книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

60 Глава 1. Элементы зонной теории

одномерны. Такие представления группы Ta/t имеющей порядок L/,

_ , m

—2л/ л

определяются числами е > , где пг — неприводимые представле­ ния, m = 0, 1,2, Lj — 1, а п — степень соответствующего эле­ мента циклической группы. Следовательно, неприводимые пред­

Таким образом, каждое неприводимое представление группы определяется тройкой чисел (m^ т 2, т 3), а число различных непри­ водимых представлений равно произведению LjLoL,,.

Определим векторы Ь2, Ь2, Ь3:

Ob, ь*) — 2ябik,

или

к решетке, определяемой векторами ах, а,, и а3). При помощи векто­ ров bj, b2, Ь3 введем новый вектор

и запишем неприводимые представления группы трансляций в виде

Векторы к и к ' пространства обратной решетки эквивалентны, они характеризуют одно и то же неприводимое представление. Одно­ связная область в пространстве обратной решетки, которая не со­ держит эквивалентных векторов, но содержит эквивалентные век­ торы для всех произвольных векторов пространства обратной решетки, называется приведенной зоной Бриллюэна. Если вектор к лежит на границе зоны Бриллюэна, то всегда существует по край­ ней мере один эквивалентный ему вектор к ', также лежащий на границе зоны Бриллюэна.

Векторные группы симметрии R прямой и обратной решеток

R относится к векторным группам прямой и обратной решеток.

кубической решетке Г" необходимо использовать только бли. жайшие узлы обратной решетки, а в гранецентрированной куби.

Неприводимые представления группы трансляций Гк (ta^ |£■} соответствуют всем точкам к, лежащим в зоне Бриллюэна, и только половине точек к, лежащих на поверхности, ограничивающей эту

зону.

На рис. 7—9 представлены зоны Бриллюэна в наиболее распростра­ ненных кристаллических решетках

Положение точек симметрии (см. рис. 7):

Для гранецентрированной решетки векторы обратной решетки имеют вид

ь* = ( д г ) (1 1 ^ Ь2 = Н г ) ( П D. b3 = (| 1) ( l 1 1).

Координаты точек высокой симметрии (см. рис. 8):

Для гексагональной решетки векторы обратной решетки имеют вид

Координаты точек симметрии зоны Бриллюэна (см. рис. 9):

Зоны Бриллюэна, соответствующие остальным 11 решеткам Браве, можно найти в работах 12, 8].

Выше было показано, что неприводимые представления группы трансляций можно описывать вектором к. Предположим, что фк (г) —

базисная функция неприводимого представления Гк. Тогда

Это утверждение известно [51 как теорема Блоха. Таким образом, блоховский вид волновых функций обусловлен трансляционной сим­ метрией кристалла.

В симморфной пространственной группе каждая операция сим­ метрии {t„ 1г} представляет собой вращение г из точечной группы F с последующей трансляцией tn. Поэтому ее неприводимое представ­ ление можно получить при помощи неприводимых представле­ ний группы F. Рассмотрим понятия точечной группы и звезды вол­ нового вектора к.

Точечной группой волнового вектора к называется подгруппа точечной группы F пространственной группы G кристалла, состоя­

тождественного преобразования Е, то к является общей точкой зоны Бриллюэна. Если все соседние точки в зоне Бриллюэна имеют мень­ шую точечную группу волнового вектора, то точка к является точ­ кой симметрии. Линии и плоскости симметрии, на которых лежат все точки, имеющие одну и ту же нетривиальную подгруппу группы

Система М (к) векторов klt k2, k3, ... называется звездой вектора к.

(некоторые Ку могут быть равными нулю), при этом удобно прини­ мать rx = Е. Если g(, — порядок группы F, a g (к) — порядок груп­ пы G (к), то g0 = g (к) М (к). Это означает, что группа F может быть представлена в виде систем вращений, каждая из которых содержит g (к) членов.

Рассмотрим систему элементов Г/G (к), состоящую из произведе­ ния г/ и g (к) различных вращений из группы G (к). Каждый эле­ мент этой системы переводит вектор к в вектор к/ и л и вектор, экви­ валентный к/. По определению звезды волнового вектора к в группе

г г является элементом группы G (к), т. е. г принадлежит системе ryG (к). Фактически, так как G (к) является подгруппой группы F, группа F разложена на смежные классы слева по подгруппе G (к).

Если вектор r j 1rrtк не эквивалентен вектору к, то в силу ортогональ­ ности функций, принадлежащих разным неприводимым представ­ лениям группы G, матричный элемент обращается в нуль. Поэтому, используя неприводимые представления группы G (к), записыва­ ем представление Г кр {(tn |r)}jj.itS в виде

Покажем, что при помощи матриц (31) действительно можно по­

X exp (— irjk ■t„ — ir~'rfk •t,,-),

если r~'rr'rtк является членом группы G(k),

О, если Гу VrVj-k не является членом группы G(k),

Гр ({0 1r j xrr'rt))b exp {— /гук •(t„ + rt„-)},

если rj'rr'rjk является членом группы G (к),

= r kp({ tJ r }

Теперь покажем, что представление (31) неприводимо. Рассмот­ рим величину

2 2 Хкр ( ( * » ) =

'

= 2 2 |2 ХР ({0 1n 'r r t)) ехр ( - /г(к •t„) |2.

гГ1

Суммирование слева проводится по всем элементам пространствен­ ной группы, а справа — только по тем г и rh для которых гГ1гг(

зисные функции ортонормированны. Действительно, (Р ({0|г£}) <р£(,

Р ({0 |/’/})(pL) — скалярное произведение двух базисных функций. Оно обращается в нуль, если к/ = г,к неэквивалентно k£ = г(к, поскольку векторы к£ = г£к пронумерованы так, что к£ эквивалент­ но kj только при i = /. Если i = /, то скалярное произведение отлично от нуля только при t = s. Из (31) видно, что характеры неприводимых представлений, принадлежащих разным парам раз­ ных к и р, различны, и поэтому соответствующие представления неэквивалентны.

Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений

Следовательно, сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы G равна g0N, что совпадает с порядком груп­ пы G. Поэтому группа G не имеет каких-либо других неэквивалент­ ных неприводимых представлений.

Неприводимые представления неспмморфных пространственных групп

Несимморфные пространственные группы, как и симморфные, содержат подгруппу Тп чистых трансляций, и поэтому собственные функции гамильтониана несимморфных групп также можно запи­ сать в блоховском виде. Рассмотрим основные понятия, исполь­ зующиеся при построении несимморфных пространственных групп.

Группой волнового вектора к называется группа G (к), явля­ ющаяся подгруппой пространственной группы G и состоящая из преобразований (t |г}, которые не изменяют вектор к или перево­ дят его в эквивалентный ему, т. е. rk = k -f- Кт , где Кт — некоторый вектор обратной решетки (в частных случаях он может быть рав­ ным нулю). Группа G (к) содержит наряду с вращениями и трансля-

3*

68 Глава 1. Элементы зонной теории

ции. В частности, в нее входит как подгруппа группа Тп чистых трансляций. Если G (к) совпадает с Т п, то вектор к является общей точкой зоны Бриллюэна. Если группа G (к) больше группы, соот­ ветствующей точкам, лежащим в окрестности точки к, то к являет­ ся точкой симметрии зоны Бриллюэна. Линии и плоскости, на ко­ торых лежат точки, имеющие группу G (к), большую подгруппы Тп, называются линиями и плоскостями симметрии.

Пусть {tj |/у} = {0 |Е), {t2 |г2}, ... — система представите­ лей, соответствующая разложению пространственной группы на левые смежные классы по отношению к группе G (к). Система вол­ новых векторов кх = к, к = г2к, ... называется звездой вектора к. Отсюда следует, что число представителей связано с порядком про­

образует базис 1М (к)-мерного неприводимого унитарного представ­ ления пространственной группы G. Все неприводимые представления группы G могут быть получены с помощью всех неприводимых пред­ ставлений группы G (к) для всех к из разных звезд.

Заметим, что не каждое неприводимое представление группы G (к) удовлетворяет уравнению (32). Например, единичное пред­ ставление, в котором каждый элемент является единичной матри­ цей, не удовлетворяет этому уравнению, за исключением случая, когда к = 0. Ясно, что только блоховские функции с волновым вектором к могут образовывать базисные функции представления группы G (к), удовлетворяющего уравнению (32).

Теорема о базисных функциях сводит нахождение неприводимых представлений пространственной группы к нахождению неприво­ димых представлений группы G (к). Однако G (к) включает в себя группу чистых трансляций и имеет сложную структуру, когда к не является точкой общего положения. Поэтому необходимо еще больше упростить задачу.

Из теоремы о базисных функциях следует, что неприводимые представления группы G могут быть описаны вектором к и символом р неприводимого представления G (к). Используя аргументы, ана­

логичные тем, которые были применены при рассмотрении симморфных групп, приходим к выводу, что справедливо равенство

Трансляционная часть t, связана с каждым вращением точеч­ ной группы F пространственной группы G (в частности, при неко­ торых г t,. = 0). Каждое преобразование, у которого г — враща­ тельная часть, имеет вид (t, -j- t„ |г}, где t„ — вектор решетки. В симморфных группах t, = 0 при всех г. Справедливо равенство

r k*({tr + tj,- } ) =

О, если r~'rrtk не эквивалентно к,

ГР (I*/1П)~' к I г) (t, |r,})ft exp (— ir/к ■t„),

если r~Vr(k эквивалентно k.

Доказательство теоремы аналогично доказательству, приведенному при рассмотрении симморфных пространственных групп.

Построим неприводимые представления группы G (к) при помощи

тать, что группа Т (к) состоит из всех чистых трансляций, которые удовлетворяют уравнению

ехр(— tk •У = 1.

Т (к) — подгруппа группы чистых трансляций и инвариантная подгруппа группы G (к). Действительно, пусть {К \г') — элемент группы G (к) и {tn |Е) — элемент группы Т (к). Тогда

{t'k '} {К | £ }{П К }-' = {г%,|£}.

Однако {r'tn\E} является также элементом группы Т (к), так как