книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Увеличим эти квадраты в б 0 / / 0 раз и проведем в правой части перегруппи­

Правильность этого тождества удобнее всего проверить непо­ средственным преобразованием к координатной форме обеих его частей, имея в виду, что вектор В = Вхі + Byj + Bzk, а • симво­ лический оператор Гамильтона

так что скалярное произведение векторов

С учетом равенства (52) и формулы (51) для силы fv получаем

/V = - b ( r o t ß ) x ß =

Найдем из этого выражения проекцию силы fv на ось х, для чего выпишем из правой части члены, содержащие орт і:

Нам необходимо получить для проекции fVx выражение, струк­ турно отвечающее формуле (48), т. е. сумму частных производных

70

по всем трем координатам. Для этого добавим в правую часть по­ следнего равенства члены

за искомые напряжения поверхностных сил магнитного поля сле­ дует принять величины:

ВхВу

Мша

Мша

Аналогичные выкладки для осей у и z определят остальные составляющие. Таким образом, объемную плотность пондеромоторной. силы fv = (j X В) можно представить через эквивалент­ ные поверхностные силы по формулам:

Таблица, составленная из коэффициентов при единичных ортах, образует тензор магнитных напряжений. Однако эти напряжения принципиально отличны от гидродинамических поверхностных напряжений.

Во-первых, реальной силой является объемная плотность пондеромоторной силы fv, а магнитные поверхностные напряжения, заменяющие ее действие, — фиктивны.

Во-вторых, в вязкой жидкости гидродинамические напряжения зависят от ускорения частиц жидкости только в данном месте (так как все производные берутся в рассматриваемой точке). Величина магнитных поверхностных напряжений зависит не от производных,

71

а от самого магнитного поля, поэтому магнитные напряжения могут меняться при изменении магнитного поля даже за пределами теку­ щей жидкости.

Магнитное давление представляет собой часть магнитных на­ пряжений, выделяемых из общего поля магнитных поверхностных сил. Как видно из формулы (53), вдоль каждой координатной оси

Если эти составляющие выделить из общего выражения для полной силы f v , то с учетом формулы (49) получим для этих состав­ ляющих:

+ - ^ ( - ^ а - ) / 7 = - е Г а С І ^ п . .

вг-

где р № г н = -s называется магнитным давлением, так как ее действие структурно описывается так же, как давление р в идеаль­ ной жидкости.

Очевидно, что формула (53) позволяет выделить из общей пондеромоторной силы /у ее часть, представляющую магнитное дав­

ление.

Величины вязких и магнитных поверхностных напряжений, ис­ пытываемых средой в рассматриваемых ГТ и КУ ориентировочно таковы: давление р меняется в пределах (ІЧ-400) • 105 Н/м2 , а вели­

=3,17.10е Н/м2 .

§10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ СРЕДЫ

Вторым основным уравнением гидрогазодинамики после урав­ нения неразрывности служит уравнение движения сплошной среды, которое является выражением второго закона механики Ньютона в применении к жидкой сплошной среде.

72

Уравнения движения, выраженные через напряжения

Для вывода уравнения движения рассмотрим элементарный объем ДѴ в декартовой системе координат, ограниченный поверх­ ностью As (рис. 37).

Равновесие выделенного объема жидкости требует равенства нулю главного вектора и главного момента сил, действующих на

' г cfx

Рис. 37. Схема напряжений на гранях элементарного паралле­ лепипеда

На выделенный объем действуют массовая сила j fmp dV, по­

Преобразуем выражение для поверхностной силы, выразив ее через объемный интеграл. Тогда получим

73

уравнение движения сплошной среды, выраженное через напря­ жения

Полученное уравнение справедливо для любой сплошной среды, при условии непрерывности ее параметров. Полученное уравнение является развитием второго закона механики Нью­ тона, когда учитываются силы взаимодействия выделенного объ­

Уравнение движения идеальной среды в форме Эйлера

Для идеальной жидкости, у которой нет вязкости, касательные напряжения т равны нулю, а нормальные напряжения во всех гранях рассмотренного параллелепипеда равны и имеют направ­ ление, обратное действию давления на соответствующую пло­ щадку, т. е.

Ох = Оу = 0 г = —р.

Следовательно, в этом случае система (58) принимает вид

Умножая уравнения (59) соответственно на i, j , k и складывая их, получаем уравнение Эйлера в векторной форме

74

Второе слагаемое правой части уравнения (60) и отличает ме­ ханику идеальной жидкости от механики твердого тела. Оно опре­ деляет силу взаимодействия выделенного объема жидкости с остав­

тора (иу) и на оси координат.

Выражение в круглых скобках представляет собой оператор

и вихревого) течения идеальной среды. Однако в отдельных слу­ чаях бывает удобно рассматривать уравнения движения идеаль­ ной среды с явно выделенной вихревой частью движения. Такая форма записи уравнений движения была предложена русским ученым И. С. Громеко и английским гидромехаником Г. Лэмбом в конце X I X в.

Уравнение движения идеальной среды в форме Громеко—Лэмба

Рассматривая выражения (61), добавим к правым частям каж­

75

соответственно. Тогда получим вместо первой строки

Делая те же преобразования с двумя оставшимися строчками выражения (61), умножая каждую строку на і, /, /е соответственно и складывая, получим

~dldv = д|ѵf + grad (-£.) + 2 (сох и).

Следовательно, уравнение Громеко— Лэмба принимает вид

Уравнение движения в форме Громеко — Лзмба будет исполь­ зовано ниже в ряде разделов нашего курса. Эта форма записи уравнения движения идеальной жидкости в явном виде содержит члены с угловой скоростью вращения, которые обращаются в нуль для потенциального движения.

76

Выполнив аналогичные преобразования со второй и третьей строками уравнения (58), получим

Для несжимаемой жидкости div и = 0 и уравнение Навье — Стокса имеет вид

Подчеркнем, что в уравнение Навье — Стокса входят истинные значения скоростей и давлений и их производные. Уравнение Навье — Стокса справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося течения вязкой жидкости. Однако при анализе турбулентного течения вязкой жидкости, которое является суще­ ственно неустановившимся, целесообразно провести осреднение потока по времени и изучать такое осредненное движение. Впер­ вые такое осреднение было сделано О. Рейнольдсом в 1895 г.

Уравнение движения вязкой среды в форме Рейнольдса 1

Если в фиксируемой точке пространства параметры потока с течением времени будут хаотически отклоняться от своих сред­ них значений, то такого рода течение называется турбулентным. Турбулентное течение можно представить себе как бы состоящим из двух потоков: пульсационного и основного осредненного. Ча­ стицы потока в пульсационном движении и перемещаются хаоти­ чески по различным направлениям, и одновременно переносятся по течению основным осредненным потоком. Турбулентное дви­ жение возникает в результате наличия трения в жидкости, отрыва пограничного слоя и т. п. Особенно такое движение интенсивно в местах, расположенных непосредственно за обтекаемыми телами.

Турбулентное движение является всегда неустановившимся и хотя пульсация скорости по сравнению с осредненной скоростью потока мала, она оказывает заметное влияние на важнейшие ха­ рактеристики потока. Математические выражения, полученные для нетурбулентных потоков, в этом случае становятся недействи­ тельными.

1 Этот раздел написан О. М. Панковым.

77

Количественно турбулентные потоки оценивают двумя вели­ чинами: степенью турбулентности е и коэффициентом корреля­ ции R. Если взять в потоке рабочего тела точку А и проследить как с течением времени в ней меняются параметры потока, то зная законы изменения параметров в этой точке по времени, можно найти осредненные величины этих параметров. В самом деле, пусть изменение модуля скорости в точке А за время т будет представ­ лено кривой, изображенной на рис. 38; тогда средняя скорость

Так как пульсационная скорость ѵ' является переменной вели­ чиной по абсолютному значению и знаку, то ее величину удобно

тера движущегося потока по степени его турбулентности будет недостаточной. Возьмем на некотором расстоянии dx от точки А по линии, перпендикулярной к средней скорости потока, точку В

78

Турбулентность потока оказывает большое влияние на харак­

вязкой жидкости неудобны для исследования турбулентного те­ чения вязкой жидкости, так как содержат фактические значения скорости и давления, а не осредненные величины. Если в уравне­ ниях (65) скорости и давления заменить средними и пульсационными значениями:

vx = vxA-v'x\ v,j = vu + v'y, vz = vz + v'z, р=р + р,

а затем произвести осреднение по времени, то получим уравне­ ния Рейнольдса для несжимаемой вязкой жидкости. Для осредне­ ния уравнения воспользуемся статистическим методом и его свойствами осреднения.

Пусть значение некоторой функции f в интервале х равно / = = / + /', где f — средняя величина функции, а /' — пульсационная составляющая. Тогда используя свойства осреднения, по­ лучим

Двумя черточками вверху обозначено повторное осреднение. Затем, заменив в уравнениях (65) мгновенные значения р, ѵх, Ѵу, ѵг суммами: р + р', ѵх + ѵ'х, ѵу + ѵ'и, ѵг + v'z, и осреднив слагаемые по времени, т. е. произведя интегрирование по времени с одновременным делением на промежутки интегрирования, полу­

чим следующее выражение в направлении оси х:

79