книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Из равенства W (z) = W (Ç) следует, что

ф (х, у) = Ф (I . il); У (х, у) = -Ф (Ê,

т. е. значения потенциальной функции и функции тока в соответ­ ствующих точках плоскостей z и £ равны (строго говоря, отли­ чаются на произвольную постоянную).

Составим разность

Фс — Фа == sin ß; г|)с — % = wxt cos ß.

По условию задачи, следуя Ф. Вайнигу, отобразим полоску abac на внешность единичного круга. Но через линию ас жидкость входит в полоску и обтекает пластинку, следовательно, в пло­ скости £, где отображения точек а и с совпадают, из-за периодич­ ности течения в плоскости z должен получиться источник интен­ сивности

Q = Ус —

В силу же равенств (231) вместе с источником в плоскости £ должен находиться вихрь с циркуляцией Г = срс —сра .

Рассуждая аналогично, получим, что линии bd плоскости z соответствует сток той же интенсивности Q и вихрь с циркуля­ цией Г, но противоположного вращения.

Располагая вихреисточннк и вихресток соответственно в точ­

Чтобы получить обтекание круга единичного радиуса, необ­ ходимо (см. § 26) дополнительно поместить в точках 3 и 4 вихре­ источннк и вихресток.

Направление циркуляции в точках / и 2 выбирается таким, чтобы сохранить направление движения жидкости на границах области.

Например, на линии ас течение направлено от а к с слева от пластинки. Поэтому, чтобы движение на границе области в пло­ скости £ шло снизу вверх, циркуляция вокруг точки / должна быть направлена против часовой стрелки.

Составим комплексный потенциал обтекания цилиндра в пло­

240

Ап2 плоскости £. Линии, пересекающей полоску слева от ре­ шетки, соответствует замкнутая кривая вокруг точки / плоскости £.

Заметим, что в функцию отображения входит неизвестная величина /г, которую мы в дальнейшем будем определять.

Общая задача обтекания решетки, составленной из прямоли­

Обозначим среднегеометрическую скорость потока до и после

w„ /1

Рис, 130. Соответствие плоскостей г и Ç при парал­ лельном обтекании пластин

Рис. 131. Соответствие плоскостей г и £ при перпендику­ лярном обтекании пластин

Рис. 132. Соответствие плоскостей г и £ при циркуляционном обтекании пластин

Сумма этих трех потоков дает перед входом в решетку величину и направление скорости wlt а после выхода из решетки величину и направление скорости w2. Угол ô называется углом атаки по­ тока по отношению к решетке.

242

Бесциркуляционное параллельное обтекание решетки прямолинейных профилей

Рассмотрим случай течения жидкости параллельно направле­ нию пластинок решетки, т. е. бесциркуляционное обтекание решетки потоком со скоростью

arctg-

или

244

или

висимости от угла установки пластин в решетке и положения вихрестоков и вихреисточников в плоскости отображения. Этот угол определяет расположение критических точек на окружности отображения. Тем самым мы нашли расположение в плоскости £

Следовательно, по формуле (233) получим

ФА = —Фв- Из условий конформности имеем

(ФА — Фв)2 = (Фл — Фя)с = 2 (ерД.

245

Бесциркуляционное перпендикулярное обтекание решетки прямолинейных профилей

Рассмотрим плоскопараллельный поток, направление которого в бесконечности перпендикулярно направлению лопатки решетки (рис. 131). Пусть скорость на бесконечности справа и слева от решетки одна и та же: w± = w0 sin ô.

В этом случае циркуляция скорости в плоскости £ вокруг точки 1

за скобку и переходя к показательной форме комплексных чисел, получим

246

По своей структуре это выражение похоже на выражение комплексного потенциала потока \Ѵ\\, направленного вдоль ло­ паток.

Определим величину скорости, получающейся в точках А и В при рассматриваемом потоке через решетку. Для этого определим выражение для потенциальной функции cpKjL из выражения

W± = фк± - Ифкл .

Представим выражение, стоящее в квадратных скобках урав­

Для определения ц>к± нас интересует только мнимая часть этого выражения, т. е.

следовательно,

247

или

откуда потенциальная функция скорости для контура окруж­ ности

248

Аналогично

При обтекании профиля в решетке, так же как и при обтека­ нии изолированного профиля, его задняя кромка служит местом схода потока. Это положение о конечной величине скорости схода с острия профиля называется постулатом Чаплыгина—Жуков­ ского.

Первый поток (параллельный) не противоречит постулату Чаплыгина—Жуковского, где точка А пластинки является точ­ кой схода, а точка А окружности служит критической точкой.

Ни второй, ни третий потоки в отдельности не дают критиче­ ских точек в точке А окружности, т. е. не удовлетворяют посту­ лату. Однако, если подобрать величину циркуляции Гл для третьего потока такой, чтобы суммарная скорость от второго и третьего потоков в точке А окружности стала равной нулю, то

249'