книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии
.pdf220 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
Из выражений (274) и (275) видно, что при помощи матричного эле мента псевдопотенциала (273) можно получить уравнения (97) ме тода ППВ.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СПЛАВАХ
Формальная теория функций Грина
Метод функции Грина (см. стр. 163) является частным случаем более общего подхода. Рассматривая функцию Грина как оператор, заданный в абстрактном пространстве, можно достаточно просто переходить к разным представлениям, устанавливать важные соот ношения между разными функциями Грина, вводить оператор пе рехода Т и создавать необходимые основы для исследования неупо рядоченных систем.
Пусть оператор L действует на вектор состояния |ср):
L |ср) = |ф).
Формальное решение этого уравнения может быть записано в виде
|ф> = ( 1 Г 1|т|)>, |
(276) |
(L)~1 — оператор Грина, соответствующий оператору L. Пусть х — непрерывная переменная. Тогда, преобразуя уравнение (276), полу чаем
(х|ф) = j (х |(L)- 1 1у) (*/|ф) dy = ^G(x, у) ф (у) dy,
где G (х, у) — функция Грина оператора L в ^-представлении. Опе
ратор (L)~1 можно записать, |
например, в виде |
|
||
(L)-1 = j |
dxdy |х) G {x , у) ( у |. |
|
||
Рассмотрим уравнение |
Шредингера |
|
||
( £ - Я ) | ф ) = 0. |
(277) |
|||
Оператор Грина, соответствующий |
оператору Е — Н, имеет вид |
|||
(Е — H)~l = G. Пусть Н = |
р2 + |
V. В выражении (Е — Н) G = 1 |
||
переходим к координатному |
представлению |
|
||
\dV"{r\E — Я|г") (r"|G| г') dV" = (г|г'> = |
б (г — г') |
|||
или |
|
|
|
|
j [Е + V?- — У (г")] 6 (г — г") G (г", г') dV" = |
6 (г — г'), |
|||
откуда следует дифференциальное уравнение для функции Грина
[£ + V ? -K (r )]G (r , г') = 6 (г - г ' ) .
Методы расчета энергетических зон в неупорядоченных сплавах |
221 |
Пусть |п) — собственные функции оператора Я . В этом случае можно записать
0 = ( Я - Я ) - ‘ 2 | я ) ( " H S - i r z i r 1--
пп
Таким образом, функция Грина в координатном представлении име ет вид
С ( г , 0 = £ Л 1 1 л Ш 1 Щ _ . |
(2 7 0 ) |
Если Е рассматривается как комплексная переменная, то величина С (г, г') имеет полюсы в точках, равных одноэлектронным значени ям энергии Е п.
Как показано в теории рассеяния [81], для определения операто ра Грина в знаменатель выражения (278) следует ввести малую до бавку ie. Это можно сделать двумя способами. В результате полу чим два оператора Грина:
^ - T n r f f + T T -
G Ю = E — H — ie ‘
Необходимость введения добавок ге вытекает из необходимости уче та граничных условий. Пусть, например, гамильтониан системы име ет вид
я = я 0+ к,
где Я 0 — невозмущенное движение системы, a V — взаимодействие, исчезающее при достаточном удалении взаимодействующих частей системы друг от друга. Задача о рассеянии сводится к нахождению решения уравнения Шредингера (277) при определенных граничных условиях и положительном значении энергии системы Е. На беско нечности функцию |ф) можно представить в виде суммы функций: функции |ф),описывающей падающую волну,
( Е - Н 0) 1ф> = 0, |
(279) |
и функции, описывающей расходящуюся рассеянную волну. Фор мально решение уравнения (277), удовлетворяющее граничным усло виям, можно записать в виде
IФ+ ) = 1Ф) + G0 (Е + ie.) V |ф+ >,
где G0 (Е -j- ie) — оператор Грина уравнения (279). Правило об хода полюса в G0 {Е + is) соответствует выбору расходящейся рас сеянной волны в асимптотике |ф). Волновая функция, описываю щая рассеяние и имеющая на бесконечности вид суммы функций,- описывающих падающую и сходящуюся рассеянные волны, опре деляется уравнением
! Ф~> = I Ф> + Gq(E — ie) V |ф- ).
222 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
Рассмотрим выражение
(r|G+|r'> = G+ ( r ,r ',£ ) |
_ V (г 1п> <п 1г'> |
|
|
|||||
= £ |
Е — Еп -f- «е |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (г|л) — плоские волны. В этом случае Еп = к2 и Е = |
х2. Ин |
|||||||
тегрируя по к, получаем |
|
|
|
|
|
|
||
G+ (г, г', х) |
|
'+ i |
|
Е) = |
|
dк exp /к •(г — г') |
(280) |
|
= G+ (г, г', |
(2я)3 J |
v? — к2 + |
(‘в |
|||||
Вводим переменную р = |
г — г' и ось z направляем вдоль р. Тогда |
|||||||
|
|
|
СО |
Л |
|
2 Я |
|
|
G+ f r . r-. £ ) = |
W |
- ) |
*"<» J |
™ 0 ^ |
) f f ^ F -Й |
- |
|
|
|
|
+°° |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
k d k |
|
|
|
|
||
|
|
— exP (— ik?)\- |
|
|||||
(2 л )2 |
2/p |
—©o |
|
+ |
fexP |
|
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 — k2+ |
i& = [(x -j- k) + гУ] [(x — k) + гУ]. |
|
||||||
Замыкая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость, вычис ляем первый член в этом выражении. Для вычисления второго члена замыкаем контур в нижнюю полуплоскость. В результате получаем
0+ (г, Г, х) - —-2 - • “ У Д - 1-'1 . |
(281) |
Аналогично можно вычислить G~ (г, г', х):
( Г (г, г', х) = — »
Докажем теперь равенство (171). Для этого разложим выражение для плоской волны в ряд по сферическим функциям
оо I ^
ехр /к • г = 4 я 2 2 4i №) Y’m(к) Уim(г).
1=0 m=—l
Подставляем это разложение в (280). На основании ортонормированности сферических функций получаем
G+ (г, г', £ ) = 2 G, (г, г’ , Е) Y,т(г) Г 1т (?),
1т
где
/, (k r ) /г (k r ') k 2d k
(282)
2 — k 2 + 18
Сферические функции Бесселя /; {kr) связаны со сферическими функ циями Ганкеля и Неймана соотношениями
h\±] (х) = /, (х) + ш , (х). |
(283) |
Методы расчета энергетических зон в неупорядоченных сплавах 223
При больших значениях аргумента х, х |
1, справедливы асимпто |
тические выражения |
|
Рассмотрим случай г < |
г'. Разлагаем jt (kr') по функциям Ганкё- |
|||
ля. Учитывая, |
что |
произведение h f (kr') |
jt (kr) изменяется как |
|
exp ikR, где |
R > |
0, |
а произведение |
/г(_) (kr1) jl (kr) — как |
exp (—ikR), при вычислении контурных интегралов (282) получаем
G t (г, г', Е) = |
----- (кг') /, (кг)----------------h (— w), |
|
а так ка-к /, (— x) = |
(— 1)' /, (x) и /г'+) (— x) = (— l)1 h t (x), to |
|
Go" (r, r', |
£) |
= 2 — iy-ht (кг’) it (кг) Ylm(r) Ytm (rr). |
|
|
l.m |
Аналогично может быть рассмотрен случай г > г':
Go" (г, г', Е) = У (— iv) ht (кг) /, (кг') Ylm(г)Y,m(г').
1,тп
Последние два соотношения можно записать в виде одной формулы
G(T(г, г', Е ) = У ( — iK) h t (кгу) /, (хг<) Y,m (г) Y/m (г'). |
(284) |
Из соотношений (281) и (283) видим, что формула (284) тождественна равенству (171).
Рассмотрим уравнения, которым удовлетворяют функции Гри на. Вводим в рассмотрение оператор Грина
Г' _ |
1 |
и _ |
Е — И„ — V ' |
При помощи соотношения |
|
справедливого для любых двух операторов А и В, получаем разло жение оператора Грина
G = G0 + G0PG0 + G0VG0VG0+ ••• |
(285) |
Для выполнения граничных условий в это разложение всегда мож но ввести соответствующие добавки ± te . Умножаем обе части выра жения (285) на VG0справа. Сравнивая результат с (285), получаем
G = GVG0+ G0.
224 |
Глава 2. Расчет энергетических |
зон в твердых |
телах |
|
Аналогично получаем выражение |
|
|
|
|
|
G = G0 + |
G0VG. |
|
|
Рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|
(£ + i'e — Я 0)|т|>) = V |-ф>. |
(286) |
||
Если для соответствующей энергии £ |
существует решение однород |
|||
ного уравнения |
|
|
|
|
|
(£ — Н0) |ф) = |
0, |
(287) |
|
то полное решение уравнения (286) |
имеет вид |
|
||
Таким |
I t ) = |ф) + |
<J0V |t ) - |
|
|
образом, |
|
|
|
|
|
I t ) = |ф) + 1ф>1- |
|
||
Учитывая, что |+>) удовлетворяет уравнению (286), а |ср) — урав нению (287), получаем
(£ + г'е— V — Я 0) |Ф+ — V |ф) = 0. |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|ф)х = (£ + « — У — Я 0)_ 1 У1ф) |
|
||
и |
|
|
|
|
I t ) = 1ф) + <з+У|ф). |
|
|
Последнее выражение можно переписать в виде |
|
||
|+> = |
|ф) + |
[G^ + G ^EG ^+ - - •] V 1ф). |
(288) |
Матрицу перехода |
задаем |
в виде ряда |
|
|
t = V + VG$V Н------ |
(289) |
|
Из этого выражения видно, что матрица перехода удовлетворяет уравнению
t = V + VGtt.
Из уравнений (288) и (289) находим
I t ) = |ф) + Со^|ф).
Рассмотрим теперь разложение оператора Грина, широко при меняющееся в теории кристаллов и неупорядоченных систем. Под
ставляя потенциал в виде |
|
|
|
в разложение (285), получаем |
|
|
|
G = G„ + G0 2 vaG0 + |
G0 2 |
vaG0 2 |
G0 + ••• |
a |
a |
p |
|
Методы расчета энергетических зон в неупорядоченных сплавах 225
Выделяем в третьем слагаемом этого разложения члены с а = {3,
в четвертом — а = |
|3 = |
у и т. Д-! |
G = G0 + |
2 |
G0 {Va + vaG0va -f- •■•} G0-f- ••• |
|
a |
|
Так как выражение в скобках представляет ^-матрицу отдельного
центра а, то ряд (285) |
можно |
записать в виде |
|
||||
G = |
Gg+ G02 |
taG0-f- G0 2 |
VaG0 2 |
wpGo -f- |
|
||
|
|
a |
|
a |
аф$ |
|
|
+ G0 2 |
vaG0 2 |
V$G0 2 |
vvG0 + |
•■• |
|
||
|
a |
|
a+3 |
P ^ v |
|
|
|
Это преобразование можно продолжить. Окончательно получаем |
|||||||
G = |
G0+ G02 |
ta.G0 + G02 |
taGg 2 |
^pG0 + |
|
||
|
|
a |
|
a |
a#3 |
|
|
|
+ G0 2 |
to.Gg 2 |
^pG0 2 |
tyGg + |
••• |
(290) |
|
|
а |
|
а+З |
P + v |
|
|
|
В этом случае Г-матрица системы имеет вид |
|
|
|||||
Т = |
2^СС + |
2 |
taGgifi -{- 2 |
taGgt$Ggty + ••• |
(291) |
||
|
a |
a^tp |
|
аф3 |
|
|
|
P + V
В приближении Борна ^-матрицу каждого атома можно заменить потенциалом.
Таким образом, введение ^-матриц для каждого рассеивающего центра позволяет выделить вклады, связанные с отдельными цент рами в общем рассеянии.
Рассмотрим состояние (291) применительно к периодическому потенциалу. Будем считать, что потенциал va является МГ-потен циалом, заданным на узле а. Потенциал кристалла имеет вид
^ = 2а^ а = 2а^ ( г — Rtx),
ta представляет ^-матрицу иона, локализованного на узле а. В ко ординатном представлении ta может быть найдена из интегрального уравнения
t a (г, О = о (Г - R«) + J О(Г - Ra) G0 (Г, Г") ta ( г " , Р) dV".
Поскольку свободно-электронная функция Грина G0 зависит только от разности аргументов, можно показать, что
t a ( г , г ') = t (Г — R a , г ' — Ra).
Это соотношение связывает ^-матрицу иона, находящегося на узле а, с ^-матрицей иона в начале координат.
8 3 - 2 0 2 3
226 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
Запишем уравнение (291) в виде |
|
|
|
Т (г, r ') = E ^ ( r - R a , r ' - R « ) + 2 |
f f * ( r - R a, r " - R a) X |
||
a |
a#P J J |
|
|
X G0 (r", r'") t (r“ — Rp, r |
' - |
R p)d V"dV"' + . . . |
(292) |
Подставляем в выражение ^-матрицы в представлении волновых векторов
( к П к ) = |
dVdV' |
ехр (— гк •(г — г7)) Т (г, |
г') |
разложение (292): |
(2я)3 |
|
|
|
|
|
|
Т (к) = N |
dVdV' ехр (— гк •( г — r'))f (г , г ') |
+ |
|
|
(2л)3 |
|
|
+dVdV'dV'dV'" - ехр (— гк • (г — г')) t (г, г') х
Ш. 1 (2л)3
Х [ _ ] с 0 (Г" + Ra, г777+ R р) ехр (— гк • (Ra — Rp))] t (г7", |
г') + |
|
||||||
афр |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 еХР |
Л •(Г — Г')) 1(Г>r') dVdV' + - Щ *~ j”J |
f j 1(г- |
г') X |
||||
X Gk (г", |
г777) t (г777, г7) ехр (— гк •(г — г7)) dVdV'dV'dV"' + |
■■■, |
(293) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Gu (г, г7) ^ |
-L 2 , |
G0 (г + 1 - г7 - |
I7) ехр ( - |
гк •(1 - |
I7)). |
(294) |
||
Суммируя |
ряд |
(293), |
получаем |
|
|
|
|
|
т W |
= |
И ехР (“ г'к •(г ~ |
Г')) (г ‘ ~ |
^ Г 1dVdV'- |
|
|||
Таким образом, сингулярности Т (к) связаны с сингулярностями матрицы
( r ' - G k } - 1.
Перейдем в формуле (291) к представлению углового момента. Сначала рассмотрим свойства функции (294). Ее можно записать
также в виде |
|
|
|
|
Gk (г, г7) = 2 |
G0 (г + |
Ra — г7) ехр (— ik •Ra). |
||
В представлении волновых векторов [89] |
||||
Gk (к7, к77) |
= % |
J5 dVdV' ехр гк7' . г7 ехр ( - гк7 •г) х |
||
Так как |
X G0 (Г + Ra — Г7) |
ехр (— гк •R a). |
||
|
1 |
(* |
ехр is •(г — г') ds, |
|
|
G0 (г, г7) = |
|||
|
|
(2л)3 |
J |
|
Методы расчета энергетических зон в неупорядоченных сплавах 227
ТО
Gt (к', к") = |
(2л' ) 1Ш |
dVdV'ds exp zk" . г' ехр (— zk' •г) X |
|
х |
е х р * |
. ( г - |
г:) 2 Г е х р Л Ь . ( 8 - к ) . |
сь а
Используя разложение плоской волны по сферическим гармоникам (88), получаем
|
|
|
|
, |
|
С Г Г |
|
|
|
2 |
' ехр 1(s - |
к) •« а |
|
|
|
Gk (к ', |
к") |
= |
|
J J J r'drr'WdQ'dQr'ds |
|
--------- X |
|||||||
X |
[4л 2 |
ilit (k'Y) Yl (к") Y l (?) 4 n 2 |
Г ''/V (k'r) Y l , (?) Yl, (?) |
x |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
X 4jt 2 |
il ir (sq) Yl * (s ) |
Yl - |
(r) 4n 2 i ‘"jr Y v« (s) Y i- (r')], |
||||||||||
|
|
L“ |
|
|
|
|
|
|
|
U" |
|
|
|
|
где L = l, m. |
Учитывая ортогональность |
сферических функций, |
||||||||||||
записываем это вырал<ение в виде |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Gk (k', k") = |
|
|
|
||||
|
= |
j |
r4rr'2dr'ds J |
exp i (s — k) •Rg |
ilii(k"r')YL(k") x |
|||||||||
|
|
|
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E — sa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L,L‘ |
|
|
|
|
X i |
''/V (k'r) YL. (k') il'jt. (sr) Y L- (s)i |
ljt (sr') YL(s). |
|
||||||||||
Разлагаем |
exp |
is |
• Ra |
по |
сферическим |
функциям. |
Поскольку |
|||||||
|
/N |
|
|
/N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y u |
(s) Y l (s) |
Y L" (s) |
можно |
записать |
в виде |
|
|
|||||||
|
Y b (?) Уь (s) Yr |
(?) = |
2 |
Y l (?) a (L, V , L") YL. (s) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L" |
|
|
|
|
|
(для четных значений L |
+ V |
+ |
//величина a (L, L',L") обраща |
|||||||||||
ется |
в нуль), |
|
|
|
G*(k',k") = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
2 |
|
\\\ Y drr'W ds [ 2 ir ir (sRa) Y l - (Ra)] lit (k’Y) |
x |
|||||||||
|
71 |
L,L',L’ J J J |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||
Xiv(k'r) jr (sr) it (sr')] [Y l (k') YL.(k") 2 |
YL- (s) a (L, L', L'") Yv«(s)] X |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл |
X exp (— /k •Ra). |
|
|
(295) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
о\ |
s2ds i r |
|
(sR g) i f (sr) h (sr') |
|
(296) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E — s2 + /в |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При рассмотрении свойств, связанных с /-матрицами, потенциал за дан в виде МГ-потенциала, поэтому можно считать, что /-матрицы
8:
228 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
также локализованы в области г, г' < |
Rcф. Интеграл (296) |
опреде |
|||||||
ляется |
множителем |
/> (sRa). Так |
как |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(*)]-> 4 |
ехР ix |
гу + 1 _j_ ехр (— ix) |
^.у+1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
!l" (s/?a ) /V (sr) il (-sr') |
_1_ |
|
|
exp isPa |
il- (sr) и Csr') |
|||
) sa s |
E — S2 -f is |
|
2 |
|
|
s#cc |
£ — S2 + |
(8 |
|
|
, |
/ Л / ” + 1 |
exp ( - i s R a ) |
/>(s/-)//(sr')-[ |
|
|
|||
|
+ |
W |
|
.R . |
|
|
s2ds. |
|
|
|
|
£ |
— S2 + |
IE |
|
|
|||
В этом выражении — существенно положительная величина, поэтому при вычислении первого интеграла контур интегрирования проводим в верхней полуплоскости, а второго — в нижней. В ре зультате вычислений, учитывая, что вклады полюсов в нуле взаим но компенсируются в двух интегралах, находим
|
|
s-ds |
i r |
( s f l J i l - |
( s r ) l i |
(s r') |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
£ — s3+ (s |
|
|
|
|
||
яi |
exp i |
E Ra |
r\f~c |
\ |
- |
n f c |
-\ t |
*\r+i |
|
||
1 ----------- д--------lv (У E г) |
/, (V E r') (— |
i) |
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в (295), получаем |
|
|
|||||||||
Gk (k', k") = |
|
£ |
|
f f r 4 rr'W |
|
EL £ — 1?lp |
R“ |
(у~В r) X |
|||
n |
L,L',L",U" O J |
|
|
г |
a |
K a |
|
|
|||
X il iV Er') jL(k"rr) j, (k'r) Yu (k') Yl (k") a (L, U , L")\ exp ( - |
tk •Ra). |
||||||||||
Учитывая условие ортонормированности |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
6 (v — v') = |
2 |
УL (v) Yl (v') j" |
/, (kv) /; (kv') k2dk, |
||||||||
можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gk (к', к") - |
2 |
Gll-Yl (к') Yl (к") б (L |
- к) б (/г" - |
к). (297) |
|||||||
Так как |
|
l , l - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
G'k (r, г') = |
G (г, г') — G0(r, |
г'), |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0 (г, г') = |
1 |
ехр \iv. 1г — г' ]] |
|
|
||||||
|
4я |
|
1г — г' | |
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G (г, r') = |
2 S |
Ai^i-m-h (кг) il- (кг') Yim(г) Y,-ш- (г') + |
|||||||||
|
|
Ini I'm' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 Y-il (w<) nt(w>) Yl,n(r) Yi-m■ (г'),
Im
Методы расчета энергетических зон в неупорядоченных сплавах 229
ТО
G'k (г, г ' ) = 2 2 {A im ,I'm ' + Щ i l ( w ) jt' ( w ' ) У Im (г) Y I'm' ( О - Ini I'm '
Если записать
Gk (г, г') = |
2 f g l l - (r, |
r ' ) Y ln (г) У/',,,' (г'), |
||
то |
= (^4Li.' + iv.Ь ш ) il (кг) jr |
(кг'). |
||
Glz/ (г , г') |
||||
Рассмотрим представление |
|
|
|
|
<к' |G’k |к") = |
g; (к', к") = |
2 |
- Ц п И |
х |
X Glv (Г, г') y im(f) Y',m, (?) |
V |
(_ ty (гу |
/г (*V) x |
|
|
|
L ’ ,L"' |
|
|
X /> (AtV) У/»т« (к') yj.m. (г) Угт- (к") У/.»т>»(У).
Интегрируя, получаем
Gk (к', к") = S 0 £ь'У/ш(к') У;-», (к") S (Ы - х) б(k ’ - х).
L ,U
Этот результат полностью соответствует выражению (297). В нем
Gl l . = \Al l . + Ы6ll'] , (298)
коэффициенты ALi >определяются по формуле (177).
Теперь найдем значение суммы (293) в представлении углового
момента. Первый |
член в (293) равен |
||
|
|
N 2 ^ (* . Ь) У1-Ф) У t(k), |
|
второй — |
|
|
I |
|
|
|
|
|
n J d M k s [ hS(К К) y L (к)у l ( к , ) ] X |
||
|
|
0 |
L |
|
X [ 2 |
GL'L" fo, /г2) Уц (кг) УL" (кг)] х |
|
|
|
L ’ .L"х |
|
|
|
х L S /rfo , А) Уи" (к2) Уо" (к)] = |
|
|
|
V" |
|
= |
w 2 |
ti {k, |
у) x4Gll- (х , х) (х, k) Y l (к) УL' (к), |
третий — |
|
|
|
N 2 |
Уц(к) У , (к) f, (fe, х) x4GLL-^ (х , х ) %4GL’L'ti' (х, ft). |
||