книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

160 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах

получаем

L ' P , (к/ • к,) = — i (к £ х к ,)4 P'l (к, • к,)

(i означает, что производная берется по азимутальному углу век­ тора к,-). Так как при К > О I — К, то выражение (146) доказано. (При К < 0 выражение (146) доказывается аналогично.)

Докажем выражение (147). Подставляя значения коэффициен­ тов Клебша — Гордона в (145), получаем

162 Глава 2. Расчет энергетических вон в твердых телах

где

Для того чтобы сравнить методы РППВ и ППВ, объединим в (154) вклады положительных и отрицательных значений К для фиксиро­ ванного значения I в сумме по К'-

В нерелятивистском случае можно получить 160]

Подставляя это выражение в (155), получаем

п

i/'v m = Gv6„

где Gv совпадает с выражением (99).

Метод функции Грина и его релятивистское обобщение

Метод функции Грина. Метод функции Грина, или метод Корринга — Кона — Ростокера (ККР) (62, 63], очень близок к методу ППВ. Однако формулируется он значительно сложнее. Изложим суть это­ го метода на примере применения к моноатомным кристаллам. В ка­ честве элементарной ячейки в таких кристаллах можно рассма­ тривать ячейку Вигнера — Зейтца. На противоположных гранях ячейки волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера (19), должна удовлетворять граничным условиям (84). Вве­

удовлетворяющую таким же граничным условиям, как и волновая функция ф (г):

G (гь г') = ехр /к ■dG (г2, г'),

т. е. она зависит только от разности аргументов г — г', при этом вы­ полняется условие эрмитовой сопряженности

G (г, г') = G* (г', г).

Приведем функцию Грина к виду, в котором вместо разложения в обратном пространстве выполнено разложение по векторам решет­ ки. Для этого воспользуемся равенствами

■ щ г I ехР (г' (к + К„ — К) •г] dV = 6 (к + К„ — К),

6:

164 Глава 2. Расчет энергетических зон в твердых телах

При помощи функции Грина можно получить интегральное уравне­ ние

а.

Для проверки уравнения (158) достаточно подставить его в уравне­ ние Шредингера (19) и учесть соотношение (156). Справедливость (159) вытекает из эрмитовости функции Грина.

Следующий шаг заключается в построении функционала, варьи­ руя который можно получить интегральное уравнение (158). Непо­ средственной проверкой можно установить, что искомый функцио­ нал

Л = J ф* (г) V (г) ф (г) dV — j" [ ф* (г) V (г) G (г, г') V (г') ф (г') dVdV'

(160)

исчезает при вариациях ф, в частности и таких, которые не удовле­ творяют граничным условиям. Это значительно расширяет выбор пробных функций.

Пусть ф (к, г) — решение уравнения (158), соответствующее квазиимпульсу к и энергии Е (Е входит через G). Тогда ясно, что (160) обращается в нуль:

Л (ф, к, Е) = 0.

Если теперь ф, — пробная функция,

ф, = Ф (к, г) -f е%(к, г),

где е — параметр малости, то

Л (ф/, к, Е) = О (е2).

Следовательно, энергия, найденная из уравнения

Л (Ф/. к>Et) = о

для данного к, имеет вид

Et — E — 0 (е 2),

т. е. по сравнению с пробной функцией ошибка в значении энергии второго порядка. Аналогично для данной энергии Е из выражения

А (ф„ k„ Е) = О

находим к/:

к, — к = 0 (е 2).

Для нахождения экстремума функционала (160) используем пробную функцию в виде

Ф = 21 C(CPi. i

Обозначим

Варьируя значения Л, получаем систему линейных уравнений

Так как для данных функций ф, (г) величины Л,-/ являются функция­ ми только от к и Е, то система (162) отражает искомую связь между к и £ в виде

Det Аи = 0.

Коэффициенты С/ определяются из (162). Величины Ац для произ­ вольного потенциала трудно вычислить главным образом потому, что в (161) интеграл шестикратный, функция Грина является сингу­ лярной функцией при равных аргументах, а область интегрирова­ ния — ячейка Вигнера — Зейтца, как правило, сложной формы. Упростить формулу (161) можно при помощи МГ-потенциала. Энер­

1=0ш=—/

факторы, являющиеся, как отмечалось выше, функциями от Е и к и характеризующие кристаллическую решетку. Подставляем вели­

где R, (r) = 1 нормировано при г = Дсф (для получения более про­ стых формул). Делим каждую строку в определителе, составленном из элементов (168), на L,j, — /V, а каждый столбец — на L,-ji— /{< (при этом корни определителя не изменяются). Получаем уравнение

П[ — niLi

Это уравнение и описывает связь между Е и к. Для вычисления опре­ делителя (169) существуют различные способы. Можно, например, фиксировать точку к и находить те Е, которые обращают определи­ тель в нуль, а можно фиксировать Е и находить те к, которые также обращают (169) в нуль. Второй способ очень удобен для изучения по­ верхностей постоянной энергии в k-пространстве. Порядок секулярных уравнений можно уменьшить для точек к, находящихся на пло­ скостях или линиях высокой симметрии. В этом случае строятся волновые функции, преобразующиеся по неприводимым представ­ лениям группы симметрии кристалла,

V = 2 c f YT (0, ср),

и

где кубические гармоники имеют вид

YT (9, ф) = 2 <*1тУlm(9, ф). m

причем коэффициенты а/^, определяемые при помощи теории групп, можно выбрать так, что

2 aimO-Im = 6,1

(у — тип неприводимого представления, a i — кубические гармони­ ки с данным /, преобразующиеся по неприводимому представлению у). Уравнение (169) принимает вид

где Aim,pm' — константы, которые следует выбирать так, чтобы удов­ летворить граничным условиям. Окончательно при г < г' < R cф получаем

G (г — г') = 2 2 [Aim, I'm'ii (w) jr (кг') + lm I'm'

Воспользовавшись разложением функции плоской волны по сфе­ рическим функциям

4л 2 i ‘ h { k r )

///1

получаем следующее выражение для функции Грина:

х /, (|к + Кп И /V (I к + к„ |Г') Y,m(г) YVm. (г') х

х Y)m(к + К„) Yt,m. (к + K J.

Сравнивая это выражение с формулой (172), находим

Поскольку G (г , г ') является функцией от R = г — г', коэффициенты Aim,i'm- можно определить при помощи разложения G относительно R. Запишем G в виде