книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии
.pdf180Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
вэлементарной ячейке имеет вид
1/(г) = |
' и'Ч1г — rv|) при |г — rv| < t f v, |
|
.0 |
при всех других г |
(rv — векторы, определяющие положение атомов разного типа в эле ментарной ячейке). В соответствии с вариационным принципом Ко на — Ростокера
Л = J ф* (г) V (г) dV [-ф (г) — J G (г, г') V (г') ф (г') dV']. (198)
п, й„
Член
J 0 (г, r')V(r')^(r')dV'
По
может быть записан в виде
| j О(г, г') и1(г-) ф' (г-) dV).
1а,
В/-й сфере справедливо равенство
(V'2 + Е) ф (г-) = v1(г-) ф (г]).
Поэтому
^j G (г, г'/) V (г-) ф (г,) dV'/ =
= Ф |
(г) У+ |
, J |
|
|
, дх¥ (гЛ |
, dG (г, г’) |
dS'j, |
|
||
|
G (г, Гу) |
|
------ф (г,)------- г - 1- |
|
||||||
|
' |
sl |
|
|
d ri |
дГ1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ф (г) — У] |
J |
G |
(г. |
Г/) У (п) Ф (rj) dV] = |
|
|
|||
|
|
i |
rj< R j—e |
|
|
|
|
|
||
— |
S I |
r |
, |
\ |
А1,(гЛ |
, /4 |
5G(r> r;> dS). |
|
(199) |
|
G |
(r>r/) —dr. |
------^ (r/) |
— dr. |
|
|
|||||
Подставляем |
(199) |
в |
(198): |
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕ= |
j ф* (r) V (r) dV 2 |
( - |
1) j dS',1G (r, rj) |
- |
|
|||||
|
Q, |
|
|
|
; |
|
! |
^ |
|
|
— Ф (rj) — |
|
|
)j/Г== — S |
j" |
|
|
|
|||
|
|
dS'i[S y*V (r) G (r>r/) W |
X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дф ( . r j ) |
S |
|
j |
|
|
Ф—* (*2г)’ КГ;)(г)d Kф(0). |
(200) |
|||
X |
+ |
|
|
|
d r )
|
Методы расчета энергетических гон в кристаллах |
181 |
|
Интегрируем по атомным сферам: |
|
|
|
J |
17 (г) Ф* (г) G(г. г/) dV = ^ I |
(г*)Ф* (га)G (га>г/) dVk> |
|
Q| |
h |
|
|
где гь = |
г — rVft. Получаем |
|
|
|
( о* (г*)Ф* (г*) G (г*, |
r'i)dVk = |
|
= Ф* (г/) б4/ + { d5A[G (г*, |
г ,) |
- ф* (rft) |
SA L |
* |
ft |
откуда |
|
|
j ф* (г)
По
+ S J К k sh L
Аналогично
j г);* (г) У
И ( г) G (г, г '-) dV = У] ф* (Г/) б*, +
|
|
* |
|
|
<frl>»(rfe) |
dG (rp, |
гу) |
*>г/1 |
drk |
— Ф*(г4) d/> |
dSb. |
(г) 30 |
|
аф* (г') |
Ski + |
Г/) й У = У ] |
*
|
|
|
|
dG (г*, г.) |
(Дь* |
|
дЮ(гк, г'.) |
||
+ |
S |
U |
, |
-----------/-------_ ф* |
|
|
|||
|
|
|
аг* |
|
drkdr'j |
||||
|
A S, |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (201) |
и (202) |
в (200), |
получаем |
|
|||||
Ae = |
~ |
S j |
h * ( r') + |
S |
J ^ |
|
дф* (Tfe) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
SK |
|
|
|
|
|
|
|
dG(rk, r'•) |
|
; + |
||
|
|
- ф * ( п ) |
drk |
|
- A A l й |
||||
|
|
|
|
ari |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dG (rfe. ly) |
дф* (rft) |
+ |
S |
f f |
^ |
+ |
? j |
|
|
ar, |
a/-ft |
|
|
|
- ф * Ы |
a2G(rft, ry) |
Ф (И) <^/ = |
||||
|
|
|
drkdr) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(201)
(202)
182 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
+ |
S |
f |
^ |
|
drk |
drk |
|
|
|
|
|
•ф*(гл) * + |
" ф*(гл) X |
||
|
* |
i |
|
|
|
|
|
X V ^ dS] |
— G (rt„ r',) - ^ r - |
ф (r/) + |
ф (r'j) |
G (rk, r't) |
si
Так как радиальная часть функции я]) (гу) вещественна, то первый член в правой части этого выражения равен нулю и
Af
X
5И
S/
dS, |
д |
.* , s |
ч |
д |
X |
дгр |
Ф* (г*) — ф* (г,) |
|
|||
Ф (г/) ~ р ~ G (г*. г/) — G (h, г/) |
дг1 |
Ф (г/) . (203) |
|||
|
drJ |
|
|
|
В одних членах в этом выражении, как и в случае простой решетки, интегрирование происходит по сферическим поверхностям одной и той же атомной сферы, в других — по поверхностям одной и дру гой сфер. Назовем эти члены соответственно диагональными и не
диагональными. При г,- < |
г/ < |
R/ |
|
G (Г/, И) = |
Ц |
2 |
ji (ХГу) /у (к г ]) + |
|
lm |
I'm* |
|
+y .b u ’bm m 'ii (КГ,) lip (ХГу)] Y lm (Гу) Y /-,„■ (Гу).
Если подставить это выражение функции Грина и выражение вол новой функции
, |
^тах |
/ |
. |
, |
л, |
Ф ( г / )= |
2 |
2 |
J u n R d E , r i ) Y lm {Tj) |
||
|
/=0 |
т«=—/ |
|
|
|
в формулу (203), то диагональные члены примут вид |
2 |
2 ClmcVm- [ji (ХГу) R\П — /у (ХГу) R[U)] X |
|
|||
lm I'm* |
|
|
|
|
|
X |
[А\М}'т’ (jl' (xr,) |
— /V (xr,) $ - ’) + |
|
||
|
|
+ |
хбп'бшт' In/'Rp0 — Л/-#/'’]}, |
(204) |
|
где |
|
|
|
|
|
/$> = |
|
d0 |
// = |
■dr, ■ii (*o)- |
|
|
|
|
|
|
|
При (гл + Гу) < |
| rvA— rV/| |
|
|
||
G {rk, Гу) = |
2 |
2 |
Ahn.l'm-it (xrft) /, (xr'/) У/т (г,;) Угш- (Гу). |
(205) |
|
|
/т |
/'т' |
|
|
Методы расчета энергетических зон в кристаллах |
183 |
Вклад, |
вносимый |
в (198) членом с rk, центрированным |
вблизи k, |
|
и с г/ вблизи /, можно записать в виде |
|
|||
2 |
2 |
....А Ь |
[fiR\k) - hR,u\ = R k in-r P' - ir R P ] , |
„ • (206) |
Irn |
I'm' |
|
rr |
Rj |
Теперь величину Л записываем в виде суммы всех диагональных (204) и недиагональных (206) членов:
л - 2 2 <2 S M t И 0 .ияГ, | -
k,j l,m I'm*
(/)
~ i lRil\ b=Rb [ j r R r - i r R Y )} . 'k=nk
r
„ +
Ri
+ x6/r6mm-6;/- [jiR\k) — jtR rX |
|tii'R't-R — n rR p ], |
|
T R> |
Используя найденное выражение для Л, получаем следующую си стему уравнений:
|
|
2 |
М /тД 'пГ U rR P — |
jl'RP] |
’ |
+ |
|
|
||
|
|
I'm'j |
|
|
|
|
rr |
Ri |
|
|
|
+ |
'H&ll’Smm-hj [ t lf R P |
— ni'Ri/ )]r=RjClt'm’ = |
0. |
|
|||||
Для того |
чтобы эта система имела нетривиальное решение, должно |
|||||||||
выполняться условие |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Det | |
[ji'R r1— jrR P] |
, |
+ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
rT Ri |
|
|
|
|
+ |
Kbll'Smm’bkj [Пг Rr') — Щ-R P ]. |
|= |
0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ri=Ri |
|
|
|
Разделив |
каждый |
столбец этого |
детерминанта |
на |
[/V Rp!) — |
|||||
— ji' R p ] r ~ R r |
получаем секулярное |
уравнение |
|
|
||||||
|
Det |
,ь |
■+ |
|
П,. -- n,,L]0 |
I |
= |
0, |
||
|
|
xSll'Smm'&kj |
----- . |
(/) 1 - |
||||||
|
|
|
|
|
I l r - l r Lr |
\ri=Rl |
|
|
||
|
|
|
b P |
= R\0 (r'j) |
dr'jT- RP |
(П). |
|
|
||
Вычисление диагональных структурных |
констант Л/шЖт' ана |
логично вычислению их для кристаллов с простой решеткой, имею щей такую же трансляционную симметрию. Рассмотрим недиагональ ные структурные константы.
Вследствие эрмитовости функции Грина
Л(, Ч m- - АУР-lm*
— л гт\
184 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
Функция Грина может быть записана в виде
G[kJ) (г*, 17) |
2 |
(К + к 1 я - £ 6ХР' (к + К«) • - fv,) X |
|
кл |
|
|
X |
exp i (k + K J •(r* — r,). |
Разлагая exp i (k + K„) • (jk — гу) по сферическим гармоникам и сравнивая результате (205), при k Ф j получаем
cilm.l'.n' — |
(4л)2 |
■1—1’ |
|
v |
exp i (k + |
K„) •(rV/; - |
rV/) |
||||
|
|
|
|
(k + |
K„)a - E |
X |
|||||
f i ° |
i , ( w f c ) |
/> |
( w ’j) |
{ r |
|||||||
|
|
||||||||||
x ii ( |k + |
КJ rk) jr |
( I k + |
K„ |r]) Y |
(k) Y,.m. (k). |
|
||||||
Функцию Грина теперь можно записать в виде |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 v |
e*P‘'(k + |
K„)-(rV/;- r |
) |
|
|||||
G ( Г* . Г/) - |
Q 0 2 j |
|
(k - |
К п )2 - |
Е |
|
х |
|
|||
|
|
кл |
|
|
|
|
|
|
|
||
X exp i (к + |
К„) •R k i = ----- У |
(к + |
КпГ - Е |
X |
|||||||
|
|
|
|
|
Ц. |
|
|||||
х exp i (к + |
Кл) •(rVft — rv.) 2 |
Ч) ( |k + К„ |Rki) Y im(R*/) Y*m(k) |
|||||||||
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
||
G ( r k , г/) = |
2 |
|
( I k |
+ K„ I R k i) |
Y |
ш |
(R */)• |
|
|||
|
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эти два выражения, получаем |
|
|
|
|
|||||||
•-'LM = — |
•X |
iL ~ k + |
|
_ £ - exp i (k + |
K J |
•(rv* - |
rv,) X |
x Y lM(k).
Можно показать, как и в случае кристаллов с простой решеткой, что
ЛЧ) |
_ |
А„у—1' v |
■Lr |
/-><*-/) |
|
Slim,I'm’ |
— |
m i |
l |
^ L,m —m’\ |
L,m—m', |
|
|
|
LM |
|
|
где |
|
|
|
|
|
C b .m —m ’ -, Im .l’m - = |
j" Y |
(k) Y/m (k) Yi'm>(k) dQk. |
|||
Применяя метод Эвальда, для |
структурных |
констант получаем |
|||
выражение |
|
|
|
|
|
D^lm = D^lm (1) + D(lm (2) -f- Поол> (3) &lo&mo,
Методы расчета энергетических зон в кристаллах |
185 |
где
П<*.Л,М |
К |
|
V exp*(k + |
K „)-(г |
- |
' rv;) |
|
||
|
х |
|
к„ |
(к + |
Кnf - |
Е |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х| к + Кл|"П м (к + |
Кл) ехр |
|
(к + кnf |
+ |
Е |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Я ш (2) = — —г=~ • |
К |
2 |
ехр /к •R„ |R„ — rVk + rv |
\L x |
|||||
УJl |
|
t^O |
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X УLM (R„ — rVft — rv/) j |
exp |
— i (R„ — rVft + rv/)2 £2 + |
~ |
I di, |
D0о (3) = |
Va |
у |
VT1 / |
2л |
L i |
n\ (2ri — 1)1 |
|
|
|
ri=0 |
|
(параметр tj выбирается исходя из условия сходимости). Релятивистское обобщение метода функции Грина. Релятивист
ская модификация метода Кона — Ростокера предложена в работе [69]. В релятивистском методе функции Грина решение уравнения Дирака (83) должно удовлетворять граничным условиям (84) для каждой компоненты биспинора. В уравнении (83) потенциал имеет вид ТИГ-потенциала. Введем функцию Грина G (г, г'), удовлетво ряющую уравнению
\са ■р + - i -р с2 — WJG (г, г') = — б (г — г') /, |
(207) |
где / — единичная матрица 4 X 4 , и граничным условиям
G (ri. О = ехр'к •dG (г2, г'),
dG (г,, г') |
.. , dG (г„, г') |
-----Vй— - = |
— ехр гк ■d -----— - |
д я . |
дп„ |
Г] и г2 находятся на противоположных гранях элементарной ячейки, а гц и п2 — единичные векторы, направленные по внешним нормалям к граням элементарной ячейки в точках iy и г2).
Функция Грина может быть построена при помощи плоских волн, удовлетворяющих однородному уравнению, соответствующему урав нению (207) и блоховским граничным условиям (84) для каждой компоненты биспинора:
G(r, г') |
= |
■2 S |
|
и (т , кп)и+ (т , к„) |
|
|
\V„ — W |
|
|||
|
|
т = ± |
|
|
|
+ |
|
ч(m, kni о+ (т. кп1 |
[ |
ехргкл - (г — г'), |
(208) |
|
Wn- W |
|
186 Глава 2. Расчет энергетических вон в твердых телах
где кл = к + Кл, а и ( m, k J ехр гкл • г и v (т, кл) ехр г'кл • г — решения уравнения Дирака (83) для свободных частиц с положительными и отрицательными энергиями:
/
и(т, k j ехр ika •г = {■
v(m, k j ехр гкл •г =
|
У. (яг) |
|
|
Щ , |
со ■1< |
х (/га) I ехр гкл • г, |
|
|
|||
|
|
|
|
' ^ |
+ - с2 |
|
|
|
|
|
(209) |
|
са •кл |
|
|
|
------ ~ 1 ( т ) |
|
|
П7л + “Г с2\ 2 | |
1^ + 1 Г с2 |
X |
|
'Мп |
|
X(т) |
|
|
|
хехр/ кл -г. |
(210) |
Как видно из выражения (208), функция Грина обладает свойст вом эрмитовости G (г, г') = G* (г', г). Используя функцию Грина, сводим дифференциальное уравнение (83) к интегральному урав нению
V (г) = j G (г, г') V (г') ¥ (г') dV.
а.
Это уравнение можно получить, применяя вариационный принцип
6Л = 0 ,
где
Л = j W+ (г) V (г) W (г) dV -
- |
|
j j |
(г) V (г) G (г, |
г') |
V (г') ¥ (г') dVdV'. |
(211) |
/ИТ-потенциал |
имеет вид |
|
|
|
||
|
| М | г |
— R„ — г„|) |
при |г — R„ — r v | < / ? v, |
|
||
V (г) = |
(I |
vc при всех других |
г, |
|
где Rv выбраны так, чтобы атомные сферы не перекрывались. Сдви гая нуль отсчета энергии так, чтобы vc = 0, определяем вклад в Л, который вносят только области внутри сферы. Вследствие сфериче ской симметрии потенциала в атомных сферах волновые функции внутри сфер можно представить в виде
чцг) = |
„ ( V I [ г — rv | |
(г — rv) |
' v , " A v |
i, (2i2) |
|
v К д |
\ - S KfW ( | r - r v| ) X l « ( r - r v), |
|
Методы расчета энергетических son в кристаллах |
187 |
|||||
где хд (г) — нормированные двухкомпонентные спиноры, |
|
||||||
|
]" 7д+ (г) |
(г) dQ = бдд'бцц', |
|
|
|||
|
(а ■- f ) Х'к (г) = |
(о •г) 1% = |
- iS А |
(г), |
(213) |
||
Так |
(а- 1 + l)3Cfc(r) = - * X }U r ). |
|
(214) |
||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = г (г ■V) — г х |
(г X V) = г |
----- х |
1, |
|
||
где |
I = — гг X V — орбитальный |
момент, и |
|
|
|||
то |
(а •А) (а •В) = А ■В + га •(А X В), |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
а ■I = га •г X 1 |
|
|
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(а •р) = — г (а •г) |
+ ~ |
(о ■Г) (<* •1). |
|
|||
Используя формулы (213) |
и (214), |
получаем |
|
|
|||
|
(а •р) %/< (г) = |
— 5дХ!1д (г) |
+ - - ~ — j • |
|
Функции gK (г) и /д (г) удовлетворяют уравнениям (123). При помощи формул (83) и (207) объемные интегралы можно преобразо вать в поверхностные. Для учета сингулярностей в функции Грина совершаем предельный переход
Л = lim Ле,
с^0
где |
|
|
|
ЛЕ= 2 |
J |
dV'Y* (г) V (г) [¥ (г) - |
|
v |Г— r v | < i ? v - 2 в |
|
||
- 2 |
I |
dV'G(r,r')V(r')^(r')]. |
(215) |
v' 1Г'—r^i-|<J?v—е |
|
|
|
Учитывая уравнения (83), (207) и эрмитовость а и Р, получаем |
|
||
¥ ( r ) - 2 |
J |
dK,G (r,r')/(r,)4r(r,) = |
|
v ' |Г'— r v - | < « v . — е |
|
= х1'(г)+ 2 |
J |
dFG(r, г')(са-р' + 4 - с2Р - Г ) ЧГ(г') = |
||
V |
|r'-rv,|</?v. - £ |
' |
' |
|
= ^ ( 0 + 2 |
j |
Л " |
|
+ , |
с о с р ' + ^ Р - Г С (г, г') т ТД г')- |
v'|r'—r v.|<J?v/—£
188 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах
— ic 2 |
Ц |
G (г, г') ос ■dS'4^ (г') = |
|
|г'—l'v'l=RV--“■ |
|
||
= — ic J j |
j |
G (г, г') се •dS'W (г'), |
(216) |
V ' |
| r '— r v - | = K v ------F |
|
где dS' — элемент поверхности в направлении внешней нормали к сфере. Из уравнений (215) и (216) находим
Л8= |
_ / с2 Е |
|
J |
|
dV y+ (r)V(r) |
|
J |
G (г, г') |
х |
|||||
|
|
v |
v ' i r - r v | < f l v - 2 e |
|
|
| Г '— r V ' | = « v — e |
|
|||||||
|
|
Xa-dS'W (r')—c22 |
2 |
|
J |
|
4'+(r) |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
v' |
|r-rv| i« v-2 F |
|
|
|
||
|
|
|
Xcc-dS |
|
j |
|
G (г, г') a |
•dS'W (r'). |
(217) |
|||||
|
|
|
|
|
k'—rV'l=Rv—e |
|
|
|
|
|
||||
Функцию Грина (208) можно представить в виде |
|
|
||||||||||||
_ |
, |
V |
^ |
o(vvH |
( ' l |
{ P |
lr ~ |
rvl)XK(r — Tv) |
|
|||||
G ( |
r , r ' ) |
= |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Д.МК’Ж |
|
|
\ — -f- jT (p I r — rv I) Xk Л (г — rv) y |
|
||||||||
X (/V (PI r' — rv-1) |
|
(r' — rV'), |
- ^ / r ( p | r ' - r v- | ) X ^ ( r '- r v<))+ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
f i l |
(p I Г — rv I) 1»K |
(r — |
rv) |
|
|
||||
|
+ |
6vv' / , p I |
|
p |
|
I r — |
rv I) XI|_K (r — rv) |
|
||||||
|
|
|
t l |
|
y - |
- |
^ j T |
(P |
|
|||||
X (n, ip\r'— rv.| )rt(r'— rv), — ± - П- {p Ir' — rv |) X*i+ (г' - rv)), |
(218) |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = K , |
l |
— К |
|
— 1 = / — 1 |
|
при К > О, |
|
|||||
|
|
l — — К |
— 1, 7 = — К = |
l + I |
при К С О , |
|
||||||||
г и г' находятся соответственно в |
v- и |
v'-й |
атомных |
сферах и |
( г — |
|||||||||
— гг |< ; |г' — гг|, |
если |
|
i = г', |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Р = У |
Е + |
|
при £ > |
О, |
|
|
||||
|
|
|
Р = |
1 У |
— Е — - f |
при £ |
< 0. |
|
|
Величина ВкДлтп зависит от £ и к и может быть вычислена при помощи структурных констант, использующихся в нерелятивист ском методе функции Грина. Подставляя выражения (212) и (218)
Методы расчета энергетических вон в кристаллах |
189 |
в уравнение (217) и совершая предельный переход при е |
0, полу |
|
чаем |
|
|
Л = 2 2 2 |
cK u ^K ix,il'ii'c<K'p.’ t |
|
v,v' К,К’ и,и' |
|
|
где
= {cfW ( R v) и
x -бЙиХ'ц' + p8v,V'8K'K'бд,д'
(pRv) ~ p S Kg T (Rv) jj CpRv)} x
cf{K (fiy) ni (pRv)— pSKg $ (Rv) nj (pRv) I
X
cfT (Rv) h (pRv) ~ pSKg $ (Rv) iT (PRV) j
X [ c f P ( R v -) ] v ( p R v') — p S K ’g P( |
( R v-) j 7. { p R V')\. |
Так как согласно вариационному принципу Л должно быть стацио нарным по отношению к изменениям коэффициентов с^1 , то, варьи руя Л по с}?,}, получаем систему уравнений
2 |
2 |
2 ^ки,К'и'сК’1' = 0. |
V ' |
К' |
к ' |
Для того чтобы эта система имела нетривиальное решение, детерми нант матрицы ЛкмсдДолжен быть равным нулю:
Del |
= 0. |
Если разделить каждый столбец и каждую строку матрицы на вели чину
c f {K ( R v ) i t ( p R v ) — p S K g K( ( R v ) i j ( p R v ) ,
TO |
|
|
Cfft1(r) til {pr) — p S p ^ |
(r) tij (pr) |
|
Det |Д/сДж,д '+ p 8v,v'8k ,K'8u.w |
(f) il (pr) — PSKg{ |
{Г) ij (pr) |
cf(K |
||
= |
0. |
|
Это уравнение и есть искомое соотношение между Д и к .
Теперь докажем справедливость выражения (218) для функции
Грина (208). Воспользуемся соотношениями [70] |
|
|||||
ехр /к •г/2 = |
4я 2 |
i‘ii ФГ) |
(г) |
(к), |
||
|
|
КД |
|
|
|
|
cos (р |г — г' |) |
4 = |
Р 2 |
i l ( р г < ) |
П[ (pry) 1%(Г) х£+ (г'), (219) |
||
4я |г — г' | |
||||||
|
|
|
|
|
где /2 — единичная матрица 2 x 2 . Разлагаем плоские волны (209)