книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

порядка щ и п2 соответственно. Тогда всякая прямоугольная матри­ ца М с пг столбцами и п2 строками, удовлетворяющая соотношению

при всех g d G, будет нулевой матрицей.

Рассмотрим эрмитово сопряжение от обеих частей равенства (10):

D(1)+‘ (,g) М+ = M+Di2)+(g).

Если представления D (1) и D(1) унитарные, то

D(lH (g) М+ = M+D(2)_1 (g)

или

D(1) (g~l) M+ = M+D(2) {g~l).

Если g пробегает всю группу, то элемент g—1 также пробегает всю группу. Поэтому последнее равенство можно записать в виде

D(I) (g) М+ = M+D(2) (g).

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу М, находим

D{2) (g) ММ+ = MM+D{2) (g).

равенства (10) мы получили бы условие эквивалентности представ­ лений

D(1) (g) = 7kT!D<2>(g) M.

Вычисляя определители обеих частей этого равенства, находим

и соответственно матрицу М * таким же количеством нулевых строк.

Отсюда, согласно второй лемме Шура, следует, что М — нулевая матрица, т. е.

Заметим, что нами не оговаривалась унитарность представлений. Поэтому равенство (14) справедливо также для неунитарных пред­

ставлений. Если же представления D{1) и DU) унитарны, то из (14) получаем соотношение (12).

Перейдем теперь к доказательству второго соотношения орто­ гональности. Составим матрицу

Н = 2 , D{i)(g )X D « (^ ),

g£G

где X — произвольная квадратная матрица порядка nt. Можно показать, что она коммутирует со всеми матрицами неприводимого

представления D{1). Следовательно, согласно первой лемме Шура, матрица N кратна единичной, т. е.

Выберем такую матрицу X, у которой единственный отличный от нуля элемент X vp равен единице. Тогда

(g) Dpa (g ) — Я,урб|да.

Если представление D(l>(g) унитарно, то из этого равенства полу­

которую можно интерпретировать как условие ортогональности и нормирования системы векторов в m-мерном пространстве. Каждый из этих векторов характеризуется тремя индексами: t, р, v, а его составляющие равны элементам матриц неэквивалентных неприво­

димых представлений. Вектор I, например, имеет составляющие Ejlv (gi), D(J.l (g2), ... Число таких векторов, соответствующих одно­ му неприводимому представлению, D1равно «?. Поэтому общее число

i

ние проводится только по неэквивалентным неприводимым представлениям). В силу ортогональности все эти векторы линейно незави­ симы. Так как число линейно независимых векторов не может

превышать размерности векторного пространства, то 2 л ? < / 7 7 .

I

Отсюда, в частности, вытекает важное утверждение о том, что число различных неприводимых представлений конечной группы конечно. В действительности, как будет показано, выполняется равенство

2 tii = m.

Характеры представлений*

Характером представления D (g) называется функция элементов группы

* te) = 2 Ат (g) = SpD (g).

Регулярные представления

Пусть задана группа G. Выполним операцию сдвига по группе, т. е. каждый из элементов группы умножим слева на gs. Если gs Ф Ф Е, то ни один из элементов группы не останется на месте. Если gs = Е, то никакого сдвига не произойдет. Сдвиг, соответствующий любому элементу gs, формально можно записать при помощи матри­ цы |Ra (gs)||порядка m:

группы G, полученное при помощи матриц R (gs), построенных таким образом, называется регулярным. Характеры регулярного, представления согласно определению имеют вид

При помощи формулы для числа неприводимых представлений (17) разлагаем регулярное представление на неприводимые части,, т. е. выясняем, сколько раз содержится в нем каждое неприводи­

мое представление D(/). Получаем г,- = tij.

Теорема. Каждое неприводимое представление содержится в ре­ гулярном представлении такое число раз, какому равен порядок этого неприводимого представления.

При помощи этой теоремы можно выразить порядок регулярного представления через порядки неприводимых представлений, на

которые оно разлагается: = т. Левая часть равенства опреде-

I

ляет число ортогональных векторов Dap. Это число совпадает с раз­ мерностью векторного пространства, и поэтому векторы D ^ об­ разуют в нем полную систему векторов.

Число неприводимых представлений

Характеры представлений также можно рассматривать как со­ ставляющие вектора в /л-мерном пространстве R,n. При этом харак­ теры неприводимых представлений, как следует из свойства орто­ гональности, образуют систему ортонормированных векторов.

Теорема. Число различных неприводимьис представлений группы равно числу ее классов.

Поскольку характеры представлений элементов одного класса совпадают, все такие векторы принадлежат подпространству RK

пространства Rm. В подпространстве R K составляющие векторов, соответствующие элементам одного класса, совпадают, составляю­ щие произвольного вектора F (F (gy), ...) обладают свойством

?(g') = F(g-'g'g)

при любых g' и g из группы G. Так как число различных составля­ ющих вектора F не может превышать числа классов в группе G, то максимальное число % линейно независимых векторов в под­ пространстве RK равно числу классов в группе. Покажем, что про­ извольный вектор F подпространства RK может быть разложен по векторам №>, соответствующим неприводимым представлениям группы G.

Вектор F принадлежит пространству Rm, поэтому его можно разложить по полной системе векторов D%:

F ( £ ') = S G M f e ' ) ,

/.а.р

ИЛИ

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с неприводимыми представлениями прямого произведения групп. Прежде всего вве­ дем понятие прямого произведения квадратных матриц.

Прямым произведением матрицы А порядка я и матрицы В порядка m с элементами а«, Ьы называется суперматрица А X В порядка я, (/, k)-M элементом которой является матрица а& В поряд­

ка т. Для примера запишем прямое произведение двух матриц вто­ рого порядка

Элементами матрицы А X В являются всевозможные произведения элементов матриц А и В. Для нумерации строк и столбцов прямого произведения двух матриц удббно использовать не один, а два ин­ декса:

Порядок произведения матриц равен произведению порядков со­ множителей.

Прямое произведение диагональных матриц является диаго­ нальной матрицей, а прямое произведение единичных матриц —

единичной. Если Л(1) и Л(2) — матрицы порядка п, а В (|) и В <2) — матрицы порядка пг, то

(Л(П X Я (1>) (Л(2) X В t2)) = Л(1)Л<2) X Д(1)Д(2).

Запишем il,km-i\ элемент левой и правой частей этого равенства. Элемент матрицы слева:

{(Л(1>х В °)(А <2) х 5 (2,)}i№n =

т. е. он равен соответствующему элементу матрицы левой части.

Теорема. Если матрицы А и В унитарные, то матрица А X В также унитарная.

(Л х в)+ = (л+ х в+) = л - 1 х в - 1= (Л х В )-1 .

Можно ввести понятие прямого произведения прямоугольных матриц, которое определяется так же, как и прямое произведение квадратных матриц. Можно рассматривать прямое произведение произвольного числа матриц.