книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

В результате первое уравнение примет вид

1 dp _ d-vx

цdx dz-

Проннтегрнруем полученное уравнение 2 раза по z, тогда

Определим произвольные постоянные интегрирования С\ и С 2 .

обусловлено действием сил вязкости, единственными рассматри­ ваемыми нами силами.

Уменьшение давления Ар на длине Ах возможно найти, интег­ рируя полученную формулу для скорости ѵх. Однако пользо­ ваться полученным результатом затруднительно, так как не­

Следовательно, при установившемся ламинарном течении вяз­ кой несжимаемой жидкости потеря давления пропорциональна средней скорости течения, длине пройденного участка канала, вязкости жидкости, а также зависит от размеров канала. Этот результат хорошо согласуется с данными опытов при ламинарном течении.

180

Подобное течение в случае движения электропроводящей жидкости в поперечном магнитном поле называется течением Гартмана. Рассмотрим плоское стационарное ламинарное течение вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном внешнем магнитном поле. Будем полагать (рис. 87), что скорость потока ѵ направ­ лена по оси X, приложенное постоянное и однородное магнитное поле В — по оси z, а электропроводность а постоянна. Начало' координат находится посредине между пластинами, которые будем считать изоляторами. Примем, что 2/і много меньше 2Ь и /, так

Рис. 87. Направление индуцированного магнит­ ного поля от токов, теку­ щих в плоскости z = О вдоль оси у:

что течение в таком канале можно схематизировать как течение между двумя почти бесконечными пластинами.

Пусть боковые пластины являются электродами. Если они соединены с внешней нагрузкой, то жидкость движется под дей­ ствием приложенного перепада давления (преодолевая пондеромоторную силу), что соответствует каналу МГД-гнератора. Если электроды соединены с источником электрического тока, то жид­ кость движется под действием развивающейся в ней пондеромотор­ ной силы, преодолевая внешний перепад давления, что соответ­ ствует каналу МГД-насоса. Если боковые пластины выполнять изоляторами, то ток в жидкости, движущейся под действием

скорость v имеет ^-компоненту, которая зависит только от ко­ ординаты z:

• Ъ[ѵх{г), 0, 0].

Магнитное поле внутри канала будет слагаться из наложен­

181

рованные магнитные силовые линии для случая, когда электри­ ческий ток в плоскости z = 0 течет перпендикулярно плоскости zx. В рассматриваемом случае это будет именно так, ибо при сделан­ ных предположениях нет причин для отклонения тока от указан­ ного направления: эффект Холла считаем отсутствующим, сплош­ ные электроды выравнивают электрический потенциал вдоль оси X. Следовательно, можно считать магнитное поле внутри канала состоящим из двух компонент: постоянного наложенного

случае уравнение (26) неразрывности имеет вид div ѵ = 0, а массо-

т, е. является только функцией z, а именно / [0, \у (г), 0] .

Перейдем к электрическому полю и найдем вектор Е из урав­ нения (8):

182

От координат х и у входящие в это выражение величины не зависят, поэтому и производная [дЕуІдх = 0. Однако и от коорди­ наты z поле Еу тоже не зависит. Это видно из уравнения (2), имеющего в данном случае вид

Поскольку дЕу/дх = 0, то Ец от координаты z не зависит. Значит поле Еу — const, что также понятно из физических усло­ вий задачи: нет токов Холла и имеются сплошные электроды. Итак, электрическое поле имеет следующую структуру:

Таким образом, для практического использования остаются уравнения (1), (8), (184), которые проектируются на координат­

Из уравнения (186) следует, что как и для течения Пуазейля, давление не зависит от координаты у, однако по высоте канала вдоль оси z теперь существует градиент давления

др

183-

Результат решения уравнений удобнее представить в без­ размерных величинах:

Графически полученные результаты представлены на рис. 89— 91. Графики иллюстрируют влияние числа Гартмана на поведение поля осевых скоростей, поля токов и наведенного магнитного поля.

На графиках распределение параметров показано для трех

внешней электрической цепи (режим холостого хода). Весь гене­

и генерируемый в канале электрический ток беспрепятственно течет по ней в режиме короткого замыкания;

184

нуль на шкале токов должен находиться на соответствующей вертикали.

Из рис. 88 видно, что с ростом числа Гартмаиа профиль ско­ ростей в средней своей части становится более плоским, а распре­ деление скоростей у стенок — круче. Объяснение этому факту будет дано ниже на примере

«/-составляющую, а магнитное поле х- и 2-составляющие, получим,

Рассмотрим, каковы знаки составляющих магнитного поля

иэлектрического тока.

Вэтом режиме течения эпюра распределения индуцированного магнитного поля Вх (рис. 91) такова, что в верхней части канала

Распределение электрического тока в рассматриваемом режиме холостого хода (RE = 1) таково, что (см. рис. 90) у стенок канала электрический ток течет вдоль оси у, т. е. \ у >> 0, а внутри ка-

185-

нала — наоборот j (у) < 0 . Такое его поведение может быть объяснено следующим. Генерируемый в ядре потока электриче­ ский ток, не имея выхода из канала во внешнюю цепь, замыкается через слои жидкости у стенок, где скорость жидкости существенно меньше, а следовательно, генерируемый электрический ток мал.

Действительно, из закона Ома в нашем случае электрический

ток

и введем в рассмотрение среднюю скорость из уравнения (183). Тогда

торной силы /V, с учетом полученных результатов можем сделать

тропроводящей жидкости под действием приложенного магнит­ ного поля и составляет главное содержание эффекта Гартмана. С ростом градиента скорости у стенки увеличивается сила трения: приближенно можно считать, что отношение коэффициентов тре­

к течению масла в щели между неподвижной колодкой и враща­ ющейся опорой упорного подшипника скольжения. Будем счи­ тать, что движение несжимаемой вязкой жидкости между пло­ скостью, двигающейся со скоростью U0, и неподвижной криво-

186

линейной стенкой установившееся (рис. 92). Определим подъем­ ную силу, действующую на колодку.

В реальных подшипниках скольжения толщина h масляного слоя весьма мала по сравнению с размером / колодки и незна­ чительно изменяется вдоль длины т. е. угол а мал. В связи с этим можем считать, что отношение hit стремится к нулю и

где р = р (х).

Отметим, что градиент давления dp/dx целиком определяется

ции не рассматривались в силу сделанного предположения о ма­ лости расстояния h между колодкой и подшипником.

Перейдем к расчету давления на колодку.

Обозначим скорость ѵх через U и проинтегрируем 2 раза уравнение (195) по у, тогда получим

187"

Через каждое сечение с высотой h проходит одно и то же количество масла

т. е. градиент давления можно представить в виде

Поскольку h уменьшается с ростом x, перепад давления вдоль колодки будет не постоянным. Интегрирование от 0 до х дает:

об

в щель и за колодкой на выходе из щели должно быть одинаковым. Из условия, что р (х) = ро при x = / находим зависимость рас­ хода масла от величины зазора, которая является заданной величиной:

п — J^L. f -ÉL

V ~ 2 J Л2

Таким образом, вычислив расход Q, можно подсчитать рас­ пределение давления р (х) вдоль колодки по формуле (196). Подъ­ емная сила, действующая на колодку, определится выражением

188