книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

10 Глава 1. Элементы зонной теории

Отметим некоторые свойства сопряженных совокупностей. Если gk — произвольный элемент из класса gkH, то левосторонние сопря­ женные совокупности gkH и g kH совпадают, так как g'kH = = gk (haH), т. е. всякая левосторонняя сопряженная совокупность определяется любым своим элементом.

При построении сопряженных совокупностей элементы gt выби­ раются произвольно. Покажем, что при любом допустимом выборе элементов g{ получается один и тот же набор сопряженных совокуп­ ностей, так как две сопряженные совокупности gtH и gkH (g,- и gk — два любых элемента группы G) либо совпадают, либо не имеют

Skhf — gihahfr lly = gjll6

и также принадлежит сопряженной совокупности g(H.

Аналогично можно провести разложение группы G на сопряжен­ ные совокупности справа

Н, Hg\, Hg2........... Hgk_i.

Таким образом, группа G может быть однозначно разложена на сопряженные совокупности справа и слева по подгруппе Н.

Сопряженные элементы н классы

Элементы gt и gk называются сопряженными, если существует такой элемент g, что gg,g~ 1 = gk-

Свойство сопряжения является взаимным и транзитивным: если gi сопряжено gk, то и gk сопряжено gp, если gt сопряжено gk, а gk сопряжено gj, то gt сопряжено gj. Следовательно, сопряженные элементы в группе образуют совокупности. Эти совокупности назы­ ваются классами, и каждый элемент встречается в одном и только одном классе.

Число элементов Гк в классе называется порядком класса.

Пусть в выражении gigkgT1 элементы gt пробегают все элементы группы. Тогда получим все элементы, входящие в класс CSk. Каждый

элемент класса Cgll встречается в совокупности gigkgT1 одинаковое

количество раз, Гk Все элементы одного класса имеют один и

тот же порядок. В абелевых группах каждый класс состоит из одно­ го элемента.

Теорема. Совокупность произведений элементов двух классов состоит из целых классов:

C fij — 2 hii.kCk’ k

Инвариантная подгруппа (нормальный делитель)

Пусть Я — подгруппа группы G и gt £ G. Составим совокуп­

ность элементов giHgT1 (элемент gl фиксирован). Эта совокупность элементов также является группой, так как для нее справедливы все групповые аксиомы. Такая подгруппа называется подобной под­ группе Я . Если gt £ Н± то подобная подгруппа, очевидно, будет

совпадать с Я . Если gi £ Я , то в общем случае получим некоторую подгруппу группы G, отличную от Я . Подгруппа Я , совпадающая со всеми своими подобными подгруппами, называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем. Обозначим ее N. Если инвариантная подгруппа содержит некоторый элемент g £ G, то она содержит и весь класс, к которому принадлежит g. Поэтому говорят, что инвариантная подгруппа состоит из целых классов группы.

В инвариантной подгруппе N группы G сопряженные совокуп­ ности слева и справа совпадают. Действительно,

glN = giNgT'gc = Ng?

так как giNgTl = N.

Каждая группа имеет две тривиальные инвариантные подгруп­ пы: первая — сама группа, а вторая — ее единичный элемент. Группа называется простой, если она не имеет подгрупп, отличных от тривиальных, и полупростой, если ее инвариантная абелева под­ группа образована единичным элементом.

Фактор-группа

Пусть N — инвариантная подгруппа группы G. Разложим груп­ пу G на сопряженные совокупности по подгруппе Я :

Образуем совокупность gxNg2N , в которой

giNg*N = glgiN.

Все элементы вида gxg2n<x, (^а € N) находятся в одной и той же сопря­ женной совокупности (3), а именно в той, к которой принадлежит эле­ мент gxg2. Таким образом, если подгруппа — нормальный делитель,

то произведение двух сопряженных совокупностей также явля­ ется некоторой сопряженной совокупностью. Рассмотрим каждую из сопряженных совокупностей как некоторый элемент, причем первую из сопряженных совокупностей в (3) будем считать единич­ ным элементом, так как

NgyN = gig^ N gjN = g±NN = g lN.

Для каждой сопряженной совокупности g(N в (3) найдется совокуп­ ность g~lN такая, что

gTlNgtN = NN = N.

Для любых сопряженных совокупностей справедлив ассоциатив­ ный закон:

(gmN§kN) gpN = (Smgngp) N = gmN (gngp) N.

Из этих результатов видно, что сопряженные совокупности можно рассматривать как элементы некоторой новой группы, в которой N играет роль единичного элемента. Эта группа называется фактор­

док равен индексу инвариантной подгруппы.

Изоморфизм и гомоморфизм групп

Группы G и G, между элементами которых существует взаимно однозначное соответствие, не нарушающееся при групповом умно­ жении, называются изоморфными. Установление изоморфизма групп позволяет свести исследование одной группы к рассмотрению дру­

гой, изоморфной ей. Изоморфные группы G и G имеют одинаковую структуру.

Другим важным понятием в теории групп является понятие гомоморфизма. Если каждому элементу группы G соответствует

только один определенный элемент группы G, причем каждый

элемент из G соответствует хотя бы одному элементу из G, и это соответствие сохраняется при групповом умножении, то говорят,

что группа G гомоморфна группе G (при гомоморфизме разным эле­ ментам группы G может соответствовать один и тот же элемент груп­

пы G).

Гомоморфные группы обладают следующими свойствами:

1.Если группа G гомоморфна группе G, то единичному элементу

группы G соответствует единичный элемент группы G. Так как

Eg = gE — g, то Eg = gE = g, т. e. E — единичный элемент

группы G.

2. Если группа G гомоморфна группе G, то взаимно обратным элементам группы G соответствуют взаимно обратные элементы

группы G. Из gigk = Е следует gtgk = Е.

3. Если G гомоморфна G, то все элементы группы G, соответству­

ющие единичному элементу группы G, образуют инвариантную под­

группу N группы G. Действительно, пусть Е — единичному эле­ менту группы G — соответствуют элементы

• » t gb gl > •••> gs

группы G. Тогда произведению^* соответствует ЕЕ — Е, а следо­

вательно, совокупность gi, g2, gs замкнута относительно группо­ вого умножения. Но, согласно свойству 1, в ней есть единичный

элемент. Для каждого £г в этой совокупности, согласно свойству 2,

найдется обратный элемент, так как Е является обратным самому себе, и указанная совокупность элементов образует подгруппу N группы G. Эта подгруппа является нормальным делителем, посколь­

ку всякому элементу вида ggig~l при произвольном g £ G в G

соответствует элемент gEg~l = Е, т. е. ggig~l принадлежит инва­ риантной подгруппе N.

4. Если G гомоморфна G, то элементы группы G, соответствующие

элементу gh образуют сопряженную совокупность g,4V, где gt —

любой из элементов группы G, соответствующих элементу gc, а N — инвариантная подгруппа, соответствующая единичному элементу

группы G. Для доказательства разобьем G на сопряженные совокуп­

ности N, gLN .......gk-iN. Любому элементу gcN соответствует gcE —

= gh т. е. один и тот же элемент g, группы G. Разным сопряженным совокупностям соответствуют разные элементы. Предположим про­ тивное. Пусть совокупностям gpV и g2N соответствует один и тот же

элемент gi £ G. Тогда g~lg2 соответствует g~lg2 = Е. Отсюда

следует gT'g2 £ N, но тогда gTlg2 = g*, g2 = gigk, а это противоре­ чит исходному предположению, что совокупности gxN и g2N различ­

одной группы, то пара элементов (g^\ g*2)) представляет собой ре­ зультат группового умножения элементов. Из некоммутирующих подгрупп, следовательно, нельзя составить прямое произведение. Чтобы убедиться в этом, достаточно в равенство

подставить вместо g*11 и g/2) единичные элементы группы. Получим соотношение

g P g P = g № ,

которое не выполняется, если рассматриваемые подгруппы не ком­ мутируют.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Матричные представления

Рассмотрим некоторую конечную группу G с элементами gx, g2, ..., gm. Если группа Т линейных операторов PSi в некотором про­ странстве R гомоморфна группе G, то говорят, что группа Т обра­

Как видим, равенство (4) выполняется. Матрицы D (gt) образуют представление порядка п группы G. Пространство Rn называется пространством представления, а базис в этом пространстве — бази­ сом представления.

Покажем, как изменится матрица представления, если в про­

странстве Rn выбрать новый базис еь связанный с efe линейным пре­ образованием

При переходе к новому базису матрицы представления подверга­ ются преобразованию подобия.

Представления D1 и Z?2 группы G называются эквивалентными, D1 ~ D2, если соответствующие друг другу в них матрицы связаны одним и тем же преобразованием подобия. Представления, в которых

16 Глава 1. Элементы вонной теории

все матрицы унитарные, называются унитарными. Если группа матриц D изоморфна группе G, то матрицы являются точным пред­ ставлением группы G.

Теорема. Всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному представлению.

Пусть задано некоторое представление D конечной группы G, состоящей из т элементов glt g2, ..., gm. Будем рассматривать мат­ рицы представления D (g{) как матрицы преобразования в вектор­ ном «-мерном пространстве Rn. Пусть х (xlt х2, ..., хп) и у (уи у2, ...

••• >Уп) — векторы в этом пространстве. Скалярное произведение векторов имеет вид

что преобразование D (gt) неунитарное и, следовательно, не сохра­ няет скалярное произведение (х, у). Покажем, что в пространстве Ra можно так выбрать новый базис, что матрицы преобразования

к диагональному виду при помощи некоторого унитарного преоб­

разования V:

т

d = v - 12 a + (ft)atei)V\ i=l

откуда

т

% D + (g()D (g l) = VdV-'t i«=i

где d — диагональная матрица.

Введем обозначения D (g{) = V~lD (gt)V и запишем

т. e. получим равенство (6). Искомое преобразование L имеет вид

L = dT V~\

Представление группы G матрицами LDLT1 является унитарным представлением. Покажем, что для произвольного элемента g^

Но если элементу пробегает всю группу, то элемент gtgk также про­ бегает всю группу. Поэтому можно окончательно записать

Приводимые и неприводимые представления

Пусть в пространстве Ra задано представление D группы G. Если в пространстве Ra существует подпространство Rk (k <. п), инвариантное относительно всех преобразовавши;_D, т. е. если

Dx £ Rk при х £ Rk, то представление называется приводимым. Выберем в качестве первых k ортов в пространстве Rn орты подпро­ странства Rk. Тогда матрица представления будет иметь вид

Если же в пространстве Rn нельзя выделить инвариантное под­ пространство, то представление называется неприводимым.

Покажем, что если приводимое представление D унитарно, то ортогональное дополнение подпространства Rk (обозначим его Rn—k) также инвариантно относительно преобразований D. Дей­ ствительно, пусть х £ Rk, у £ Rn-k■ Тогда (х, у) = 0. Так как подпространство Rk инвариантно, то (D (g) х, у) — 0, но

гает всю группу. Поэтому выражение (9) справедливо для всех матриц рассматриваемого представления, и инвариантность Rn—k доказана. Если теперь в качестве k первых ортов выбрать орты подпространства Rk, а в качестве последних п — k ортов — орты подпространства Rn—k, то матрицы представления будут иметь

Таким образом, 1) унитарное представление группы всегда либо неприводимо, либо вполне приводимо, 2) представление конечной группы или неприводимо, или вполне приводимо. Если представ­ ление D приводимо, то приведение его матриц к диагональному виду осуществляется, как мы видели, при помощи перехода к но-

вой системе ортов и матрицы подвергаются преобразованию подо­

Условие приводимости представления можно сформулировать сле­ дующим образом: представление D приводимо, если существует такая неособенная матрица V, что матрицы V~'DV имеют квазидиагональный вид.

Обозначим через Rn пространство, в котором реализуется представ­ ление D (g). В пространстве Rn существует по крайней мере один собственный вектор х матрицы М : Мх = Хх. Применим к вектору х преобразование с матрицей представления D (g):

D(g)x = хе.

Вектор xg также является собственным вектором матрицы М с тем же собственным значением X. Действительно,

Mxg = MD (g)x = D (g) Мх = XD (g) x = Xxg.

Отсюда следует, что подпространство собственных векторов матри­ цы М, соответствующих одному и тому лее собственному значению X, инвариантно относительно преобразования D (g). Но так как по предположению представление D (g) неприводимо, то это подпро­ странство должно совпадать со всем пространством Rn, а матрица

Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы имеют квазидиагональный вид, то всегда существует матрица, отличная от кратной единичной и коммутирующая со всеми матрицами этого представления. Легко убедиться, что такой матрицей является диагональная матрица, у которой диагональные элементы, соответ­ ствующие различным блокам матрицы представления группы, яв­ ляются матрицами, кратными единичной.

Теорема (вторая лем м а Ш ура). Пусть Dw (g) и D{2) (g) — матрицы двух неприводимых представлений группы G