книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Работа в единицу времени Ej электромагнитного поля над электрическими зарядами, заключенными в единице объема, будет считаться положительной, если поле передает электрическим за­ рядам свою энергию, как например, при движении жидкости в ка­ нале МГД-насоса. Если же поле воспринимает кинетическую энергию движущихся электрических зарядов, то работа поля будет отрицательной. Такие условия соответствуют работе МГДгенератора, где электрические заряды движутся в результате движения всей массы жидкости, которая, в свою очередь, движется под действием срабатываемого теплового перепада.

Работа вектора объемной плотности пондеромопюрной силы fv

над единицей объема движущейся проводящей жидкости за время dt

~fv (v dt) = V (j X В) dt.

Если рассмотреть движение жидкости в канале МГД-насоса, то работы Ej и fvv будут положительными, а разница между ними будет равна диссипации, т. е. рассеянию энергии движущихся электрических зарядов в результате их столкновений с другими частицами. Эта диссипация является джоулевым (омическим) нагревом. Для определения его величины раскроем значение электрического тока / в выражении Ej через обобщенный закон Ома (без учета скольжения ионов). Тогда

Ej = -Ç+~f ѵѵ.

Если рассматривать МГД-генератор в сравнении с МГД-насосом, то Ej и fvv будут отрицательными, а величина /2/сг по-прежнему будет положительной. По абсолютной величине fvv >> Ej, так как работа пондеромоторной силы тратится на создание энергии элек­ тромагнитного поля и на омический нагрев. В этом случае спра­ ведливо равенство

100

Интегральная форма записи уравнения энергии представляет собой математическую запись формулировки, изложенной на стр. 97 применительно к выделенному объему V:

V

В этой форме записи принято, что работа в единицу времени (мощность) внешних сил складывается из работы различных объем­ ных и поверхностных сил и механической работы. Мощность пондеромоторных сил магнитного поля входит в первый член выра­ жения, а работа сил трения — во второй член справа. Подведен­ ная к единице объема за единицу времени через окружающую поверхность теплота Q состоит из теплоты от теплопроводности QT,

конвекции QK и излучения С1 І Э Л : Q — QT + QK + С„3л- Теплота Qv выделившаяся в рассматриваемой единице объема за единицу времени, включает в себя теплоту джоулева нагрева С д ж , теплоту химических реакций Qx„„, теплоту реакции диссоциации С д н с с и ионизации Ql f 0 „:

Qv= Сдж ~\~ Схим ~г Qfliicc ~г" СионДифференциальная форма записи уравнения энергии применима

при изучении процесса в окрестности рассматриваемой точки. При этом необходимо, чтобы все функции, описывающие про­ цессы в окрестности этой точки, были бы непрерывны и диффе­ ренцируемы. В этом предположении дифференциальная форма записи получается из интегральной следующим образом: левая

V

В правой части уравнения (85) все интегралы по поверхности s преобразуются в интегралы по объему V, который включает в себя рассматриваемую точку. Затем объем V стремится к нулю.

Приток теплоты преобразуется по формуле Остроградского — Гаусса:

\ Qnds= J dlvQdV.

Для преобразования работы поверхностных сил в единицу времени конкретизируем геометрическую форму объема V. (Общ­ ность полученных результатов при этом не нарушается, так как

101

фактически мы проделаем вывод обобщенной формулы Остро­ градского—Гаусса). Выберем объем V в виде параллелепипеда (рис. 49), имеющего ребра Ах, Ay, Az. Подсчитаем работу в еди­ ницу времени поверхностных сил, действующих на поверхности рассматриваемого объема:

Напомним, что в каждом из этих интегралов я является нор­ малью к элементу поверхности ds, по которой идет интегрирова-

РА Ѵ+ ^(в, ѵ)Лх

Рис. 49. Работа поверхностных сил на гранях выде­ ленного объема

ние. Вычислим эти интегралы применительно к рассматривае­ мому объему V путем суммирования подынтегральной функции по шести граням объема V и умножения на площади граней.

В первом интеграле комплекс рхѵ cos (я, х) будет отличен от нуля только на гранях, перпендикулярных оси х, так как на других гранях cos (я, х) = 0. Пусть в пределах левой грани поверхностная сила и скорость постоянны и равны рх и ѵ, а площадь грани As = Ay Az, причем cos (n, x) здесь равен — 1 . В результате интегрирования получаем величину интеграла, рав­ ную —(px v) Ay Az.

Для правой грани скалярное произведение (рхѵ) может быть получено путем разложения его в ряд Тейлора (до второго члена) вблизи левой грани [cos (я, х) здесь равен + 1 ] . В результате интегрирования по правой грани получаем интеграл, равный

102

Итак, первый интеграл оказывается равным - ^ - (рхѵ) Ах Ay Az.

Аналогично вычисляют два других интеграла. В результате ис­ комый интеграл по поверхности рассматриваемого параллелепи­ педа может быть записан в виде

Проведем и для остальных интегралов уравнения (85) интег­ рирование по объему Ах Ay Az выделенного параллелепипеда. В силу малости этого объема будем считать, что все подынтеграль­ ные функции постоянны. Вынесем их за знаки интегралов, в ре­ зультате под интегралом остается только объем

J dV = AxAyAz;

V

сокращая его в уравнении (85), получим дифференциальную форму записи скалярного уравнения энергии для единицы объема:

Анализ уравнения энергии позволяет уяснить энергетическое взаимопревращение при движении жидкой среды. Запишем урав­ нение (86), раскрыв частные производные, которые являются ра­ ботой в единицу времени поверхностной силы, т. е. представив мощность сил трения (рпѵ) в вѵіде двух составляющих:

Нетрудно заметить, что нижняя строка представляет собой уравнение движения единицы объема, умноженное на скорость ѵ, поэтому она равна нулю. Следовательно, верхняя строка также равна нулю. Таким образом, в уравнении (87) представляется возможность проанализировать отдельно обе строки.

103

Таким образом, нижняя строка уравнения (87)

a это означает, что полное изменение кинетической энергии еди­ ницы объема р - ^ " ( - т г ) происходит в результате:

1) механической (внешней) работы над объемом;

2) работы объемных сил [в случае пондеромоторных сил элек­ тромагнитного поля fvv = v (/ X В)];

3) перемещения объема под действием сил р неуравновешен­

последних члена в уравнении (89)1. Часть мощности, затрачивае­ мая на преодоление сил трения, не переходит в теплоту (не днссипируется).

Итак, нижняя строка уравнения (87) может быть истолкована как уравнение движения для единицы объема без учета внутренних энергетических процессов в объеме.

104

Изменение энергии единицы объема вследствие внутренних энергетических процессов описывается верхней строкой уравне­ ния (87). Раскрывая в ней скалярное произведение, получим

а это означает, что полное изменение внутренней тепловой энер­ гии р —ду— единицы объема и работа р divu деформации единичного

объема под действием сил давления р происходит в результате:

1) деформации объема касательными составляющими поверх­ ностных сил, т. е. вязкими силами или силами трения, работа которых в единицу времени равна цД. Эта величина целиком переходит в теплоту и диссипируется в жидкости. Функция Д называется в связи с этим диссипативной функцией;

105

Подстановка de в уравнение (86) дает:

Дифференцируем первый член правой части выражения:

В соответствии с физическим смыслом уравнений (87) и (89) можно сказать, что мощность трения, равная

31 p,grad (div V) - j - Ц Av V,

идет на увеличение кинетической энергии •—- единицы объема,

а мощность трения, равная \хД— на увеличение его теплосодер­ жания рі.

Уравнение энергии, выраженное через изменение энтропии s, может быть получено из уравнения (87) с использованием соотно­ шения

Tds = dB + pd (-J-j и уравнения неразрывности

dp dt

Преобразование приводит pк divрезультатуи = 0.

показывающему, что рост энтропии обусловлен подводом теплоты, работой сил трения и тепловыделением.

106

При изоэнтропийности движения указанные факторы отсут­ ствуют и ds = 0. Из термодинамики известно, что энтропия

энергии можно проинтегрировать вдоль линии, выбранной в жидко­ сти. Наиболее интересным является случай, когда за линию ин­ тегрирования выбирается струйка тока.

Уравнение энергии для струйки тока в предположении, что все факторы, описываемые членами в правой части равенства (91), 'отсутствуют, получается из условия

Интегрирование дает i + - T J - = const. Остается показать, что

величина const во всех точках вдоль линии тока одна и та же. Положим, что движение стационарно, тогда от полной произ­

водной остается только составляющая конвективная, отражающая изменение от координат

точке направлен перпендикулярно скорости у, т. е. он везде пер- •пендикулярен линии тока. Поэтому величина i -f- -^- будет вдоль

всей линии тока сохранять одно и то же значение.

Обратим внимание на то, что такой же результат был получен при интегрировании уравнения движения вдоль струйки тока.

§ 13. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ~в И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИХРЯ со

Совместное рассмотрение уравнений, описывающих электро­ магнитное поле, и уравнения обобщенного закона Ома дает воз­ можность получить зависимость, связывающую вектор магнитной индукции ß только с координатами х, у, г, временем t и скоростью и.

107

В это уравнение не будут входить действующие силы (возникаю­ щие от наличия электропроводности) и это позволяет анализи­ ровать дополнительные кинематические особенности электро­ проводящей жидкости, движущейся в магнитном поле.

Уравнение индукции выведем, используя уравнения (1)—(3)

r o t # = o-£-j-o-(â X В).

Найдем Е и подставим в уравнение (2), в результате получим искомое уравнение для магнитной индукции:

вынести за знак операции rot. Дважды примененная к вектору В операция rot может быть представлена в виде

rot (rot В) = grad (div ß) — Aß.

С учетом уравнения (4) уравнение для магнитной индукции принимает вид]

Точно такую же структуру имеет обобщенное уравнение Гельмгольца

для гидродинамического вихря скорости со = - у rot ѵ при дви­ жении жидкости, имеющей кинематическую вязкость ѵ, когда: 1) массовые силы fm имеют потенциал; 2) процесс в жидкости баротропный, т. е. когда плотность является функцией давления

Р = / (Р).

108

Таким образом, результаты, следующие из рассмотрения урав­

в результате рассеивания их в пространстве, т. е. вследствие процесса диффузии.

Эти утверждения рассмотрены будут более подробно, а сейчас придадим уравнению индукции вектора В (вихря со) еще одну

Из такой формы записи уравнений следует, что полное изме­ нение вектора магнитной индукции и вихря также определяется

виде облегчает отдельный анализ процессов диффузии и кон­ векции. Представим каждую величину, входящую в уравнение (93),

109