книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Из-под знака производной -щ- выйдет масштабный множитель

или

= r o t ( ' 0 x ß ) + ^ - A 5 ,

где Rem =

Очевидно, что для гидродинамического вихря ю безразмерное уравнение будет иметь вид

Если же процесс диффузии преобладает над процессом конвек­ ции, то -p-î— ^> 1, т. е. Rem <^ 1. В данном случае характерный безразмерный комплекс

Rem = Т~ = ѵ1^та^

называется магнитным числом Рейнольдса (по аналогии с гидро­ динамическим числом Рейнольдса Re = vl/v).

Рассмотрим отдельно процессы конвекции и диффузии. Для

определенности будем рассматривать вектор В.

Конвекция вектора индукции магнитного поля В наиболее четко проявляется в движущейся среде, когда в ней велико ма­ гнитное число Рейнольдса Rem . Это возможно, в частности, при больших значениях электропроводности о, когда явление конвек­ ции резче проявляется в жидких металлах, чем в ионизованных газах. При полном отсутствии процесса диффузии явление кон­ векции приводит к тому, что магнитное поле перемещается вместе с движущейся электропроводной жидкостью, а если движется магнитное поле, то оно приводит в движение жидкость.

ПО

В рассматриваемом случае (когда число Rem велико) говорят об эффекте «вмороженности» магнитного поля в среду, поэтому

Для конвекции гидродинамического вихря со необходимо, чтобы было велико гидродинамическое число Re, это будет, в част­ ности, при вязкости, равной нулю.

Рассмотрим на примере вектора В магнитной индукции тео­ рему, имеющую место при больших числах Rem .

Рис. 50. Эффект «вмороженности» магнитного поля в проводящую среду

При движении жидкости с бесконечно большим магнитным числом Рейнольдса поток вектора В магнитной индукции через любую «жидкую» поверхность s не изменяется с течением времени.

В частности, это означает следующее: пусть в начальный мо­ мент времени tx взята какая-либо «жидкая» поверхность s, це­ ликом состоящая из магнитных силовых линий вектора индук­ ции В (рис. 50). Поток J Вп ds в момент времени tx равен нулю

s

в силу того, что в каждой точке поверхности векторы В и п пер­ пендикулярны. Согласно сформулированной теореме этот поток

торы индукции В и /г взаимно перпендикулярны в каждой точке поверхности s. Следовательно, эта поверхность в любой момент времени состоит из магнитных силовых линий, которые оказались как бы «вмороженными» в частицы жидкости, составляющие ее.

Если условие Re,„ —> сю не соблюдается, то жидкость при дви­ жении проскальзывает через магнитные силовые линии, или же можно сказать, что магнитное поле диффундирует внутрь объема вещества, выделенного для рассмотрения.

Подобная теорема для гидродинамического вихря со скорости известна как вторая теорема Гельмгольца о вихрях.

111

В случае, если жидкость идеальна, массовые силы имеют по­

(Знак минус у первого члена означает, что для нижней поверх­ ности угол между нормалью л н и вектором В тупой).

Интеграл по боковой поверхности s60 K с учетом того, что пбок ds = dl X (v At), преобразуем так:

112

Итак,

Добавим к этому равенству члены ± | В (tx) па ds, в которых

величина В взята в начальный момент времени t1. Перегруп­ пируем и разделим полученное уравнение на At, тогда

Первые две дроби представляют собой полную и частную про­ изводные, если величина Ar стремится к нулю

Так как подынтегральные функции непрерывны и дифферен­ цируемы, в первом интеграле можно поменять порядок интегри­ рования и дифференцирования, а во втором выполнить преобра­ зование по теореме Стокса. Тогда

Это и является математической формулировкой нашей теоремы. Для формирования производных было использовано условие,

что жидкость состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Диффузия вектора индукции В магнитного поля наиболее четко проявляется в электропроводной среде, когда мала величина

чине электропроводности а. Уравнение индукции в этом случае имеет вид

g - = v m A ß .

Известно, что такое дифференциальное уравнение описыв-ает закон распространения (диффузии) рассматриваемого параметра (в данном случае магнитного поля В) в неподвижной среде. Ис­ ходя из такой трактовки процесса диффузии, величину ѵ„, следует

_ = ѵ Дсо,

а величина ѵ является коэффициентом диффузии вихря. При рассеянии вихря его кинетическая энергия гасится силами трения и переходит в теплоту, нагревающую среду.

Докажем важную теорему о сохранении циркуляции скорости по замкнутому «жидкому» контуру.

Теорема Томсона. Если массовые силы имеют потенциал, жидкость идеальна и течение баротропно, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной при движении жидкости.

Предположим, что среда и поле скоростей непрерывны. Для доказательства теоремы выделим в движущейся жидкости линию, состоящую из одних и тех же частиц, т. е. «жидкую» линию AB' (рис. 52). В силу непрерывности среды и поля скоростей через

вектора скорости ѵ вдоль AB, где ôr берется вдоль «жидкой» линии.

114

Составим производную по времени от этого интеграла:

Используя уравнение движения в форме Эйлера в векторной записи

преобразуем выражение (100) и получим, что

По предположению массовые силы имеют потенциал, т. е.

Im = grad U.

Очевидно, что

fmôT = grad c/Sr = % ôx + | - by - f ^ ôz = W;

grad p-ôr = ôp; u&v = -|- .

Подставляя эти выражения в формулу (100), получим

J i

или

W - U B — UA — j — +

Таким образом, изменяется значение интеграла, взятого вдоль «жидкой» линии AB.

Если точки А и В совпадают, т. е. «жидкая» линия AB замы­ кается, то интеграл / дает циркуляцию Г вектора скорости по замкнутому контуру.

Используем последнее предположение о баротропности течения жидкости, т. е. возьмем зависимость плотности только от давления.

В этом случае - ^ - = /(/?) и интеграл по замкнутому контуру

так как в одной и той же точке не может быть двух разных давле­ ний.

Следовательно, получаем - ^ - = 0, т. е. Г = const. Теорема

доказана.

Отсюда следует, что если в идеальной жидкости при баротроп- • ном и непрерывном течении и при наличии потенциала массовых сил в начальный момент времени не было вихрей, то их не будет

ив дальнейшем.

§14. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В сжимаемой жидкой среде могут возникать от тех или иных

объему, занимаемому средой, с вполне определенной скоростью, которая будет отлична от скорости движения самой среды.

Под малым возмущением будем понимать такое изменение началь­ ного параметра среды (например, давления р), при котором абсо­ лютная величина изменения параметра (возмущение давления р') неизмеримо мала по сравнению с исходным его значением в данной

с рассматриваемым параметром, возмущение называется конеч­ ным.

Малые возмущения распространяются по среде в виде волн. Например, распространение волны малых возмущений давления воспринимается нами как явление прохождения звука. Физически явление это происходит так. В состоянии покоя (t = /„) частицы в газе (рис. 53) распределены равномерно. Выделим в газе на­ правление и рассмотрим поведение частиц, например на оси х, когда в точке 0 возникнет повышение давления. Из-за сжимаемости частицы газа, расположенные вблизи точки 0, уплотнятся, а частицы, расположенные на некотором удалении, пока никак не

116

уплотнения все новым и новым частицам иа оси х. В тех же местах, где волна уплотнения прошла, частицы снова возвращаются в ис­ ходное состояние (t = t3). Обычно скорость распространения зву­ ковой волны обозначают через а.

Изменение давления в звуковой волне приводит к изменению плотности р среды. Однако в силу быстроты происходящего яв­ ления можно считать, что частицы не успевают обмениваться энер­ гией, так что рассмотренный процесс адиабатичен. Это предполо­ жение подтверждается опытом.

О

О

О

В электропроводящем газе, находящемся в магнитном поле, разобранное звуковое возмущение связано также и с возмущением магнитного поля. Кроме того, возможны при этом и специфические возмущения параметров (волна Альвена), не существующие в элек­ трически непроводящем газе.

Рассмотрим свойства малых возмущений с помощью общих уравнений движе­ ния электрически проводящего газа, находящегося в магнитном поле, характери­ зуемом вектором магнитной индукции В. Если не изучать вопрос, каким образом затухают малые возмущения, то можно отбросить все диссипативные явления. Будем полагать, что вязкость жидкости равна нулю (ѵ = 0), ее электрическая проводимость бесконечна (сг -> оо), газ нетеплопроводящий (Я, = 0) и все тепловые потоки Q отсутствуют; так как проводимость бесконечна, отсутствует и выделение джоулевой теплоты Qy. Эти ограничения позволяют записать необходимые основ­ ные уравнения:

уравнение движения с учетом выражений (62) и (51)

І17

Будем полагать, что каждая переменная в этих уравнениях может быть представлена в топ точке, через которую проходит в данный момент волна возму­ щения в виде суммы постоянного невозмущенного параметра (обозначенного нулем) и переменного малого возмущения (обозначенного штрихом):

Для простоты будем рассматривать неподвижную жидкость (ѵп = 0), а поле В0 •будем считать лежащим в плоскости дг, у, так что В0 (Вох, В0у, 0). Заранее никаких ограничений на возмущения накладывать нельзя, так как их следует считать функциями координат х, у, г и времени t, поэтому векторами возмуще­ ния скорости и магнитного поля будут v' [у'х, v', v'^j и В' (В'х, В', B'J

Система пяти записанных выше уравнений позволяет определить:

1)какие типы малых возмущений могут существовать и каковы их свойства;

2)каковы скорости распространения малых возмущений.

* - ( $ ) , * + ( £ ) . * •

Введем обозначение

/ Яг> \

(104)

= const

С учетом уравнения (92) и условий (103) запишем используемое в дальнейших преобразованиях соотношение

Система уравнении для определения возмущения получается из пяти исход­ ных уравнений при подстановке в них выражений (103):

Особенности данной подстановки заключаются в следующем: во-первых, при дифференцировании исчезают постоянные значения невозмущенных параметров, например в уравнении (102)

rot В = rot (В0 + В') = rot В0 + rot В' = rot В',

при этом rot В0 = 0, так как В0=. const;

во-вторых, производится линеаризация, т. е. в уравнениях сохраняются величины только первого порядка малости, а величины второго и высшего поряд­ ков отбрасываются.

118

параметры сохраняют постоянное значение, т. е. производные —^- и - ^ - равны

11&