Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 6224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ		ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ			ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
В этой главе	нас	будут интересовать		фигуры,	не	лежащие
в одной плоскости, поэтому прежде,			чем вы	приступите		к чтению
этой главы, вам	стоит	просмотреть	гл. 3, в которой введены ос

новные понятия пространственной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости определяется следую щим образом:

Определение

Прямая и плоскость называются п е р п е н д и к у л я р н ы м и , если они пересекаются и если каждая прямая, лежащая в данной плоскости и проходящая через точку их пересечения, перпендику лярна данной прямой. Если прямая I и плоскость Е перпендику лярны, то мы пишем I J_ Е или Е _LI.

						I
На этом рисунке				показаны три прямые, лежащие в Е и про
ходящие через	точку			Р.	В соответствии с нашим определением
все они должны быть перпендикулярны							прямой I в точке Р,
хотя может показаться,					что	это и не так. (На чертеже, выпол
ненном с учетом законов					перспективы, перпендикулярные прямые
не всегда выглядят			перпендикулярными.)				Заметим, что	если бы
мы потребовали		только,			чтобы одна прямая плоскости			Е была
перпендикулярна		прямой			/,	то это ничего бы не дало: вы легко
можете убедиться, что каждая плоскость, проходящая								через Р,
содержит такую		прямую.			С другой стороны, если бы оказалось,
что плоскость	Е	содержит две прямые,					перпендикулярные пря
мой I в точке	Р,		то I ±_Е			в точке Р. Эта идея будет раскрыта

в следующих параграфах.

Задачи к § 1

1.На рисунке изображена плоскость Е.

а) Любая ли точка, не принадлежащая изображенной фигуре, лежит в £ ?

235

Ъ) Подразумевает ли наш	рисунок, что плоскость Е включает каждую
точку вне нарисованной	фигуры?

2. а) Изобразите плоскость, перпендикулярную вертикальной прямой.

B ) Изобразите плоскость, перпендикулярную горизонтальной прямой.

c)В каждой из плоскостей п. а) и Ь) нарисуйте по три прямые, проходя щие через точку пересечения с исходной прямой. В каждом случае ска жите, в каком отношении находится каждая из этих трех прямых с ис ходной прямой.

3.Перечитайте определение перпендикулярности прямой и плоскости и на осно вании этого определения решите, верно или нет следующее утверждение:

Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости, то она перпенди кулярна каж дой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

4. Можете ли вы заключить, что плоскость Е перпендикулярна прямой Р К ,

если А К Р М — прямой и прямая РМ принадлежит £ ?

5. Дано, что точки	G, Н, S	и Р лежат в плоскости Е	и A B _\|_ Е в точке Р.
Какие из следующих углов должны быть прямыми:
А A P S ,	А H P S ,	А GPH , А G P B , А Н Р Б ,	А НРА7

6.Точки Н, К и R на этом рисунке принад лежат плоскости Е, а точка F ей не при надлежит.

а) Назовите плоскости, определяемые точ ками этого рисунка.

Ь) Какие углы на этом рисунке должны быть прямыми, если луч H R перпендикулярен плоскости H K F ?

7.Точки А, В, С, D и G принадлежат верти

кальной плоскости Е и AP J_ Е. Назовите все углы, которые должны быть прямыми.

236

8. Точки А, В и С на рисунке слева принадлежат плоскости Е, РА _|_ Е и P C — P B . Докажите, что АС = АВ.

9.	Точки		А,	G	и С	на	рисунке справа				лежат в вертикальной плоскости Е ,
	а точка		Р — «перед»			нею. Докажите,				что если Р А _!_£ и АО — АС, то P G —
	=	РС.
10.	Точки		А,	В и X лежат в				плоскости			Е,
	а точки		Р	и Q — по		одну		сторону		от Е.
	Докажите,			что если		P B = QB и PA — QA,
	то	P X = Q X .			Сохранит		ли	ваше	доказа
	тельство силу,				если	Р	и Q будут		лежать
	по	разные		стороны		от	£ ?	если	Р	и	Q
	будут принадлежать £ ?

§2. ЛЕММА

Вконце предыдущего параграфа мы упомянули о том, что если плоскость Е содержит две прямые, перпендикулярные пря

мой I в точке Р, то £ _L / в точке Р. Доказательство этой тео ремы является довольно длинным. Чтобы оно выглядело немножко более легким, мы докажем сначала одну подготовительную тео рему, которая поможет нам в главном доказательстве. Такие «вспомогательные теоремы» называются леммами. Этот термин

происходит от греческого слова,				означающего ветвь. Таким обра-
сом, лемма —это		ветвь длинного до			р
казательства.
		доказать нетрудно.
Нашу	лемму
Теорема 8.1
Если точки В		и	С равноудалены S
от точек Р и Q, то и каждая точка,
лежащая между В		и С, равноудалена
от точек Р и Q.				тео
Другую формулировку этой
ремы передает рисунок. Заметим,				что
точки Р,	В, X и	С дол'жны лежать
в одной	плоскости,		потому что точка X принадлежит пря

мой ВС, и существует плоскость, содержащая прямую ВС и

237


точку Р. Но легко может случиться,					что Д ВPC и Д BQC будут
лежать	в различных	плоскостях, и			именно этот	случай понадо
бится	нам в доказательстве основной теоремы.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			1°.	Как указано на рисунке, нам дано, что
BP = BQ и СР = CQ.			На	основании ССС отсюда следует, что
A B P C g ^ A B Q C .			/_ РВС ^ AQBC.
2°. Следовательно,						РВХ QÉ Д QBX.
3°. На основании СУС отсюда следует, что Д
4°. Из 3° вытекает,			что	PX = QX, т. е. что точка X равноуда
лена от Р и Q, а это		нам и требовалось доказать.				182).
Нам будет нужно		также следствие 6.2.1 (стр.

Следствие 6.2.1

Даны отрезок AB и прямая I, лежащие в одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена от А и В, то I является медиатрисой отрез

ка AB.		нам потребуется
Это следствие
лишь	в одном частном случае,		ко
торый	передается	следующим	А
			ри

сунком:

§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Теорема 8.2

Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух пере секающихся прямых в точке их пересечения, то она перпендику лярна плоскости, содержащей эти прямые.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .		Пусть Іх и 12 — две прямые в плос
кости Е, пересекающиеся	в точке	А, а I — прямая, перпендику
лярная и Іх и /2 в точке А. Тогда прямая I перпендикулярна каждой
прямой 13, проходящей через А и		принадлежащей Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	1°. Пусть Р и Q—две точки прямой /,
равноудаленные от А.	Тогда Іх и /2 являются медиатрисами
отрезка PQ (разумеется,	лежащими в двух различных плоскостях).

238

2°. Каждая из прямых іі и /2 содержит точки, лежащие в плоскости'/? по разные стороны от прямой /3. Пусть В и С—точки

прямых /х и /2, лежащие					в Е по противоположные стороны от /3.
Тогда прямая /3 содержит точку X, заключенную между В и С.
3°. В силу		1° и теоремы 6.2 каждая из точек В и С равно
удалена от точек Р и Q.
4°. По теореме 8.1 точка X равноудалена от Р и Q.
5°. Таким образом,				прямая /3 содержит середину отрезка PQ
и другую точку X, равноудаленную от Р и Q.
По следствию 6.2.1				l3 _Ll,		что и требовалось доказать.
Задачи	к § 3
1. Даны	точки А,	G,	Н,	К ,	J и	М в плос
кости	Е. Точки	А,	G	и J	неколлинеарны

и A P X AG и А Р _1_ A J . Докажите, что

прямая А Р перпендикулярна прямым А К

и ' Ш .

2.В каком отношении находятся прямая /,

линия	пересечения	двух стен	в вашем
классе,	и плоскость	F пола?	Объясните.

Перпендикулярна ли прямая I каждой пря мой, лежащей в F ? Сколько прямых в плос кости F перпендикулярны прямой /?

3.	На этом	рисунке	A B X ВС,		D B J_ В С		и
	A B — BD . Докажите,			что Д A B C ^		£\D BC .
	Будет ли AB _\| Е ?			Почему	да или	почему
	нет?
4.	Квадрат	ABCD	находится		в плоскости		Е .
	Р — не	лежащая в плоскости Е точка,					для
	которой	PA X AB.

a)Назовите все плоскости, определяемые парами отрезков.

B ) По крайней мереодин из отрезков пер пендикулярен одной из плоскостей, о ко торых шла речь в а). Какой отрезок? Какой плоскости? Помогает ли вам отве чать на поставленный вопрос теорема 8.2?

5. Какой отрезок в задаче 3 перпендикулярен какой плоскости?

6. Дано, что точка К является сёрединой от резка DG и что, кроме того, AD = A G и

K P X Ä K , причем точка Р не лежит в плос кости ADG. Если здесь есть отрезок, перпен дикулярный некоторой плоскости, то назо вите этот отрезок и эту плоскость.

239

7. На этом рисунке	PQ J . M P ,	PQ	TQ	Т
и M P _L М Т , Перпендикулярен ли какой-
нибудь отрезок на	этом рисунке какой-
либо плоскости? Назовите все такие пары
«отрезок — плоскость», если		они	суще
ствуют.


8.	A B	и CD — конгруэнтные отрезки,						делящие друг		друга пополам в точке М.
	Прямая /		перпендикулярна			каждому			из этих отрезков в точке М . Р — любая
	точка прямой			I.	Сделайте	рисунок			и докажите,	что точка Р	равноудалена
	от точек А, В,			С	и D.
9 *,	На	этом	рисунке		изображен		куб,		при	В	G
	чем	В К — В М .		Докажите,		что	точка Н
	равноудалена			от	точек К	и М . (В			до
	казательстве			вы	можете	пользоваться
	следующими			свойствами куба:				а)	Все
	двенадцать		ребер куба			конгруэнтны.
	Ь) Любые два			его	пересекающиеся			ребра
	перпендикулярны.)


10*. Если точки А,			В,	С и D некомпланар			С
ны,	AD = DC,	В С — В А			и	L D B A —

прямой угол,		то	по	крайней		мере один
из изображенных на рисунке отрезков
перпендикулярен			одной		из	плоскостей.
Какой отрезок и какой плоскости? Дока
жите,	что ваш	ответ		правилен.1

11 *. Плоскости Е и F на этом рисунке пере-

секаются	по	прямой	A B .	Прямая	RQ
лежит в плоскости F ,			а прямая W X — в
плоскости	Е .	Кроме	того,	RQ j_ A B	и
W X _L F.	Докажите,		что RQ J Е .

240

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Доказательством теоремы 8.2 закончилась трудная часть этой главы. Все остальное, что нам нужно узнать, получается совсем просто.

Теорема 8.3

Через каждую точку данной прямой проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть I — данная прямая, Р — произволь ная точка на ней.

1°. Возьмем две любые различные плоскости М и N, содер жащие I.

(Вопрос. Откуда мы знаем, что существуют две различные пло скости, содержащие /? Вспомните аксиому 5 и теорему 3.3)

2°. В плоскости М существует прямая /ь перпендикулярная прямой I в точке Р (теорема 6.1).

3°. В плоскости N существует прямая 12, перпендикулярная прямой I в точке Р (теорема 6.1).

4°. Существует плоскость Е, содержащая прямые Іх и /2 (тео рема 3.4).

5°. Е _]_ / в точке Р (в силу 2°, 3° и теоремы 8.2).

Теорема 8.4

Если прямая и плоскость перпендикулярны,, то эта плоскость содержит каждую прямую, перпендикулярную данной прямой

вточке ее пересечения с плоскостью.

Др у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если прямая I перпендикулярна плоскости Е в точке Р и если прямая Іх перпендикулярна прямой I

вточке Р, то Іх лежит в плоскости Е.

241

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж дения Аргументы

1.	1 и 1г лежат в			некоторой		плоско-	?
	сти F.						?
2.	Пересечение			плоскостей		F u E	?
	есть некоторая			прямая	12.
3.	/2 _1 /	в	точке	Р.			Определение	перпендикулярности
							прямой и плоскости.
4.	lt 1 1	в	точке	Р .			Дано.
5.	1\ и /2 — одна			и та же	прямая.		По теореме 6.1 в плоскости F суще-
							ствует только одна прямая, пер-
6.	І-і лежит в плоскости				Е.		пендикулярная 1 в точке Р.
6.	І-і лежит в плоскости				Е.		В силу шага 2	прямая /2 лежит в Е,
							а в силу шага 5 /і = /а.

Теорема 8.4 позволяет установить, что перпендикулярная плоскость, о которой говорится в теореме 8.3, е д и н с т в е н н а .

Теорема 8.5

Через данную точку данной прямой проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если бы нашлись две различные перпенди

кулярные плоскости, то их		пересечение		представляло	бы		собой
единственную прямую.	Но	это	невозможно, потому		что	каждая
из них содержит все	прямые,		перпендикулярные данной			прямой
в данной точке.
Напомним, что медиатриса отрезка в				данной плоскости			была

охарактеризована как множество всех точек этой плоскости, равно удаленных от концов отрезка. Для медиатрисы-плоскости в про странстве мы имеем характеризационную теорему точно такого же рода.

242

Определение

М е д и а т р и с о й-п л о с к о с т ь ю данного отрезка в пространстве называется плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его сёредину. (Из теоремы 8.5 вытекает единственность меди- атрисы-плоскости данного отрезка.)

Теорема 8.6 (теорема о медиатрисе-плоскости)

Медиатриса-плоскость любого отрезка есть множество всех точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Д р у г а я	ф о р м у л и р о в к а . Пусть Е —медиатриса-плоскость
отрезка AB.	Тогда:
1°. Если	точка Р принадлежит Е, то РА —РВ.
2°. Если	Р А —РВ, то точка Р принадлежит Е.

На рисунке точка С является серединой отрезка AB. Заметим, что формулировка нашей теоремы, как и формулировка любой другой характеризационной теоремы, распадается на две части.

Чтобы доказать 1°, нужно знать определение перпендикуляр ности прямой и плоскости и условие, характеризующее медиатрису отрезка в плоскости. Для доказательства 2° нужна также теорема 8.5. Детали этих двух доказательств представляются вам.

Задачи к § 4

1.а) Сколько прямых перпендикулярны данной прямой в данной ее точке? Ь) Сколько плоскостей перпендикулярны данной прямой в данной ее точке?

—►	Р: I
2. Дано, что луч А Р перпендикулярен каж
дому из лучей A K ,	AM, /4S, AR и

АТ. Сколько плоскостей определяется этими лучами? Есть ли на этом рисунке больше ■ fpex компланарных точек? Если да, то почему? (Предполагается, что ни какие три из заданных точек не коллинеарны.)

243

Плоскости

пересекаются

по пря-

мой

<■ >

Имеем:

<■

где

точка о

KQ.

A B X £ ,

принадлежит прямой

Точка R при

KQ.

надлежит

плоскости Е ,

а точка

С — плос

кости

F .

Будет ли A B _|_ B R ? Почему?

Будет ли

A B _L KQ }

Почему?

Будет ли

A B X

В С }

Почему?

На

этом

рисунке

GH ± Е,

MG = MH

и PQ 1 GH в точке М. Содержит ли плос

кость

отрезок

PQ}

Почему?

Какой

термин описывает отношение между плос

костью Е и отрезком GH ?

5. Д ва отрезка

A B и CD перпендикулярны и делят друг друга пополам в точке

К . Плоскость Z содержит отрезок

A B, но не содержит отрезок CD .

Явля

ется

ли Z

медиатрисой-плоскостью

отрезка C D ? Сделайте рисунок,

иллюст

рирующий ваше заключение.

6. Как показано на рисунке, плоскость Е является медиатрисой-плоскостью отрез ка PQ.

a)	PR = —
	TQ = ....
	P S = . . . .
	L	P T M ^ . . . .
	д	Р Т М		___
B )	Будет		ли	MR = M S = М Т }			Объясните.87
7. Не все точки этого рисунка							компланар
ны.		Докажите,			что	если	AW = B W ,
' А Х =		В Х ,	A Y =		B Y и	AZ =	BZ, то точ
ки	W, X ,		Y	и Z компланарны.

8. Докажите теорему 8.6.

9 * . Сформулируйте теоремы 8.3 и 8.5 в виде одной теоремы, используя выражение «ровно одна».

.244

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 6224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ