книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

т. е. величина гидродинамического давления рп для идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки, к которой оно при­

не всех) жидкостей и газов в виде формулы Ньютона (см. § 2). Как отмечалось выше, напряжение т можно рассматривать как силу трения (отнесенную к единице площади) между движущимися слоями жидкости.

Определим касательные напряжения на гранях прямого «жид­ кого» угла, параллельных координатным плоскостям. Сначала рас-

5)

Рис. 34. Механизм появления парных касательных напряжений

смотрим случай, когда одна его грань остается неподвижной. Вы­

При движении плоскости А относительно плоскости В вправо сечение m за время At становится на место сечения т' и сечение п — на место сечения п'\ очевидно, что эти два сечения как бы проскаль­

когда сечения расположены нормально к движению жидкости, причем сечение m вращается вокруг точки О, сечение п — вокруг точки О'), а Д-у — угол, на который повернутся сечения m и п.

Относительная скорость скольжения сечения п по отношению к сечению m найдется по правилу механики. Остановим сечение m, для чего всей системе сообщаем движение, обратное движению сечения m, т. е. создадим вращение вокруг точки О в направлении против часовой стрелки. Тогда сечение m станет неподвижным, а сечение п (во всех своих точках) получит скорость, параллельную сечению т, равную ыЬ, т. е. сечение п скользит при этом вверх

61

по отношению к сечению m со скоростью ab. По формуле Ньютона касательное напряжение

ab

Угловую скорость со подсчитываем по скорости ѵм в точке М:

Подставляя это значение в формулу для т х , получим

Таким образом, т = xlt т. е. касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях равны.

Следовательно, когда имеется относительное скольжение гори­ зонтальных слоев, одновременно возникает относительное сколь­ жение вертикальных слоев, причем величина касательного напря­ жения на них одинакова и пропорциональна производной от ско-

62

Аналогично возникают напряжения в других координатных плоскостях:

т _ т _ „ ( д ѵ х I Д Ѵ * \ •

Рассмотрим связь нормальных напряжений а с производными от скорости по/пока. Сначала рассмотрим движение в плоскости ху и свяжем нормальные напряжения ох и ау с выбранным касатель-

Рис. 35. Связь нормальных напряжений с полем скоростей

ным напряжением т, действующим на площадке, наклоненной под 45° к оси X. Выделим для этого призму с высотой h и основа­ нием ABC (рис. 35) и запишем условие ее динамического равно­ весия в проекции на направление AB.

Проекция силы инерции бѵдет равна

63

Пусть размер а стремится к нулю, тогда первый член в сравне­ нии с остальными становится бесконечно малым и получается нуж­ ная для дальнейшего искомая связь напряжений:

64

Сложив оба равенства и умножив их на \і, получим

Иначе

Если аналогичные выкладки сделать относительно пло­ скости хог, то получим

, = * ( • & - £ ) .

Запишем тождество

и сложим три последних равенства, тогда

Отсюда нормальное напряжение

дѵ

Аналогичный вид имеют остальные составляющие. Следова­ тельно, нормальные напряжения в координатных плоскостях имеют вид:

Для идеальной жидкости, лишенной сил трения, коэффициент р, = 0; тогда, естественно, получаем, что

Р = —сх = —Oy = —ог.

Это же условие сохраняется и для вязкой покоящейся или равномерно и прямолинейно движущейся жидкости, когда по­ рознь равны нулю все производные.

Полученные формулы для т и с позволяют определять напря­ жения в жидкости, если известна кинематическая картина ее движения.

Выражение объемных сил, действующих в жидкости, через по­ верхностные силы очень важно при исследовании динамики жид­ кой среды. Рассмотрим случай, когда задана система поверхност­ ных напряжений, и найдем формулу для соответствующей плот­ ности объемных сил. Не ограничивая общности конечных резуль­ татов, рассмотрим выделенный в жидкости бесконечно малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 36) и спроек­ тируем действующий на него главный вектор поверхностных сил

pnds на ось X. На рис. 36 показаны напряжения, дающие проек-

S

ции только на ось х.

Рис. 36. Поверхностные напряжения, действующие по оси х

На гранях, проходящих через начало координат, это будут напряжения ох, тух, xzx. Полагаем, что на других гранях напря­ жения могут быть выражены через эти составляющие исходные путем разложения их в ряд Тейлора (до второго члена) в окрест­ ности начала координат. Например, для грани A BCD имеем на­ пряжение

66

Предположим, что действие главного вектора поверхностных

Однако для эквивалентности объемных сил и поверхностных напряжений, помимо равенства равнодействующей этих сил, не­ обходимо иметь также равенство моментов, приложенных к рас­ сматриваемому объему от этих сил. Не проводя такого доказа­ тельства, отметим, что для этого необходимо выполнение условий

Реальными силами в гидрогазодинамике вязкой жидкости яв­ ляются поверхностные силы о и т, а объемные силы, заменяющие их действие, фиктивны, но удобны для расчетов и анализа.

Если реальные объемные силы выразить через поверхностные, то можно определить полную силу, действующую на объем жид­ кости, зная лишь закон распределения поверхностных напряже­ ний по поверхности рассматриваемого объема и не учитывая рас­ пределение объемной силы внутри этого объема.

где E—• вектор напряженности электрического поля; В — вектор индукции магнитного поля.

Чтобы получить объемную пондеромоторную силу AFy, дей­ ствующую на объем А V с массой частиц Am, надо просуммировать силу Fh по всем частицам рассматриваемого объема

А

Согласно определению, вектор плотности объемной пондеромоторной силы электромагнитного поля

При условиях, характерных для рассматриваемых магнитогидродинамических устройств, член реЕ, зависящий от электри­ ческого поля, существенно меньше члена (/ х В), зависящего от магнитного поля (отсюда и название магнитная гидрогазодинамика; если учитывать член реЕ, то рассматривается электромагнитная гидрогазодинамика).

Итак, считают, что плотность пондеромоторной силы электро­ магнитного поля

68

Каждую размерную величину заменим через произведение безразмерного ее значения и выбранного масштаба. Например, проекцию вектора В на ось х запи­ шем так: ß v = В0Вх- В данном случае масштаб В0 определяет размерность Вх и ее~абсолютное значение, а безразмерная величина Вх является функцией коор­ динат x, у, z и времени t и определяет закон изменения величины Вх в простран­ стве и времени (покажите, что В — В0В при одном и том же масштабе В0 на каж­ дой координатной оси). Аналогично обозначим:

единичные векторы і, j , k, входящие в выражения для векторов, изменений не

функционального изменения первого члена по отношению к безразмерным пере­

менным останется тем же.

Во втором члене векторное произведение структурно представляет собой

Hcfao'o

69