Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Рассмотрим

любые

три

треугольника. Обозначим вершины каждого из них

буквами

А,

С.

Кажется

ли вам

верным

неравенство

A ß - j - B C >

АС?

Что больше: BC -j~A C

или AB? Как

обстоит

дело с В С

АС А -A B?

К а

кое общее

утверждение подсказывается

вашим

ответом?

3. Рассмотрите

несколько

разносторонних

треугольников

различной формы.

Для

каждого

из

них

отметьте наибольшую

сторону и наибольший угол.

К акая

гипотеза

здесь

напрашивается? Доказывают

ли

ваши

примеры,

что

она

верна?

Нарисуйте

&RST и Д

А ВС ,

у которых

RS =

A B ,

ST —В С

и т L RST >

> т / _ А ВС . Сравните RT и АС.

Какую

гипотезу

относительно

т Z

C BD

и т /_ В А С вызывают у вас изо

браженные здесь

треугольники?

Как

вы

думаете,

останется ли ваша гипо

теза в

силе,

если

вершина

С на третьем рисунке

будет удалена очень да

леко влево от вершин А и В? Не приходит ли вам в голову, как доказать,

что эта гипотеза справедлива?

Нарисуйте любой

/\ М О Р .

Пусть

К — точка

между М и серединой отрез

ка ТАР. Проведите отрезок

КО .

Для

Д МОР

Д К О Р имеем: РО = РО,

/_ Р

£ р

и M P > K P .

Человек,

склонный

поспешным

выводам, мо

жет решить,

что МО >

КО.

Покажите,

что это

неравенство

выполняется

не всегда.

Даны

прямая / и не принадлежащая ей точка

Р .

Пусть Q — основание пер

пендикуляра,

опущенного из Р

на

а А — какая-нибудь другая точка пря

мой I. Какая

гипотеза

относительно

и РА

кажется вам справедливой?

8+. Позволяет ли описанный ниже прием произвести трисекцию любого угла? Чтобы помочь себе ответить на этот вопрос, сделайте несколько рисунков.

На сторонах произвольного L А возьмем точки В и С так, что AB — АС.

Проведем отрезок В С и разделим его на три конгруэнтные части точками D

и Е , так что BD = D E = EC. Проведем отрезки AD и АЕ. Тогда лучи AD

и АЕ делят L А на три конгруэнтные части.

204

9+. QC и QB — неколлинеарные отрезки, при надлежащие плоскости Е, а Р — не при надлежащая этой плоскости точка, такая, что L PQB и Z. PQC — прямые. Напишите верное, по вашему мнению, предложение, касающееся Р В и PC.

10*+. П усть	Л — точка в Плоскости Е, и
A B — не	принадлежащий этой плоскости

луч, а АС — луч, принадлежащий Е . Р ас

смотрев различные положения луча АС, как можно точнее опишите те его поло жения, при которых т А В А С будет наи большей и наименьшей. Мы не ждем дока зательства, а просим вас на основании

ваших знаний о пространстве постараться догадаться, каким должен быть

ответ.	'
§ 2. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ЧИСЛАМИ,
ОТРЕЗКАМИ И	УГЛАМИ
Неравенства,	связывающие отрезки или	углы, определяются
с помощью чисел, измеряющих эти отрезки		и углы.

Определение

AB<cCD, если AB <cCD.

Другими словами, один отрезок меньше (или короче) другого, если он имеет меньшую длину.

Точно так же имеет место

Определение

Z А < / В, если т /_ А < m Z В.

Поэтому прежде чем мы перейдем к изучению неравенств, свя зывающих отрезки и углы, нам нужно вспомнить законы из § 2 гл. 2, которым подчиняются неравенства между числами.

Т р и х о т о м и я

Для каждых х и у выполняется одно и только одно из следую щих условий: х< .у, х —у, х > у .

П2. Т р а н з и т и в н о с т ь

Если х<су и y<cz, то x<Cz.

П3. З а к о н с л о ж е н и я

Если a<cb и х ^ у , то а + х <.Ь-\-у.

205

П4. Закон умножения
Если х < іу и а >	0, то ах<сау.
Алгебра, которой	мы будем	пользоваться	при манипуляциях
с геометрическими неравенствами,		будет очень	проста. Нам даже

не потребуется П4, но зато нам будет нужна следующая теорема.

Теорема 7.1
Если а = Ь-\-с и О	0, то а > Ь .
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Так как а — Ь —с, то а — Ь > 0. Следо

вательно, (а — Ь) + Ь > 0 + Ь и а > Ь .

Задачи к § 2

1.Для каждого из следующих примеров укажите свойство отношения поряд ка, которое этот пример иллюстрирует.

a)	Если т >		7 и п < 7,			то п < т .
B) Если		4 <	6,	то	14 < 21 .
c)	Если	AB <		13, то AB ф 13.
d)	Если X— у =			7 и у <		3, то х < 10.		z ß .
e) Если		Z 4 < Z C			и /	ß >	Z С, то Л Л <
f)	Если R S < G H				и S T < H K ,		то Д5 + ST <	ОЯ + ЯК-
2. На этом		рисунке					С
	A B < G B и ßC < В Я .
Докажите, Что ЛС =£ GH.

								4	н
3.	Дано,	что точки		А, В и С коллинеарны			и	что точки G, Я	и /С коллине-
	арны. Они расположены так,				что	< С Я		и ßC < Я Я . Следует ли отсю
	да, что	ЛС <	ОЯ? Почему да		или	почему	нет?
4.	Д а н о .	Рисунок,		где					С
									С
	Л D A B < Л ОВЛ			и Л CMC <	Л D ßC .
	Т р е б у е т с я		д о к а з а т ь ,		л	С Л в <

< Л сел.

Б.Подробно объясните, почему из теоремы 7.1 вытекает такое следствие: если D —

точка внутри Л АВС, то

Л A B Ö L A B D и Л А В С > Л CßO .

206

6. Дан_рисунок, где	точка М является серединой и отрезка P S и отрез
ка RQ. Докажите,	что /. RQT > / R.

7 *. Пользуясь свойством П2, докажите, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

R 5

8 *. Предположим, что свойство П3 сформулировано					просто в таком	виде:
П ри любых	а, b	и X если	а < Ь , то а -J- х <		Ь-\-х.
Докажите, что остающаяся часть свойства П3
П ри любых	а, b,	X и у если		а < Ь и х < у ,	то а - \ - х < Ь - \ - у
будет тогда следовать		из этого утверждения как			теорема.
( У к а з а н и е .	Установите,		что	а - { - х < у - \ - Ь	и х-\-Ь < у - { - Ь ,	и приме
ните П2.)

9*+. Вновь обратимся к рисунку к задаче 6, но теперь предположим, что вы полняются только следующие условия: точки S и Р лежат по противопо

ложные стороны от прямой RQ, точки S и R лежат по одну сторону от пря

мой R T и P — Q — T. Докажите, что точка S лежит внутри /. RQT.

§ 3. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ

1 на следующем рисунке называется внешним углом Д АВС.

Определение

Если точка С лежит между точками А	и D, то BCD на
зывается в н е ш н и м углом Es АВС.
В	В

Как показано на следующем рисунке, всякий треугольник имеет шесть внешних углов:

2 0 7

Они образуют три пары вертикальных углов. И, как видно из рисунка, углы каждой пары вертикальных углов конгруэнтны.

Всякий внешний угол является смежным с одним из углов

самого треугольника. Например, на		нашем рисунке	/_ 1 и Z. С
треугольника —смежные	углы. Остальные два угла треугольника
называются внутренними	углами, не	смежными с данным внеш
ним углом.		(,
Определение
/_ А и £. В Д АВС называются в н у т р е н н и м и			у г л а м и ,
не с м е ж н ы м и с внешними углами		BCD и АСЕ.

Аналогично, А и /_ С являются внутренними углами, не смежными с внешними углами ABF и CBG.

Следующая теорема служит ключом к теории геометрических неравенств.

Теорема 7.2 (теорема о внешнем угле)

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, с ним не смежного.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Дан Д АВС. Если точка С лежит между А и D, то

£ B C D > A B .

208

Заметим, прежде всего,				что в этой формулировке действительно
заключено все содержание теоремы. Здесь					сказано, что Z
Изменяя	обозначения		(переставляя точки		А и В), получаем, что
Z. 2 > Z	А. Так	как	2 1 =	L 2, отсюда следует, что Z. 1		А А.
Следовательно, Z.		1 больше любого угла, с ним не смежного.
Перейдем к доказательству теоремы.
		в			F

Д о к а з а т е л ь с т в о

Утверждения

Аргументы


1.	Пусть			Е — середина				отрезка ВС .
2.	П усть			F — точка			луча,		противопо-
	ложного				лучу		E Ä ,		такая, что
	E F — E A .
3.	/	B E А			д	CEF .
4.	Д	В Е А			Л	C EF .
5.	т L		В = т		Z ECF .
6.	т L		BCD = m L				E C F + m Z FCD .
7.	m L		BCD = m L B +					m L FCD .
8.	m L		B C D >			m Z	B.
9.	Z	B C D >			L B .

Аксиома сложения углов. Утверждения 5 и 6. Теорема 7.1.

Определение отношения > для углов.

Теорема о внешнем угле имеет очевидное

Следствие 7.2.1

Если треугольник имеет один прямой угол, то остальные углы этого треугольника —острые.

(Если Z С—Прямой угол,				то	прямым		А
является и	/_ 1.	Теорема	о	внешнем		угле
утверждает,	что	/_ 1> £, В	и	и Z	1>	L.A.
Следовательно, т I. В < 90			и	т	А < 90 .)

2 0 9

Если бы мы знали теорему о внешнем угле раньше, то мы могли бы проще доказать единственность перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой (ср. выше, стр. 184). Если бы существовало два перпенди куляра к прямой /, проходящих через точку Р, то /_ 1 был бы

конгруэнтен /, PQR, что невоз

можно: Z. 1 является внешним уг

лом /\P Q R , а Z.PQR — один из внутренних углов, с ним не смеж ных.

Задачи к § 3

1. а) Назовите

на

этом рисунке

внут

ренние

углы

треугольника,

не

смежные с внешним

/ . А BE .

Какой

внешний

угол

имеет

углы

/. А В С

/. В А С

внутренними,

с ним не смежными?

2 . а)

Какие

углы

на

этом

рисунке яв

ляются

внешними

углами данного

треугольника?

Ь)

Какое

неравенство

связывает

т L

D A C

и т L

В }

Почему?

Как

связаны

т z

D A C

п т / . В А Е ?

Почему?

Как

связаны

т L DAC и т L

В А С ? Почему?3

3. Пользуясь

рисунком

только для пояснения обозначений, дополните каждое

из следующих утверждений на основании ранее доказанных теорем:

Если

X =

у = 30,

то w >

. . . .

Если

х — 72 и у =

73,

то

w —

Если

у =

и г =

68,

то

w . . . .

Если

w =

112,

то X —

Если

w =

150,

то

г ___

Если

# =

г =

90,

то

w . . . .

Если

2 =

90,

то X

... и у

. . . .

210

4. Докажите, что на левом нижнем рисунке	L C A K > L G.
C	c

5. Правый рисунок является иллюстрацией к следующему утверждению: Внешний угол четырехугольника больше каждого внутреннего угла, с- ним не смежного.

Верно ли это утверждение? Объясните.

6. а)	Луч P S	на	этом рисунке	является
	биссектрисой		L RPM . Докажите, что
	Z S C M >	L	S P M .
b)	Докажите, что если L SC V ^			L P R V ,
	то L P R T >		L S .

7. Даны любые два отрезка, A B и DE. Можете ли вы придумать утверждение, касающееся A B и D E, которое всегда было бы верно? В чем оно состоит? Приведите основание для вашего ответа.

8.Объясните, почему пометки на этом ри сунке указывают невозможную ситуацию.

9+. Докажите следующую теорему:				треугольника меньше, чем 180.
Сумма мер любых двух углов				треугольника меньше, чем 180.
Д р у г а я	ф о р м у л и р о в к а .			При
обозначениях	мер		углов треугольника,
указанных на	этом		рисунке,
	а~\-Ь <		180,
	Ь +	с <	180,
	а +	с <	180.

211

10+.	Докажите следующую	теорему:
	У глы при основании	любого	равнобедренного треугольника являются
острыми.
(У	к а з а н и е. Примените теорему		из задачи 9.)

§ 4. ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРЕМЕ О ВНЕШНЕМ УГЛЕ

Определение
Дано соответствие ABC	DEF между двумя треугольниками:
В	Е

Если конгруэнтны две соответствующие стороны и две пары соответствующих углов, то соответствие АВС DEF называется СУУ-соответствием. (Здесь, разумеется, буквы СУУ заменяют слова: сторона, угол, угол.)

Теорема 7.3 (СУУ-теорема)

Каждое СУУ-соответствие является конгруэнтностью.

Из УСУ мы уже знаем, что если конгруэнтные стороны заклю чены между конгруэнтными углами, то наше соответствие является конгруэнтностью. Поэтому мы можем сформулировать теорему иначе, считая, что нам задано соответствие того типа, которое про иллюстрировано на предыдущем рисунке.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .	Даны /\А В С	и /\D E F . Если
L A ^ , Z. D, Z В ^ L Е и АС ^		DF,
то
A A B C g ^ A D E F .
Д о к а з а т е л ь с т в о . - Для AB и DE имеются три возможности:
AB = DE,		(1)
AB <	DE,	(2)
AB >	DE.	(3)

212

Если	имеет	место	равенство (1), то теорема доказана, так как
в этом	случае	соответствие АВС — DEF		является СУС-соответ
ствием.	Мы покажем,		что неравенства (2)	и (3) невозможны.

В '


Допустим, что	выполняется неравенство		(2): AB < iD E. Пусть
В' — такая точка	луча AB, что A B ' = D E .			Тогда в силу СУС
A A B ' C ^ A D E F .	Следовательно,	Д АВ'С ^ /_ DEF. Значит,
Z А В С ^ /_ АВ'С. (Почему?) Но это невозможно, поскольку тео
рема о внешнем угле утверждает, что		/_ АВС >		Д АВ'С.
Совершенно аналогично можно показать,			что невозможно и нера
венство (3): A B > D E . Вы сумеете провести			это рассуждение сами.

Поскольку неравенста (2) и (3) невозможны, должно выпол няться равенство (1) и в силу СУС Д Л В С ^ ёД П £ 7\ Это завер шает доказательство.

В предыдущей главе мы нашли, что такой вещи, как «ССУтеорема», не существует. Иными словами, ССУ-соответствие не всегда является конгруэнтностью. Мы можем, однако, доказать такого рода теорему в случае прямоугольных треугольников.

Теорема 7.4 (теорема о гипотенузе и катете)

Дано некоторое соответствие между двумя прямоугольными треугольниками. Если гипотенуза и один катет первого тре угольника конгруэнтны соответствующим элементам второго тре угольника, то это соответствие является конгруэнтностью.

213

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ