .

У

4. Сделайте то же, что и в задаче 3, для следующих фигур:

c)Конгруэнтны ли стороны квадрата?

d)Конгруэнтны ли стороны прямоугольника?

e)Конгруэнтны ли две противоположные грани куба? {) Конгруэнтны ли две смежные грани куба?

g)Конгруэнтны ли две противоположные грани прямоугольного бруса, имею­ щего форму кирпича?

h)Конгруэнтны ли две смежные грани кирпича?

121

6. Треугольники каждой из следующих пар треугольников конгруэнтны. Вы­

пишите конгруэнтности для каждой из этих пар. (Вот первая конгруэнт­ ность: A E D — В Е С . )

сопоставляющие этой звезде ее саму, начиная с (тождественной) конгруэнт­ ности A B C D E ~ A B C D E .

А

122