книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

В самом деле, для радиальных турбомашин (турбин и компрес­ соров) характерно движение жидкости в плоскостях, перпенди­ кулярных осп вращения (рис. 122, а).

Проведя сечение такой турбомашииы плоскостью, перпенди­ кулярной оси вращения, получим так называемую плоскую кру­ говую решетку. А задачу о действительном течении жидкости при­ ближенно заменяем задачей о плоском течении через круговую решетку, что математически неизмеримо проще.

Для осевых турбомашин характерно движение жидкости по соосным цилиндрическим поверхностям. Если рассечь такую

1

а — к р у г о в а я ; 0 — п р я м а я

машину цилиндрической поверхностью и сечение развернуть на плоскость, то получим ряд профилей, составляющих так назы­ ваемую плоскую прямую решетку (рис. 122, б). Поскольку каждый профиль находится в одинаковых условиях, то прямая решетка получится бесконечной. Задача опять сводится к плоской, что позволяет применить теорию функций комплексного переменного.

Следовательно, понятие о плоской решетке возникло в резуль­ тате стремления свести пространственную задачу расчета турбо­

230

Ширина прямой решетки соответствует натуральному лога­ рифму отношения радиусов круговой решетки, т. е.

а шаг прямой решетки — угловому шагу круговой, т. е.

ствующими точками двух соседних профилей в направлении оси

или затратой механической работы и повышением теплосодержа­ ния протекающей через решетку жидкости, если это решетка ком­ прессора.

Следовательно, задача сводится к определению отклонения

рассматривать относительное движение жидкости через решетку.

Формула Жуковского для определения силы, действующей на профиль в решетке

Поток жидкости через решетку профилей характеризуется периодичностью. Его период равен шагу t решетки.

Рассмотрим плоскую решетку с бесчисленным множеством профилей (рис. 123). Пусть поток перед решеткой имеет ско­

две эквидистантные линии тока eb и cd, смещенные на шаг t одна относительно другой, и рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, ограниченной этими линиями тока.

231

Предположим, что за время Дт некоторая масса жидкости ebdc переместилась в положение Для этой материальной системы составим уравнение изменения количества движения. Поскольку движение установившееся, то, как нетрудно заметить, в объеме жидкости e-ybdcy изменения количества движения при рассматриваемом перемещении массы жидкости не происходит. Обозначим оставшуюся массу жидкости, заключенную в объеме евуСуС или, что то же, в объеме bbydyd, через ДО.

Обозначим далее через Р силу, действующую со стороны потока на профиль решетки, тогда профиль на жидкость будет действовать

лениям: вдоль и перпендикулярно осп решетки, т. е. на силы

и' а-

Так как сумма сил давления на боковые поверхности be и cd из-за их эквидистантности и периодичности течения равна нулю, то уравнение изменения количества движения в направлении а, нормальном к оси решетки

232

Рассмотрим процесс протекания жидкости через решетку с термодинамической стороны в ри-диаграмме (рис. 124). При

При небольших перепадах давлений площадь криволинейной трапеции 1т234 с большой степенью точности (ошибка равна

—W-i -4- Шо

глі •— ± —

Из уравнения (227), пользуясь свойством производной про­ порции, получим, что сумма предыдущих членов так относится к сумме последующих, как один из предыдущих к своему после­ дующему, т. е.

233

Р= Г р с р ш 0 .

-Итак, мы получили формулу H . Е. Жуковского для силы, дей­

ствующей на профиль в решетке, в таком же виде, как и при обте­ кании одиночного профиля, с той только разницей, что в данном

эта формула учитывает сжимаемость жидкости при небольших перепадах давлений.

Поскольку отношение

Es. — i^pu.

Pu Ща

234

или

то направление действия силы Р и направление среднегеометри­ ческой скорости да0 взаимно перпендикулярны.

Для определения силы Р — рс р да0 .Г, действующей на профиль решетки, необходимо определить циркуляцию Г вокруг лопатки.

Эквивалентные решетки пластин

Поскольку определить циркуляцию вокруг лопатки весьма сложно, то стремятся заменить сложную схему обтекания решетки профилей более простой. Иногда вместо реальной решетки рас­ сматривают решетку, составленную из средних линий профилей. Еще лучше подобрать решетку из прямолинейных пластин с тем же

© ©

Рис. 125. Решетка произвольных профилей и эквивалентная ей решетка пластан

абсолютным шагом, которая при любых углах атаки имела бы такую же подъемную силу, как и реальная решетка. Такую ре­ шетку называют эквивалентной данной.

Для доказательства существования эквивалентной решетки рассмотрим решетку из произвольных профилей в плоскости £ (рис. 125). Для этой решетки угол ß 2 выхода потока зависит от

235

по контуру вокруг лопатки равна нулю, следовательно, и сила воздействия потока на лопатку тоже равна нулю (направление ß 0 называется направлением нулевой подъемной силы).

Пусть течение идеальной несжимаемой жидкости в этом случае описывается комплексным потенциалом W0 (£), который суще­ ствует, хотя и неизвестен.

По определению эквивалентная решетка имеет ту же связь

Шаг tz решетки пластин примем равным шагу ^ исходной решетки,

которая переводит контур лопатки в отрезок прямой, причем ото­ бражение является двузначным: одной точке в плоскости z соот­ ветствуют две точки в плоскости £ вне и внутри контура лопатки.

Для определения длины хорды эквивалентной решетки пластин воспользуемся равенством

(Фл — фд)б = (Фл — Фв)г = ЩЬг,

поскольку в плоскости 2 для равномерного потока со скоростью w0

• f f = wo = const.

Следовательно, при известном значении W0 (t) хорда экви­ валентной решетки

2щ

аугол ß 0 установки пластины можно найти из соотношения

236

откуда

Рассмотрим общий случай, когда Г =?= 0. В этом случае ком­ плексный потенциал в плоскости £ будет иметь другой вид, пусть

Рис. 126. Типичная зависимость теоретических характеристик решетки от ее геометрических параметров

Функция отображения сохраняется в виде выражения (228). Рассмотрим соотношение между скоростями до и после реше­

ток в бесконечности: до решеток

237

плоских решеток, полученные в зависимости от относительных

Коэффициенты Л, В и D зависят только от густоты решетки bit (рис. 127).

При вычислении угла ß u по формуле (230) углы ß r подстав­ ляются в градусах, а параметры профиля с и / в процентах.

238

Обтекание решетки прямолинейных пластин потоком несжимаемой жидкости.

Функция отображения

Одним из методов решения этой задачи является отображение решетки пластин на внешность круга единичного радиуса. Отобра­ жаем собственно лишь полоску, заключающую в себе одну пла­ стинку решетки. Остальные полоски в связи с периодичностью течения через решетку после отображения дадут то же поле те­ чения.

При построении профилей крыла Жуковского мы построили отображающую функцию непосредственно, а затем приравняли комплексные потенциалы в плоскостях г и £, т. е. W (z) = W (Q.

/^Отображаемая /$Ллолоска плоскости z

Рис. 128. Решетка из пластин в плоско­ сти г и круг единичного радиуса в пло­ скости L,

В данном случае поступим иначе, а именно, приравняв ком­ плексные потенциалы для простых потоков в плоскостях z и £, найдем функцию отображения. В качестве течения в плоскости ре­ шетки возьмем течение вдоль пластинок (рис. 128).

Комплексный потенциал этого течения имеет следующий вид:

W {z) = ср (х, у) + і\\> (х, у) = wxe~^z.

ср (x, y) = wx (x cos ß - f y sin ß);

\\) (x, y) = wx (—x sin ß - f y cos ß).

239