книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

занным образом с векторами Ьх и Ь2 и имеющий минимальный объем, является основным.

Теорема. Объем параллелепипеда, построенного на любой трой­ ке некомпланарных векторов гх, г2, г3 из группы Тп, не меньше объема Q„ основного параллелепипеда.

Теорема. Объемы всех основных параллелепипедов данной группы равны между собой.

Любой из основных параллелепипедов может быть построен следующим образом.

Выберем произвольно вектор а £ Тп, а2 — вектор, принадлежа­ щий группе Тп, параллельный а и имеющий минимальную длину.

надлежащих Тп, лежащих в плоскости аф и имеющих минимальную проекцию на прямую, которая перпендикулярна вектору а2 и лежит в плоскости аф. Векторы at, а2 определяют одну из граней основного параллелепипеда. В качестве вектора а3 выберем тот из с £ Тп, который не лежит в плоскости aza2 и имеет наименьшую проекцию на прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Из указанного способа построения основного параллелепипеда следует, что одно из его ребер может быть направлено вдоль лю­

aL, а2, а3, равен (ах [а2, а 3 ]), при этом объемы всех параллелепипедов, построенных на различных тройках векторов, выбранных указан­ ным выше способом, равны между собой.

Кристаллическую решетку можно рассматривать как решетку, состоящую из тождественных элементарных ячеек. Вершины па­ раллелепипедов, принадлежащих каждой элементарной ячейке, называются узлами Браве, а решетка, образованная узлами Бра­ ве,— решеткой Браве. Узлы решетки Браве в общем случае не яв­ ляются узлами кристаллической решетки, т. е. местами располо­ жения атомов или ионов. Действительно, в общем случае при по­ строении решетки Браве в качестве нулевого узла можно выбрать произвольную точку кристалла, поэтому и остальные узлы решетки Браве могут попасть в произвольные, но эквивалентные точки крис­ талла. (Эквивалентными точками кристалла будем называть такие точки, которые по всем физическим и геометрическим свойствам неотличимы друг от друга. Группа симметрии кристалла состоит именно из таких преобразований, которые совмещают каждую точку кристалла с ей эквивалентной.)

52 Глава 1. Элементы зонной теории

Если на элементарную ячейку кристалла приходится один атом, то удобно совместить узлы решетки Браве с местоположением ато­ мов, и тогда решетка Браве совпадет с реальной решеткой кристал­ ла. Если же на элементарную ячейку приходится несколько атомов, то в качестве нулевого узла решетки Браве можно выбрать место­ положение лишь одного из атомов элементарной ячейки, т. е. число узлов решетки Браве меньше числа реальных узлов кристалличе­ ской решетки.

Такую сложную решетку можно представить как решетку, со­ стоящую из нескольких (по числу атомов в элементарной ячейке) вдвинутых одна в другую решеток Браве, нулевые узлы которых совпадают с местоположением каждого атома в нулевой элементар­ ной ячейке. Однако трансляционная симметрия кристалла харак­ теризуется, разумеется, лишь одной из решеток Браве.

Параллельными переносами ta, где а = т 1а1 + /?г2а2 + ni2a 3, в общем случае не исчерпываются все преобразования симметрии кристалла, так как в кристалле могут быть эквивалентные точки, не совмещающиеся друг с другом никаким переносом ta, и кроме трансляций в группу симметрии решетки могут входить также по­ воротные элементы: повороты, отражения и зеркальные повороты

Симметрия решеток Браве

Всякий поворот и л и зеркальный поворот, который переводит любой вектор векторной группы Тп в какой-либо вектор этой же группы, называется элементом симметрии группы Тп. Этот элемент преобразует решетку Браве саму в себя, так как векторная группа является характеристикой решетки Браве. Совокупность элемен­ тов симметрии группы Тп образует некоторую точечную группу К, называемую группой симметрии векторной группы Т п. Точечная группа К является также группой симметрии решетки Браве. Каждый элемент г £ К переводит любой вектор а £ Тп в другой вектор а' = га £ Тп. Для дискретной векторной группы это тре­ бование сводится к условиям

Две векторные группы, имеющие одну и ту же группу симмет­ рии, принадлежат одной и той же сингонии (системе). Таким обра­ зом, система — это совокупность всех векторных групп, имеющих одну и ту же группу симметрии. Существует всего семь систем.

Во всякой векторной группе Тп наряду с вектором а существу­

очевидно, не равен нулю и перпендикулярен оси С„. Пусть, далее,

Таким образом, группа К может иметь оси Сп только второго, третьего, четвертого и шестого порядков. В плоскости, перпенди­ кулярной оси С„, лежит по меньшей мере один вектор группы Т„.

Теорема. Если группа К содержит подгруппу Сп (п > 2 ), то она содержит и подгруппу Спи.

Для доказательства выберем прежде всего три основных вектора группы Т„: at — самый короткий из векторов, лежащих в плоскости Р, перпендикулярной оси Сп; а2 — вектор Cnat (это можно сделать, так как если бы внутри параллелограмма со сторонами ах, а, поме­

оси (или равна нулю) и принадлежит группе Тп. Поэтому она может быть представлена в виде

м Глава 1. Элементы зонной теории

Обозначим через av отражение в плоскости, проходящей через ось

выводятся из группы Тп. Это означает, что av содержится в группе

держат инверсию, 2) не содержат осей пятого, седьмого и более вы­ соких порядков, 3) кроме осей третьего, четвертого и шестого по­ рядков содержат также плоскости, проходящие через эти оси. Каждой из указанных семи точечных групп соответствуют по край­ ней мере одна векторная группа Тп и решетка Браве, для которой эта точечная группа является группой симметрии. Одной и той же группе симметрии К могут соответствовать различные векторные группы, т. е. различные решетки Браве.

Таким образом, существует всего семь групп симметрии К, т. е. семь систем решеток Браве.

Типы решеток Браве

Две векторные группы, принадлежащие одной системе, называ­ ются однотипными, если одна из них может быть переведена в дру­ гую с помощью непрерывной деформации, при этом в процессе де­ формации симметрия векторной группы не понижается. Из этого определения следует, что различные векторные группы могут быть построены одна из другой путем непрерывного изменения парамет­ ров, допускаемых группой симметрии. Всего в семи системах имеет­ ся 14 типов векторных групп, а следовательно и типов решеток Браве.

1.Триклинная система имеет один тип решетки Браве — прос­ тую триклинную Гх, векторы аи а2 и а3 произвольные.

2.Моноклинная система — решетки: простая моноклинная Г,„,

а3 _L Ях, а3 _|_ а2;

базоцентрированная моноклинная Г™,

а4 = (а, Ь, 0), а2 = (а, — Ь, 0), а3 = (с, 0, d).

Система А является подчиненной по отношению к системе В, если точечная группа симметрии системы А является подгруппой точечной группы симметрии системы В и каждый тип решетки, принадлежащий системе В, может быть переведен в один из типов решетки системы А при помощи бесконечно малого непрерывного преобразования базисных векторов, соответствующих понижению

56 Глава 1. Элементы зонной теории

симметрии точечной группы от В к А. Схему подчинения систем мож­ но представить следующим образом:

Система и тип решетки характеризуют группу симметрии крис­ талла не полностью, так как определяют лишь симметрию его ре­ шетки Браве. В сложных решетках, имеющих более одного атома в элементарной ячейке, совмещение решеток Браве еще не означает совмещения всех эквивалентных точек. Поэтому симметрия кристал­ лической решетки может не совпадать с симметрией ее решетки Браве (она может быть ниже ее). Например: решетки Браве всех кристаллов содержат инверсию, однако не у всех кристаллов ин­ версия является элементом симметрии.

Рассмотрим симметрию направлений в кристалле. Эквивалент­ ными направлениями в кристалле называются такие направления, вдоль которых все физические свойства кристалла одинаковы. Со­ вокупность всех вращений и зеркальных поворотов, которые пере­ водят каждое направление в ему эквивалентное, образует точечную группу F, характеризующую симметрию направлений. Элементы группы F не обязательно принадлежат группе симметрии кристал­ ла, так как они не переводят все точки кристалла в им эквива­ лентные. Для того чтобы элементы группы переводили все точки кристалла в им эквивалентные, необходим, как правило, парал­ лельный перенос — трансляция на некоторый вектор а, не являю­ щийся вектором решетки Браве. Поэтому, хотя сам по себе элемент г не входит в группу симметрии кристалла G, элемент tar принадле­ жит группе G.

Всякий элемент группы F является в то же время элементом группы К {К — группа симметрии группы трансляций). Действи­ тельно, если г — какой-либо элемент группы F, а а,, а.,, а3 — тройка основных векторов группы Тп, то ra.lt г&2, га3 также являются век­ торами группы Тп, поскольку в противном случае операция г на­ рушила бы эквивалентность направлений. Следовательно, группа F содержится в группе К и называется кристаллическим классом.

Каждый класс является подгруппой группы симметрии вектор­ ной группы. Всего существует 32 кристаллических класса, соответ­ ствующих различным подгруппам семи групп симметрии решеток

личных точечных групп, определяющих симметрию решеток Браве. Кристаллический класс F принадлежит системе К , если 1) группа

Таким образом, каждая пространственная группа G относится

кодному из 14 типов и к одному из 32 классов. При этом тип группы

взначительной мере ограничивается ее классом. Тип группы G

Для характеристики симметрии кристалла недостаточно ука­ зания кристаллического класса и типа решетки. Класс кристалла характеризует симметрию группы направлений. Для описания про­ странственной группы, определяющей микросимметрию кристалла, как указано выше, требуется еще знание величины вектора транс­ ляции а, которая необходима для того, чтобы совместить все точки кристалла с им эквивалентными. Поэтому каждому элементу г из группы направлений F, т. е. вращениям, отражениям и зеркаль­ ным поворотам, соответствует некоторая нетривиальная трансля­ ция а. Наличие такой трансляции в группе симметрии кристалла свидетельствует о сложности кристаллической решетки, т. е. в эле­ ментарной ячейке есть по крайней мере два атома одного сорта. Такую решетку молено рассматривать как систему вдвинутых друг в друга тождественных решеток Браве. При преобразованиях tar, где а = а„, узлы одной из таких решеток переходят в тождествен­ ные узлы другой.

Все пространственные группы, принадлежащие одному классу, отличаются по набору векторов а и соответствующих элементам симметрии rit которые образуют группу F. Векторы а можно раз­ ложить по векторам а,-:

«и соответствующий Е, всегда можно принять равным нулю. Можно построить 230 пространственных групп, принадлежа­

щих 7 системам, 14 типам и 32 кристаллическим классам. Рассмотрим структуру пространственных групп. Во всякой

пространственной группе есть абелева подгруппа трансляций Тп на основные периоды решетки с элементами ta . Эта подгруппа яв­

ляется нормальным делителем пространственной группы. Действительно, все элементы пространственной группы G, со­

пряженные с ta , также являются трансляциями и, следовательно, содержатся в Тп:

Разобьем все элементы пространственной группы G на классы смежности по подгруппе трансляций Тп и построим фактор-группу по этой подгруппе. Классами смежности являются произведения всевозможных трансляций tafi на каждый из элементов {tn k<},

^п> Ik , кг} Тп, •••, {^ап\гп)Т п.

Ясно, что вращательной частью всех элементов в системе {ta |rf} Тп является rt. Справедливо и обратное: все элементы группы G, вра­

Этот элемент является членом пространственной группы и в то же время трансляцией на вектор решетки, так как единичному элементу вращательной группы в пространственной группе соответствует трансляция на вектор решетки. Таким образом, t' отличается от Ц только на вектор решетки, и, следовательно, {t'|/y} входит

в совокупность элементов {ta кг} ^л- Поэтому существует взаимно

кристалла. Это соответствие изоморфное, так как произведение

Можно сформулировать теорему.

Теорема. Фактор-группа любой пространственной группы, при­ надлежащей данному классу, изоморфна точечной группе F; про­ странственные группы, принадлежащие одному классу, гомоморф­ ны точечной группе. Ядром гомоморфизма является группа транс­ ляций.

Пространственные группы делятся на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие группы, в которых после каждой операции симметрии из точечной группы F осуществляется трансляция на вектор решетки (существует 73 симморфные прост­ ранственные группы). В таких группах элементы имеют вид (taJ г].

Атомы в кристалле могут быть расположены в узлах решетки Браве, а точечная группа является подгруппой пространственной

В несимморфиых группах точечная группа F не является под­ группой группы G, так как элементы симметрии, связывающие раз­ ные подрешетки, состоят из вращений с последующей нетривиаль­ ной трансляцией. Для описания несимморфиых пространственных групп необходимо знание не только кристаллического класса и решетки Браве, но и нетривиальных трансляций, соответствующих элементам точечной группы кристалла.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП

Группы трансляций

Для рассмотрения представлений группы трансляций использу­ ем циклические граничные условия, т. е. будем считать, что после

трансляции на L + 1 периодов трансляция ta(+1 совпадает с ta., т. е.

Произвольный элемент из группы Тп можно записать в виде

la — 1а,1аг1д3>

где все трансляции коммутируют друг с другом и, следовательно, группа трансляций абелева.

Группу трансляций Тп можно рассматривать как прямое про­