книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

нз уравнения (108) индукции

ар'

Произведем в первом из уравнений (ПО) замену в члене -~—, используя соотношение (105), в результате чего это уравнение примет вид

Дальнейшее рассмотрение полученной системы проведем прежде всего для

того частного случая, когда магнитное поле отсутствует (В = 0). Возмущение параметров среды при отсутствии магнитного поля (обычная

гидрогазодинамика) будет описываться только такими уравнениями:

Интегрирование второго и третьего уравнении (114) показывает, что в приня­ той схеме распространения малого возмущения (плоской волной) возмущения скорости ѵ' и ѵ'г постоянны. Если первое из уравнений (114) продифференциро-

120

маемом газе процесс распространения звуковой волны является

в рассматриваемой точке.

Если газ не подчиняется уравнению pip = RT, то в техниче­ ских задачах уравнение состояния часто записывают в виде p/p = zRT и скорость звука в реальном газе определяют по формуле

а = УЩДТ,

121

Так как источник возмущения движется с постоянной ско­ ростью, то пройденный им путь пропорционален времени и ра­ вен vt, радиус сферы возмущений тоже пропорционален времени и равен at. Сферические поверхности возмущений, соответствую­ щие положениям источника в разные моменты времени, имеют поэтому огибающую поверхность в виде конуса возмущений (гра­ ничной волны, звуковой волны, характеристики). За пределы конуса возмущения не проникают.

Если точка неподвижна, а поток движется со скоростью ѵ >• а, то наблюдатель, находящийся вне конуса, не услышит звук от движущегося источника.

Угол при вершине конуса

Возмущение параметров электропроводящей среды при нали­ чии магнитного поля описывается системой уравнений (110)—(113). Прежде всего из первого уравнения (112) и уравнения (113) сле­ дует, что проекция вектора возмущения магнитного поля наось х постоянна как вдоль направления распространения возмущения, т. е. по оси x, так и во все время движения:

В'х = const.

Совместить эти два условия можно только тогда, когда const =

уравнений будут получены свои независимые волновые уравнения-

123

Это означает, что возмущения ѵ'г, B'z и ѵх, ѵу, ßy, p распростра­ няются независимо одно от другого. Скорости их распространения получили названия альвеновских (магиптогидродинамических) и

магншпозвуковых соответственно.

Альвеновская волна является специфическим явлением магнит­ ной гпдрогазодинамнки и не имеет аналога в обычной гидрогазо­ динамике. Путем дифференцирования первого уравнения (118) пол', а второго по t, а затем наоборот, может быть получено два волно­

ры—плотность и давление при таких возмущениях неизменны, сле­ довательно, волна Альвена возможна и в несжимаемой жидкости.

Напомним, что в принятой нами схеме распространения воз­

v'z и B'Z перпендикулярны в рассматриваемый момент как к направ­ лению вектора В0 магнитного поля, так и к направлению движения самого возмущения. В этом смысле альвеновская волна — волна поперечная. Скорость ее движения вдоль оси х равна проекции век­

то передвижение альвеновского возмущения вдоль оси х отсут­

так что возмущение скорости вызывает возмущение магнитного поля и наоборот.

Возникновение волны Альвена может быть пояснено простым рассуждением. Предположим, что вектор В0 совпадает с осью х {рис. 57) и пусть в точке А в неподвижной жидкости возникла

124

Эта запись соответствует закону изменения переменной ве­ личины, распространяющейся плоской волной. Здесь р' и ~В'У —

следовательно, и = со//г представляет собой скорость (фазовую) движения плоской волны вдоль оси x, которую нам надо вычис­ лить на основе анализа волновых уравнений (121).

Для этого подставим выражения (122) в уравнения (121). Выполнив дифференцирование, получим систему двух уравне­

ний относительно амплитуд р' и В'у:

Найдем фазовую скорость и. Для этого воспользуемся условием существования нетривиального решения данной системы уравне­ ний. Оно состоит в том, что определитель, составленный из коэф­

126

где

« A = ВаіУ Po ( [ i m a ) 0 ; = ^ О . / / Po (И - та)о -

Аналогичный результат получается и из рассмотрения урав­ нений (120).

Таким образом, получено уравнение, из которого можно опре делить величину фазовой скорости и. Напомним, что корни биквад­ ратного уравнения

X4 +рх* + q = 0

аих

медленной магнитозвуковой волне. Существование этих волн

127

а медленная магнитозвуковая волна исчезает с исчезновением магнитного поля:

иы— > 0 при В —> 0.

Сравнительное представление о соотношении трех типов ско­ ростей дает диаграмма на рис. 58. Магнитное поле В0 на ней на­

В ионизированном газе существует явно выраженная ани­ зотропия в распространении малых возмущений. Это отчетливо иллюстрируется диаграммой (в частности, из диаграммы видно, что когда возмущение распространяется перпендикулярно ма­ гнитному полю, альвеновская и медленная волны исчезают и остается только быстрая магнитозвуковая волна). Когда распро­ странение возмущения идет параллельно магнитному полю, су­ ществуют все три типа волн.

§ 15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ

Основные уравнения

В различных технических задачах приходится иметь дело с так называемыми скачками уплотнения или ударными волнами. Скачки уплотнения возникают в сверхзвуковых потоках при на­ ложении малых (звуковых) возмущений как при внешнем обте­

Рис. 59. Образование скачков уплотнения:

а — при внешнем обтекании; б — при течении D к а н а л е

кании тел (рис. 59, а), так и при течении в каналах (рис. 59, б). При детальном анализе структуры скачка уплотнения было най­ дено, что параметры газа при переходе через скачок изменяются чрезвычайно резко (рис. 60). Толщина скачка А составляет не­ сколько длин свободного пробега молекул и измеряется в ангстре­ мах. Практически область перехода через скачок можно считать

128

математически тонкой поверхностью, при этом параметры газа на ней терпят разрыв. В этом случае для анализа течения через ска­ чок нельзя воспользоваться дифференциальными уравнениями не­ разрывности и движения, которые были выведены выше для непрерывного распределения параметров потока по координатам и времени.

Для решения задачи при наличии поверхности разрыва рас­ смотрим три основных уравнения механики: уравнение сохране­ ния массы, уравнение импульсов и уравнение сохранения энергии в применении к массе газа в объеме V с поверхностью s, которая

и напряжениями сдвига пренебрегаем, т. е. рассматриваем не­ весомую невязкую среду.

Уравнение энергии для выделенной массы газа запишем в виде