книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

отображений, позволяющего перейти от известных элементарных потоков к составлению комплексных потенциалов потоков, обте­ кающих тела более сложных форм.

Преобразование окружности в отрезок прямой

Найдем такую функцию z = z (£), которая преобразовывала бы окружность из плоскости £ в отрезок прямой (пластинку) в плос­ кости 2 (рис. 108).

радиусом R величина z будет действительным числом, а все точки этой окружности отобразятся в точки, лежащие на отрезке пря­ мой, длиной AR.

У, ѳ

2R

X

Рис. 108. Отображение окружности в отрезок прямой

Найдем функцию отображения z:

D2

Очевидно, преобразование z — % -\- —^- не изменяет поло­ жение координатных осей. Оси остаются на месте, а масштабы изменяются.

210

Найдем, во что преобразуется произвольная окружность, расположенная в плоскости £, радиусом Rx с центром в начале ко­ ординат при переходе в плоскость г, причем

Из уравнений (213) получим, что

следовательно,

Это есть уравнение эллипса в плоскости г. Большая полуось

« ( i + - £ ) " - * ! ( i - - § - Y - « .

Следовательно, фокусное расстояние не зависит от выбора

в плоскости будет один и тот же эллипс, а точки 5 и 7 или 6 и 8 плоскости £ (рис. 109) отобразятся соответственно в одну точку плоскости z. Это произойдет в том случае, когда полуоси этих эллипсов будут равны, т. е.

Из последнего равенства после раскрытия скобок получим

откуда

RiRi = R" •

Подводя итог полученным результатам, приходим к выводу,

©

5;7

/3

Рис. 109. Отображение окружности в эллипс

так и со стороны верхней полуплоскости направлена вдоль оси х. Следовательно, в точке Ах мы имеем нулевой угол заострения,

что конструктивно невыполнимо.

212

Определим толщину полученного профиля. Наибольшая тол­ щина его будет там, где dyldx = 0. Наибольшую толщину про­ филя можно найти приближенно. Так, если b^OAR, т. е. b мало по сравнению с радиусом основной окружности, то приблн-

Рис. ПО. Отображение окружности в симметричный профиль крыла Н. Е. Жуковского

женно можно принять, что наибольшая толщина профиля будет

Для получения профиля Жуковского для крыльев необходимосначала в плоскости отображения получить дугу окружности.. Это получается по той же формуле отображения:

Покажем, что эта формула переводит окружность, проходящую' через точки А и В с центром на оси ц плоскости Ç, в дугу окруж­ ности в плоскости z (рис. 111, а).

Проведем через точки А и В окружность £Ц с центром, лежа-, щим на оси г).

213

ющими точку окружности с концами хорды:

= const,

т. е. величина постоянная для всех точек этой окружности. Ее

2 - 2R = I + - Ç — 2R = {Z-R)* .

Беря отношение этих выражений, получим функцию отобра­

const.

Тогда, принимая во внимание уравнение (214) преобразования,

т. е. в плоскости z мы получили дугу окружности.

214

или arg (z -J- 2/?) меняется скачком на величину 2я. Для этого проследим за точкой, движущейся по окружности немного боль­ шего радиуса, чем R^ (пунктирная окружность на рис. 111, б).

215

Применяя к окружности радиусом Rb преобразование Жуков­ ского

получим профиль крыла H. Е. Жуковского в плоскости г. Конструктивным недостатком этого профиля является наличие

точки заострения Ах.

Рис. 112. Отображение окружности в профиль крыла H. Е. Жу­ ковского

Профиль крыла H. Е. Жуковского с конечным углом заострения

В предыдущем примере мы получили на выходной кромке Ах профиля нулевой угол заострения.

Если же воспользоваться другой функцией отображения,

аименно

z — R /К — R Y

z + R \ С + R ) '

что равноценно z = £, то очевидно, что точки Ах и Вх плоскости г не будут точками возврата, и окружность радиусом і?4 в пло­ скости £ остается окружностью того же радиуса в плоскости г.

Рассмотрим новую функцию отображения:

г — mR z + mR

При отображении с помощью функции (215) скорости пото­ ков в бесконечности в плоскостях z и £, как и при использо­ вании функции (212), сохраняются. Для доказательства этого утверждения функция z выражается через £ и затем вычис-

2 16

в двуугольник, состоящий из двух дуг окружности с ненулевым

При получении профиля крыла H. Е. Жуковского мы уста­ новили, что точка Ах математически представляет собой точку заострения. Применим эту же методику для рассматриваемогослучая (рис. 114).

© Ѳ

У,

s

Рис. 114. Характер отображения линий в окрестности точки В

21T

•следовательно,

Переход осуществляем по пунктирной линии, обходя особую точку. Аналогично при стремлении точки N\ к точке Вг и точки N к точке В, получим

с помощью конформного преобразования окружности из пло­ скости L, в соответствующий контур в плоскости z при помощи функций (212) и (215) Жуковского.

Кроме указанных функций отображения, существует ряд более сложных по форме преобразований окружности, дающих также теоретические профили крыльев в плоском потоке несжи­ маемой невязкой жидкости, например с закругленной задней кромкой или другими особенностями.

Широкими возможностями обладает так называемый метод особенностей, простейшим примером которого является получе­ ние обтекания цилиндра с помощью диполя в равномерном по­ токе. Если расположить на каком-либо отрезке прямой или дуге сосредоточенные или непрерывно распределенные гидродинами­ ческие особенности (стоки, источники, диполи, вихри) так, что эти особенности вместе с набегающим потоком дают замкнутую линию тока, то эту линию тока можно принять за контур обте­ каемого тела. Следует подчеркнуть, что при подобном подходе замкнутый контур может быть совершенно неприемлемым для технических приложений. Задача определения формы контура называется обратной в отличие от прямой задачи, когда контур тела задан.

Прямая задача будет рассмотрена ниже на примере расчета •обтекания плоской решетки произвольных профилей.

Решение прямой задачи всегда сопряжено с большими вычисли­ тельными работами, хотя при этом мы имеем дело с технически

218

целесообразными формами. Обратная задача хороша тем, что при удачном подходе она дает решение в замкнутой и удобной для анализа форме.

потока на твердое тело методически удобнее всего провести после вывода формул Чаплыгина—Блазиуса.

Формулы Чаплыгина—Блазиуса для определения аэродинамической силы и момента этой силы относительно начала координат

С. А. Чаплыгин и почти одновременно с ним и независимо от него немецкий аэродинамик Блазиус, используя теорию функ­ ций комплексного переменного, получили формулы для опре­ деления аэродинамической силы и момента этой силы относительно начала координат.

® 1]/=* const

219