Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Г Л А В А V

ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ

§ 25. ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ЕГО СВЯЗЬ

С ТЕОРИЕЙ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

При плоском течении жидкость движется так, что все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в па раллельных плоскостях, и скорости течения во всех точках любой прямой, перпендикулярной к этим плоскостям, одинаковы.

Рассмотрим плоское движение идеальной несжимаемой жид кости, обтекающей крыло произвольной формы (рис. 93).

Рис. 93. Линии тока при плоском установившемся течении

Уравнение неразрывности в плоской задаче принимает вид

	Ѵх		дѴу_	(197)
	дх		ду	(197)
	дх	1	ду
Предположим,	что движение жидкости			задано уравнениями:
ѵх	= ѵх (х, у,	t);	ѵи = ѵу (х,	у, t).

Тогда дифференциальное уравнение линии тока запишется так: dx dy

ИЛИ

vx dy — Vy dx = 0.

(198)

190

Напомним, что условием полного дифференциала, как известно из курса математического анализа, является равенство накрест


лежащих	производных, т. е.		выражение
	M (х, у) dx		+ N (х, у) dy
является	полным дифференциалом при дМІду			= dN/dx.
Из уравнения (197) видно, что левая часть уравнения (198)
является	полным дифференциалом некоторой			функции "ф (х, у),
называемой функцией тока,		т. е.
	dty =	vxdy— vy dx.		(199)
По определению полного		дифференциала

Сравнивая коэффициенты при dx и dy в этих уравнениях, получим, что при плоском движении несжимаемой жидкости выполняются условия:

	• • - S - i ' v — й -			<2 0 0 >
Линия тока	характеризуется условием	d\p = 0	или -ф = const.
Интегрируя выражение (199), найдем		уравнение линии		тока
і\|) = const. Придавая произвольной постоянной			различные	зна
чения, получим семейство линий тока.
Выясним	физический смысл функции тока я\|).

Прежде всего по определению, вектор скорости всегда касателен к линии тока; следовательно, жидкость течет между ли

ниями	тока.
Подсчитаем объемный расход жидкости, протекающей через
произвольную дугу /, соединяющую точки 1 и 2 линий тока					=
= Сх	и	л\|)2 = С 2 . Этот	расход определяется	потоком вектора
скорости		V через цилиндрическую поверхность		s с высотой,	рав
ной единице, или иначе			интегралом вида
			2

где ds = п dl 1. Следовательно,

dsx = dl cos (п, х) = dy;

-"S

dsy — dl cos (n, y) = —dx.

191

Известно, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных проекций. Тогда уравнение расхода получает вид

2			2
Q =	I vKdy	— Vy dx =	I d\p •—	— = C2	— С1ш
î	.		l
Итак, физически		разность	между	значениями	функций тока

в двух точках плоскости представляет собой объемное количество жидкости, протекающей между линиями тока, проходящими через эти точки. Наложим на рассматриваемый поток дополнительное

условие — потенциальность

течения.

Если поток потенциален, то, как было ранее показано, суще

ствует

такая функция ср (х,

у,

t), что

< 2 0 1 >

Сравнивая выражения (200) и (201), получим связь между

функцией

\р (.V, у,

тока

потенциалом

скорости

ср (х, у, t),

т. е.

dtp

dip .

дц>

dip

(202)

дх

ду

дх

При выполнении условий (202) функции ср и \р дают одну

функцию

W аргумента

z = х

-f- іу,

т.

е.

(z)

= ф (х, у) +

hp (Л-,

у).

Эта

функция

W (г)

комплексного

переменного

z = х + іу

называется

комплексным

потенциалом

течения

или

характери

стической

функцией,

где

независимое

переменное

представляет

собой любую точку плоскости декартовых координат, в которой все действительные числа изображаются точками оси х, чисто

мнимые — точками

оси у,

а комплексные

числа

как сочетание

2 =

X +

Іу.

При этом потенциал скорости ср и

функция тока

і|>

таковы,

что

в выражении

ср + п|э величины х

встречаются

только

в комбинации х + іу, т. е.

выражение

(z)

— ср -)- hp является

функцией

одного переменного

Если в некоторой точке соблюдаются условия (202), то функ

ция

комплексного

переменного

W (z)

дифференцируема

в этой

точке

по

Условия (202) называются условиями Кошп-Римана. По

скольку условия Коши-Римана для функции

W =

ср -f- hp в пло

ском

потенциальном потоке

несжимаемой

жидкости

выполнены,

то функция тока л|з и потенциал скорости

ср являются

сопряжен

ными

функциями,

так как

из

уравнения

неразрывности

дѵ,

, д-ѵäи- — 0

дх

ду

192

следует, что

f ! L -Çï_ o dx2 + 1 ду" = 'f

а из условия потенциальности

« . - - И £ —

следует, что

дх2 1 д</2

т. е. функции ср и ф удовлетворяют одному и тому же уравнению Лапласа.

Функция W (z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется аналитической для этой области.

Рассмотрим	физический			смысл		производной dWIdz. Поль
зуясь независимостью			значения			производной	от направления
Аг —> 0, вычислим		ее при у = const и при х — const:
dW		dW	~ "Ж"			дф
dz	~	dx				дх	(203)
dW		dW	_	оф	I	оф

dz	~	idy		idy	+	-öT = V * - l	V r

Производная dWIdz функции комплексного переменного пред ставляет собой комплексную сопряженную скорость, действи тельная часть которой равна проекции скорости потока в данной точке на оси х, т. е. ѵх, а «мнимая» — проекции на ось у с обрат

ным знаком т. е. —ѵу.	линий ср = const	и л\|з =
Рассмотрим взаимное расположение	линий ср = const	и л\|з =
= const. Для этого найдем направления	касательных к	линиям

в точке их пересечения. Из выражений для полных дифферен циалов функций ср и \\> получим

откуда

				dy>
(*L\				dx
\	dx	/ ф = с		Дф
				ду
(_*и_\				дф
(_*и_\			:	дх
\	dx	Уі\|)=е		dip
				ду
13 В. С. Бекііев				193

Таким образом, произведение угловых коэффициентов каса тельных для линий равно минус единице, т. е. линии тока г|з = = const и линии равного потенциала ср = const образуют в пло скости течения ортогональную криволинейную сетку (рис. 94).

Разберем различные простые потоки жидкости, к которым могут быть сведены более сложные течения.

(р-const

с и

Рис. 94. Ортогональная сетка линий ср = const и і|> = const

§ 26. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОТОКОВ И ИХ КОМБИНАЦИИ

Плоскопараллельный поток

Для получения комплексного потенциала плоскопараллель ного потока воспользуемся выражением (203):

	dW	•не
		•не
заменим ѵх	и ѵу через ѵ0 и а 0	(рис. 95) и перейдем к показа
тельной форме	комплексного числа:
		d\V	cos a0	.	,	sin a0	=
		—-j— = v0	cos a0	—	iv0	sin a0	=
	f=const	= v0&~ia"		= const.

Проинтегрировав данное вы ражение, получим комплексный потенциал плоскопараллельно го потока:

Рис. 95. Прямолинейный плоскопарал				W (z) = u0 e-'a °z -f- const.			(204)
лельный	поток в плоскости г
Линии	равного	потенциала		и линии тока определяются			урав
нениями	прямых:
Ф (х, у) =		v0	(х cos a 0	-f- у sin a0 )	-f- Cx	— const.
x\> (x, У) —vo			ІУ cos a o — x sin a0 )		-f- C2	= const.

194

Комплексный потенциал точечного источника

Предположим, что в начало координат помещен источник интенсивностью Q (рис. 96). При этом значения скорости ѵг будут изменяться обратно пропорционально радиусу, так как Q =

=2ягѵг.

Разложим ѵг по направлениям координатных осей:

		ѵх		= ѵг cos a; vy = ѵг	sin а,
тогда
dW	. iüy =			Vf (cos a — i sin a) =	- ^ - (cos a — i sin a).
dz	. iüy =			Vf (cos a — i sin a) =	- ^ - (cos a — i sin a).
dz
Умножив числитель и знаменатель на (cos a + i sin a), получим
dW	Q		X
dz		2я	X
1
X г (cos a +	i sin a)			2nz
Проинтегрировав				это выра
жение, получим		комплексный
потенциал точечного				источника
с точностью	до	произвольной
постоянной:

W = ф + й|5 = - ^ - In z - j - const. (205)

Линии равного потенциала

определяются уравнением

Рис. 96. Источник в плоскости г

Ф = - A - In г - j - С± — const,

т, е. представляют собой' окружности, г = const. Линии тока определяются уравнением

•ф = ~ - a + С2 = const,

т. е. представляют собой лучи, a = const.
Если	интенсивность Q отрицательна, то будем иметь								точечный
сток.
Если	источник		или	сток	помещен не	в	начале	координат,
а в точке z0 =		х0 + іу0,		то комплексный		потенциал
		r ( z ) = A _ l n ( z O = - \| r l n ( z - z 0 ) ) _						.
так как	z' =	z—z„,	где z0		— координата		источника1		(стока).

13*

195

Комплексный потенциал вихревой точки

Предположим, что в начале координат помещен вихрь с вра щением против часовой стрелки и интенсивностью Г (рис. 97). Это такой поток, циркуляция вектора скорости в котором по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь, есть величина постоянная, Г = 2лгѵи.

Разложим ѵи =	2 л г п о	координатным				осям:
	Г .				Г
ѵк = — -=—sin a;				v.. = -=—cos а,
Л	2яг	'	и		2лг	'
тогда сопряженная	скорость	примет			вид

В этом потоке линии равного потенциала представляют собой

лучи, а =	const,	а линии	тока	являются окружностями, г =
= const.				z0 — ,v0 - f iyQ,
Если вихрь помещен в точке				z0 — ,v0 - f iyQ,	то комплексный
потенциал	будет	иметь вид
При вращении жидкости			по часовой стрелке		получим
		W = ^L\n(z-z0).			(206)

Метод наложения потенциальных потоков

Поскольку уравнение Лапласа линейно, т. е. обладает тем свойством, что сумма его частных решений является также реше нием, то сумма потенциалов скоростей всегда представляет собой потенциал скоростей нового потока; соответственно сумма функ ций тока представляет функцию тока этого потока.

Это свойство дает возможность из простых потоков сложением получать сложные потоки. Потенциалы скоростей и функции

196

тока складываются алгебраически, а скорость в любой точке сложного потока равна геометрической сумме скоростей склады ваемых потоков.

Предположим, что имеется		два	потенциальных потока:
Ф і (х,	у)	и- Ф а	(х, у).
Сложим их:
Фз	=	Ф і +	ф 2 -

Покажем, что сумма потенциалов скоростей двух потоков представляет потенциал скоростей нового потока, т. е. что спра ведливо равенство

	д2Фз	, д2Фз _	п
	дх* ~г ду2 ~		и-
После дифференцирования		суммарного		потока	получим
4 3 г +	= А с Р з =	д (Фі +	Фв) =	д Ф і +	Д Ф 2 -

Но так как каждое слагаемое правой части равно нулю, сле довательно, уравнение Лапласа для ср3 справедливо, т. е. сумма потенциалов скоростей двух потоков представляет собой потен

циал	скоростей	суммарного	потока.
Аналогичный результат может быть получен и для функции
тока	\\>3 =	+ Ф-2-
Комплексный потенциал точечного					источника
и точечного стока равной обильности
Расположим		источник и сток		на	оси х на равном расстоянии
от начала координат в точках l u				l l	(рис. 98). Тогда их комплекс
ные	потенциалы	запишутся	так:

W2 =	« _ i n ( z - ô ) ,

а комплексный потенциал суммарного потока

Пусть
z +	b = i\tiai	;	z — b = r.1éa\
где i\ = У(х + b)2	+if)	=	arctg-^-фу и т. п.

197

Тогда

		2п	1 п 7 Г + * ( а і — « а )
		ЛЬ: 2лQ		К	— а2 ).
Положив	\р — const,		получим		линию тока.			Следовательно,
для линии	тока	а г — а х =		— const.		выполняется,			является
Линией,	для	которой	это	условие
окружность, проходящая			через точки /			и	/7. В	таких точках
f				комплексный			потенциал		обраща
				ется	в ±оо .

Линии равного потенциала ср =

\ Ж=const

\ /	* ѵ	J
Vf	t Yt f
r \ / \

Рис. 98. Сток и источник в плос кости z

= -ß-	In —		= const также			пред
ал		г2		окружности, так
ставляют		собой
как	условие		г х /г 2		= const	соот
ветствует		условию
(x	+ Ь)2 Л-у2			=	1{х—Ь)*	+
		-f-	у2]	const,

а это есть уравнение семейства аполлониевых окружностей.

Комплексный потенциал диполя Рассмотрим комплексный потенциал предыдущего потока

W = 4-	inl±f .
2я	г — ù

и предположим, что b —» О так, что произведение Q26 = m остается постоянным. Такой поток, в котором источник и сток помещаются в одной точке и сохраняется произведение Q2b, называется диполем. Тогда

4я6 In z + b

При b — i ность вида Раскроем

О это выражение представляет собой неопределен-

О "

эту неопределенность по правилу Лопиталя:

	in z + b	1	—1
tim	+'	lim- z + b	z— b
ь+о	°	й->0	I
ь+о	°	й->0

198

следовательно,	2т	1		(207)
W =			2 Я2
	4л	z

Величина m называется моментом диполя, а линия, вдоль которой b —> 0, называется осью диполя. Построим линии тока и эквипотенциальные линии (линии равного потенциала) диполя:

I V 7

m 1

x — iy ni

, .,

таким образом

Ф =	ni	x
Ф =	2л	х2Л-у2
	III	у
	2л	х2 -f- у"

Полагая \\> = const, по лучим

+ у2

C i

или

Это

уравнение предста

вляет

собой

окружность

центром, лежащим на

Рис.

99.

Диполь

в плоскости

оси

у (рис. 99).

Аналогично

рассматривая

линии

ср =

const,

придем

урав

нению

окружности с центром

на оси х:

У = -

Определим

направление

течения

у2

—

дх

2я

(х2

+ у2)*

ѵх

При

I у I >• I x I составляющая

скорости

вдоль оси

будет

>• 0, т. е. жидкость течет с правой стороны на левую. Направ

ление течения жидкости показано на рисунке стрелками.

В том случае, если ось диполя не совпадает с осью х и состав

ляет

с ней угол ß, то

2Л2,

где

= ге'а <.

199

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ