книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Рис. 100. Схема обтекания цилиндра в плоскости г

Комплексный потенциал суммарного потока

или

Придавая і|; различные значения, получим семейство линий тока. Положим яр = 0, тогда нулевая линия тока распадается

200

на две ветви: первая — уравнение оси х, а вторая — уравнение

окружности х~ - f iß = = R'2 с центром в начале координат

2яі'п

(рис. 100).

Радиус этой окружности

R==V~%k-

Введем в комплексный потенциал суммарного потока радиус

Поток, имеющий такой комплексный потенциал, соответствует обтеканию круга радиусом R плоскопараллельным потоком ѵ0.

Если центр круга радиусом R смещен по оси абсцисс на рас­ стояние — о , то комплексный потенциал потока, обтекающего этот круг, будет иметь вид (с точностью до постоянной):

( JD2

W Z + T+F

Комплексный потенциал источника и вихря, расположенных в одной и той же точке (вихревой источник)

Комплексные потенциалы точечного источника и вихревой точки запишутся соответственно:

201

откуда

Изображение линии тока дано на рис. 101. Определим угол наклона касательной к направлению радиуса-вектора точки касания:

т. е. угол наклона касательной к направлению радиуса-вектора точки касания вдоль линии тока остается постоянным. Такая кривая называется логарифмической спиралью.

Комплексный потенциал потока с двумя источниками

Комплексный потенциал потока с двумя источниками, распо­ ложенными на оси X (рис. 102) симметрично относительно начала координат, имеет вид

Рис. 102. Два источника в плоскости z

202

Обтекание круглого цилиндра внешним источником

©

Подставляя каждое из этих условий в формулу дробно-линей­

- - R + d

Из двух последних равенств определим значения b и d:

Найдя из формулы дробно-линейного преобразования

_ t,d — b

построим выражение для комплексного потенциала потока в пло­ скости £, для чего выразим члены, входящие в выражение (209) через £. После несложных алгебраических преобразований полу­ чим, что

Подставляя значения (z + а) и (г — а) в выражение (209), получим выражение комплексного потенциала для плоскости £ в следующем виде:

Сравнивая координаты точек 3 и 4, замечаем, что произведение их равно квадрату радиуса полученной нами окружности в пло­ скости £:

Такое расположение двух точек относительно окружности называется инверсией или симметрией.

Рассмотрим выражение комплексного потенциала потока в пло­

точечным источником, надо источник симметрично отобразить внутрь круга и на противоположном конце диаметра круга рас­ положить двойной сток.

Начнем отодвигать источник Q в бесконечность. При этом симметричный относительно окружности источник будет переме­

204

Определим комплексный потенциал обтекания круглого ци­ линдра источником, расположенным в бесконечности (Ii —> оо):

Br = 4ln(Z + Ä) = 4-lnA + - £ l n ( £ + 1 ) ,

где -у— In /г — постоянная величина, нас не интересующая, а

0

Рис. 104. Обтекание цилиндра внешним источником или стоком, отнесенным в бесконечность:

а — источником; б — стоком

205

т. е. источник, расположенный в бесконечности, никакого влия­ ния на рассматриваемый поток в окрестности цилиндра не ока­ зывает.

Расщепляя двойной сток (рис. 104, а) на два симметричных относительно окружности стока, получим обтекание окружности, изображенное на рис. 105, б.

Сложив первоначальный поток (рис. 103) с потоком, изоб­ раженным на рис. 104, б, получим новый поток — обтекание ци­ линдра внешним источником (рис. 105, а).

Складывая последние два потока, получим обтекание цилиндра источником и стоком равных обильностей (рис. 106).

Рис. 105. Обтекание цилиндра внешним источником и стоком, располо­ женными на расстоянии ft:

а — источником; б — стоком

206

Комплексный потенциал этого потока

Рассмотрим предельный переход от выражения (211) к ком­ плексному потенциалу обтекания цилиндра равномерным потоком. Для этого рассмотрим отдельно внешний и внутренний потоки.

Для внутреннего потока

Рис. 106. Обтекание цилиндра стоком и источником равных обильностей

т.е. получим комплексный потенциал диполя. Для внешнего потока

лучим равномерный поток вдоль оси £. Обозначая скорость этого потока через ѵ0 = 2 я ^ 2 > получим W2 S.

207

с циркуляцией

Расположим в центре цилиндра вихрь с интенсивностью Г, тогда его комплексный потенциал

Предположим, что плоскопараллельный поток направлен вдоль оси x (рис. 107); тогда комплексный потенциал потока с учетом обтекания цилиндра, расположенного в начале координат, запи­ шется так:

Рис. 107. Обтекание цилиндра потоком с циркуляцией

Комплексный потенциал суммарного потока

W = W, + Wb = va[z + ^ ) + ^ - 1 п г = ф + пр.

Определим выражение потенциала скорости в полярных координатах.

В этом случае комплексное число z удобнее написать так: г = ге' а = г (cos а + i sin а).

Тогда, выделяя действительную часть комплексного потен­ циала, получим

cp(r, a) = v0rcosa ( l + - ^ - ) - - ^ Г а -

208

Найдем величину скорости, направленной вдоль радиусавектора точки:

V r = ^ = v0cosa[\-—).

Для поверхности цилиндра г = R и ѵг = 0, так как цилиндр является линией тока и, следовательно, векторы скорости обя­ зательно касаются ее.

Определим величину скорости, направленной перпендику­ лярно радиусу-вектору точки:

На поверхности цилиндра /• = R, следовательно:

ѵа = — 2-u0sina— 2 ^ - .

Положителное значение ѵа соответствует увеличению угла а, отсчет которого ведется против часовой стрелки.

Найдем точки на поверхности цилиндра, в которых скорости потока равны нулю. Такие точки называются критическими. Приравнивая ѵа = 0, получим

Это уравнение имеет два корня ссх и а 2 = 180° — ах. Следова­ тельно, расположение критических точек на контуре цилиндра

цилиндра будут различными, вверху скорости больше, чем внизу, а давления вверху меньше, чем внизу. Появляется разность давлений и возникает подъемная сила цилиндра, обтекаемого с циркуляцией. Циркуляция вносит несимметрию в поток, который

Мы рассмотрели различные элементарные потоки жидкости. Перейдем теперь к изучению более сложных потоков, представ­ ляющих собой обтекание различных тел. Изучение таких потоков в значительной мере упрощается применением метода конформных