книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления
.pdf70 |
Глава 3 |
где предел берется в среднеквадратическом
Е \l-\fAt)dy(l)\- |
>0. |
(5.8) |
Можно также определить интеграл как любую случайную вели чину, которая равна / с вероятностью 1. Таким образом, можно распространить определение интеграла на случай, когда суще ствуют интегралы lf2dr и \idni. При этом сохранятся свойства (5.4) и (5.6). Следовательно,
E$f[t)dy(t)= |
\f(()dm(t), |
(5.9) |
var ]f{f)dy(t)= |
jr-(t)dr(t). |
(5.10) |
Подробное доказательство приведено в работе [11] |
(разд. 11 |
|
данной главы). |
|
|
Интегралы от стохастических процессов
Для случая, когда f — стохастический процесс, интеграл (5.1) можно определить как предел в среднеквадратическом. Если / не зависит от у, то обобщение очевидно, и в этом случае нельзя получить какие-либо интересные результаты. Если / зависит от у, то интеграл будет обладать необычными свойствами: напри мер, он будет зависеть от выбора т*. Покажем это на примере.
Пример 1
Рассмотрим интеграл
|
t |
|
|
|
|
|
\w(s)dw(s), |
|
|
(5.11) |
|
|
о |
|
|
|
|
где {w(t), |
t еТ}—винеровский |
процесс с единичным |
парамет |
||
ром дисперсии. Пусть интервал |
(о, t) точками o = |
t\, |
t2, |
tN, |
|
разделен на N подынтервалов. Используя |
рассмотрен |
||||
ный выше |
метод, интеграл (5.1) |
можно, например, |
определить |
||
любым из следующих выражений:
|
|
N |
|
/ 0 |
= |
l i m £ а» ft) \w(U+i)-w(ti)], |
(5.12) |
Л |
= |
l i m i > ( * , + , ) [w(tt+l)-w(tt)h |
(5-13) |
|
|
i=i |
|
где предел берется в среднеквадратическом.
Если бы интегралы можно было определить как обыкновен ные интегралы Стильтьеса, то они были бы равны, так как опера-
Стохастические модели "состояния |
71 |
ция интегрирования непрерывна. Однако стохастические интегра лы не обладают этим свойством, поскольку
|
N |
|
h-Io |
= lira £ [w (U+i) - w (/,)] 2 = t. |
(5.14) |
(Сравните этот результат с упражнением в разд. 4.)
Таким образом, этот пример показывает, что выбор т* В фор муле (5.3) существен при определении стохастического интегра ла. Учитывая это замечание, можно определить континуум сто
хастических |
интегралов |
следующей |
формулой: |
|
|
/ , = ( 1 - я ) / 0 |
+ Ч = |
|
|
|
|
= |
lim i [(1 - X)w(tt) |
-г te>(t(+l)] |
[w (t{+1) - w (tt)] |
(5.15) |
|
|
i=i |
|
|
|
|
при |
0 < ^ < 1 . |
|
|
|
|
Некоторые из этих интегралов имеют особые названия, /о назызывается интегралом Ито, a I0t5 называется интегралом Стратоыовпча. Рассмотрим свойства этих интегралов более подробно.
Пусть |
{y{t), |
teT}—нормальный |
процесс |
с независимыми |
||||
приращениями. Обозначим функцию |
среднего |
значения |
через |
|||||
m(t), а |
ковариационную |
функцию |
через |
r{t). |
Интеграл |
Ито, |
||
определенный |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
j f it) dy (0 = |
lim £ |
/ (t.) [у (tl+l |
- * ( * , ) ] , |
(5.16) |
|||
обладает следующими свойствами: |
|
|
|
|
||||
|
|
Е\f{t)dy{i)= |
${Ef(l)}dm(t), |
|
(5.17) |
|||
cov [ j / (0 dy (0, j g (0 dy (0] = J [Ef (0 g (0] dr (0. (5.18)
Строгое доказательство приведено в работе [11]. Уравнения (5.17) и (5.18) показывают, что операции математического ожи дания н интегрирования перестановочны.
Из примера 1 следует, что формула (5.17) неверна для инте гралов Ik, если ХфО.
Интегрирование по частям |
|
|
|
Для интегрирования |
по частям |
часто употребляется |
фор |
мула |
|
|
|
| /(s)dy(s) |
= f(s)y(s) |
| - [ у ( s ) d f (s), |
(5.19) |
(I |
0 |
0 |
72 |
Глава |
3 |
которую можно записать в следующем виде: |
||
|
t |
t |
|
f (0 y(Q — f (0) у (0) = j ' |
/ (s) dy (s) + j у (s) df (s). (5.19a) |
|
о |
0 |
Найдем, существует ли соответствующая формула для стохасти ческих интегралов.
Пусть 0 = tu t2, |
t^+i — t — подразбиение |
интервала |
(0, t). |
|||||||||
Рассмотрим равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
/ ( ' H - I ) [У(*ш)-У{ь)] |
+У(**) |
|
[ / ( W - ' C * ) ] |
= |
|||||||
= |
у ()[f{tn.i)-f\tk)]+f{lk)[y[ |
|
|
|
|
|
|
* ш |
) |
- * ( Л ) ] • |
||
Суммируя по k и перейдя к среднеквадратическому |
|
пределу при |
||||||||||
max |
— *i|-»-0, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (*) У (0 - |
/ (0) У (0) = Л (Л dy) + /о (У, d/) |
= |
|
|
|||||||
где |
|
|
= Л (М/ ) + Л> |
|
|
|
|
|
(5.20) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 0 ( f , % ) |
= l i m £ |
f (Л) [г/ |
( |
* |
, |
+ |
, |
) |
( |
5 - |
2 1 ) |
|
|
Л' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 ( / , r f y ) = l i m 2 |
[ |
< |
/ |
( * |
, |
• |
+ , |
• |
(5-22) |
||
Таким образом, аналогия между формулами интегрирования по частям существует. Отметим, однако, что если / — стохастиче ский процесс с независимыми приращениями, то для получения искомой формулы требуется два интеграла /о и 1\.
Кроме того, если ввести симметричный интеграл
V s = Y , |
7 ° + |
/ ' ) ' |
( 5 - 2 3 > |
|
то из соотношения (5.20) получим |
выражение |
|
||
/ (0 УН)-! (0) У (0) = |
/ 0 |
5 |
(/, dy) + / 0 j 5 (у, df), |
(5.24) |
которое представляет собой хорошо известную формулу (5.19) для интегрирования по частям. Симметричный интеграл, опреде ленный формулой
N
/o.» = I l m T S [ / K ) + ^ ( W ] И ' ж ) - * ( М ] ' ( 5 -2 5 >
1=1
был назван интегралом Стратоновича. Таким образом, можно
Стохастические модели состояния |
73 |
сделать вывод, что обычная формула интегрирования по частям полезна также и для стохастических интегралов, если их интер претировать как интегралы Стратоновича.
Сравнение с формальным интегрированием
Для понимания свойств стохастического интеграла проведем сравнение с формальным интегрированием в случае, когда это возможно. Сначала рассмотрим §wdw. Если w — обычная функ ция, то получаем
t
w(s)dw(s) |
= —(w2(t) |
— w2(0)). |
о |
2 |
|
|
|
|
Если {w(t)}—винеровский |
процесс |
с единичным параметром |
дисперсии, то интеграл можно интерпретировать многими спосо бами. Рассмотрим
/,(w, dw) = |
lim f |
[ha (t.+ l ) |
+ (1 - |
X)w (/.)] |
[w |
( - w [ t . ) \ . |
|
Выражение под знаком суммы можно |
представить следующим |
||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
[Xw , tt+l) |
+ (1 - X)w{tt)] |
[w[tl+l) |
- |
w{tt)] |
|
= |
|
= »(*,)»( |
ti+l) - w* (tt) + |
Я [w (tc + l ) |
- |
w ( |
|||
2 |
г |
' ( |
^ ) - ^ ^ ) } + ^ ~ т ) ^ ( ^ ~ |
ш |
^ У - - |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Так как сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- » ( M ] S |
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
сходится к t с вероятностью 1 при N-+oo, |
то |
|
|
|
||||
I x |
(w, dw) = ±- [и;2 (t) - |
ш2 (0)] |
+ (X - |
±у. |
|
|
||
В данном примере стохастический интеграл совпадает с фор мальным интегрированием, если интерпретировать стохастиче ский интеграл как интеграл Стратоновича.
Упражнение
1.Рассмотрим интеграл
/= §f(s)dy(s),
и
74 |
Глава 3 |
где {y(t), i еТ}—процесс |
с независимыми нормальными при |
ращениями со средним значением пг и ковариацией приращений
dr. Допустим, что у(0)=0. |
Пусть /, пг и г — непрерывно |
диффе |
||
ренцируемые функции. Обозначим производные через f, |
in' и г'. |
|||
Определим интеграл / формулой |
(5.2) |
|
|
|
I = f{t)y{t)~ |
\ |
f'(s)y(s)ds. |
|
|
|
|
6 |
|
|
Показать, что |
|
|
|
|
El |
= |
^f(s)m'(s)ds, |
|
|
|
о |
|
|
|
|
t |
|
|
|
var / |
= jf-(s)r'(s)ds. |
|
||
|
о |
|
|
|
Сравнить этот результат с выражениями (5.9) и (5.10).
6. ЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этом разделе дано точное определение линейного стоха стического дифференциального уравнения, введенного в разд. 4. Рассмотрим
dx = |
A (I) xdt + do, |
|
|
(6.1) |
||
где х—/г-мерный вектор, {v(t), |
t еТ}—/г-мерный |
винеровский |
||||
процесс с ковариацией приращений Ridt, А — квадратная |
мат |
|||||
рица порядка пУ^п. Элементы матриц А и |
Ri—непрерывные |
|||||
функции времени. Предположим, что начальное значение x(t0) |
— |
|||||
нормальная случайная величина |
со средним |
значением |
«г0 и |
|||
ковариацией Ro. |
|
|
|
|
|
|
Сравнив эти условия с эвристическими |
рассуждениями |
в |
||||
разд. 4, получим, что о = 1 |
не зависит от х. |
Если |
выражение |
|||
(6.1) интерпретировать как |
среднеквадратический |
предел |
раз |
|||
ностного уравнения, то несущественно, используем ли мы пря мые или обратные разности. Сравните эти выводы с выражени ем (4.15).
Если значение и в уравнении |
(6.1) |
имело бы ограниченную |
|
вариацию, то решение уравнения |
(6.1) |
можно было |
записать |
в виде |
|
|
|
|
i |
|
|
X (t) = Ф (/; t0) X (t0) |
+ J Ф (/; S) dv (s), |
(6.2) |
|
Стохастические модели состояния |
75 |
где Ф удовлетворяет дифференциальному |
уравнению |
|
dcD(M0 ) = A |
[ t ) 0 ( t . t o ) |
( 6 3 ) |
dt |
|
|
с начальным условием |
|
|
O(t0\t0) |
= I . |
(6.4) |
Уравнение (6.1) часто используется для моделирования систе
мы, входной сигнал которой |
представляет собой белый |
шум |
с ограниченным частотным |
диапазоном. Чтобы сохранить |
эту |
|
По |
|
Р и с . 3.1. Блок-схема системы dx/dt= |
Р и с . |
3.2. Блок-схема стохастиче- |
|
=Ах-\-и. |
ского |
дифференциальгого |
уравне |
|
ния (6.1), при решении которого |
||
|
используется определение |
инте |
|
|
|
грала (5.2). |
|
интерпретацию, желательно представить уравнение (6.1) в виде блок-схемы, подобной блок-схеме на рис. 3.1, где входным сиг налом является производная от v. Но так как v не имеет про изводной, такое представление невозможно. Однако если ин теграл (6.2) определяется выражением (5.2), то решение урав нения (6.1) можно интерпретировать как интеграл от выбороч ных функций и его можно также представить в виде блок-схемы
с входной переменной v (рис. 3.2). Отметим, что, строго |
говоря, |
|||||
такую блок-схему |
можно не давать, |
если |
уравнение |
(6.1) ин |
||
терпретировать |
с |
использованием |
стохастического |
интеграла, |
||
так как интегральный блок в блок-схеме |
представляет |
собой |
||||
интегрирование |
функции времени. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим свойства решения (6.2). Так как переменная х является линейной функцией нормального процесса, то она также нормальна и может быть полностью описана средним значением и ковариационной функцией. Для их вычисления по ложим
t
Ex (t) = Ф (/; t0) Ex (/„) + E j ' Ф (t; s) dv (s).
и
Используя свойство (5.9) стохастического интеграла, получим.
76 |
Глава 3 |
что второй член в правой части равен нулю. Следовательно,
|
тх |
(t) = |
Ex(t) |
= |
Ф |
t0) |
Ex(t0) |
= Ф (t-10) m0. |
|
|
(6.5) |
||||||||||
Дифференцируя, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Т |
= |
7 - ф С ; |
* о К = Л (t)Ф(t; |
t0)m0=A |
(t)mx, |
|
|
(6.6) |
||||||||||||
|
|
at |
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где второе равенство вытекает из условия (6.3). |
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение |
(6.2) |
можно |
|
получить непосредственно переходом |
|||||||||||||||||
в уравнении |
(6.1) |
к |
математическому |
ожиданию с |
использова |
||||||||||||||||
нием теоремы 6.2 гл. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Начальное значение |
для |
уравнения |
(6.6) |
получено |
из |
выра |
|||||||||||||||
жения (6.5), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx(t0) |
= |
m0. |
|
|
|
|
|
|
(6.7) |
|||
Для |
вычисления |
ковариации |
х |
предположим, что т 0 |
= 0 . Это |
||||||||||||||||
можно получить, вычитая тх |
из |
х. |
Тогда |
Ex(t)=0. |
Для |
s^t |
|||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (s, 0 = |
cov |
[х (s), х |
(t)] |
= |
Ex |
(s) xT |
(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
E [Ф (S; /J X (t) + |
f Ф (S; S') |
dv (S')\ |
XT |
(t) |
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ф (s; t) Ex (t) XT |
(t) |
= |
Ф (s; t) |
R (/, 0 = |
Ф (s; О Я (/). |
|
(6.8) |
|||||||||||||
Первое |
равенство следует |
из |
Ex(t)—0, |
а |
|
третье |
вытекает из |
||||||||||||||
того, что v(s) |
не зависит |
OT.x(t) |
при s^t. |
Аналогично |
получим |
||||||||||||||||
|
|
|
R (s, t) |
= |
R (s, S) |
Фт |
{t; s) = P (s) Фт |
(t; s), |
|
|
(6.8a) |
||||||||||
где s ^ |
t. |
Для вычисления |
ковариации |
P(t) |
|
= |
R(t; |
t) |
образуем |
||||||||||||
следующеее |
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cov |
[x |
((), x (t)] |
= |
Ex (t) xT |
(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
E j Ф (t; |
|
|
|
|
|
t |
Ф (/; s) dv |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t0) |
X |
(/„) - f j |
(s) ] X |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
o' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [Ф [t- |
in) |
x (t0) |
+ |
|
f Ф (t; s) dv |
(s)]T |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
O(i;t0)Ex(t0)xT(tu)OT(t;t0) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
E [ J Ф (/; S) |
|
(S)] [ j |
Ф (/; S) dV (S) |
y |
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ф (t; tQ) R0 |
ФТ (/; *0 ) 4- |
j ' Ф |
|
s) R, |
(s) ФТ (t; s) ds. |
(6.9) |
|||||||||||||
и
Стохастические модели состояния |
77 |
Третье равенство следует из того, что v(s) |
и x(t) |
|
независимы |
|||||||||||||||||
при |
s^t, |
|
|
а последнее |
равенство |
вытекает |
из |
свойства |
(5.10) |
|||||||||||
стохастического |
интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Дифференцируя |
выражение (6.9), |
получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dP_ |
|
|
dt |
|
|
R0OT |
(t; |
t„) + |
Ф (/; |
t0) |
R0 |
4 |
Ф Г |
(t\ |
to) |
+ |
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
<b(t;i)R1№T{i;t)+ |
|
f |
dt |
0(t;s) |
R^O7 |
|
(i-s)ds |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Or(t;s) |
ds. |
|
|
|
|
|
|
|
(6.Ю) |
||
|
+ |
|
|
|
^0(t;s)R1(s) dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения |
(6.3) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
-%r<bT{t;t0) |
= <I>T(t;to)AT(t). |
|
|
|
|
(6.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
уравнений |
(6.10) |
и (6.11) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
A(t)P |
+ PAT(i) |
|
+ |
Rl[t), |
|
|
|
|
(6.12; |
|||
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(to) |
= |
Ro- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
||
Дифференциальное |
уравнение |
(6.12) |
можно |
также |
получить |
|||||||||||||||
непосредственно |
из |
стохастического |
дифференциального |
урав |
||||||||||||||||
нения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р (t+ h) — P (t) = Ex(t |
+ h) xT |
(t + |
h) — |
|
Ex (t) xT |
(t) |
= |
|
|
|
||||||||||
= |
E [ [x (t + |
h) — x (t}] [x(t |
+ |
h) — x |
(t)]T |
+ |
x(t) |
\x |
(t + h)—x |
(t)} T+ |
||||||||||
+ |
[x(t |
+ |
h)-x(t))xT(t)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
— E[(Axh |
|
+ At)) (Axh |
- f Avf |
|
f x (Axh |
+ |
Av)T |
+ |
|
|
|
|
||||||||
- f |
(Axh |
+ |
Aa) xT] + |
о (A) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
RJi + |
|
[ExxT) |
ATh |
+ AhE [xxT) |
+ |
o(h) |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
[PAT |
|
4-AP+ RL)h |
+ o{h). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Четвертое |
|
равенство |
следует |
из |
того, |
|
что |
х |
и Av |
независимы |
||||||||||
и E{Av) |
(Au) T = |
.R1 /i+o(/!.). Разделив |
на h |
и |
перейдя |
к |
преде |
|||||||||||||
лу при /г-»-0, получим выражение (6.12). Сформулируем теоре му 6.1, которая является итогом приведенных выше рассуж дений.
78 |
Глава 3 |
Теорема 6.1. Решением стохастического дифференциального уравнения является случайный процесс со средним значением тх(1) и ковариационной функции R(s, t), где
~£- |
|
= A(t)mx, |
|
|
(6.6) |
at |
|
|
|
|
|
mx(t0) |
|
= m0, |
|
|
(6.7) |
Я ^ |
) |
= 1 Ф ( 5 ' ^ |
^ |
S > t > |
(6.8) |
" |
; |
\P(s)0T(t;s), |
|
sKt, |
|
^=AP+PAT |
+ RU |
(6.12) |
|||
at |
|
|
|
|
|
P(t0) |
|
= R0. |
|
|
(6.13) |
Замечание. Аналогичные |
формулы для |
среднего |
значения и |
||
ковариационной функции можно получить, если предположить,
что |
{v(t), |
teT}—процесс |
с |
некоррелированными |
приращени |
|
ями с нулевым средним и ковариацией приращений |
R\dt. |
|||||
|
Возникает вопрос, стоит ли использовать этот метод для |
|||||
решения |
стохастического дифференциального уравнения в ли |
|||||
нейном случае? Нельзя ли получить аналогичный |
результат |
|||||
формальным преобразованием |
равенства |
|
|
|||
|
|
|
— = Ах + е, |
|
(6.14) |
|
|
|
|
dt |
|
|
' |
где |
{е}—непрерывный |
белый |
шум с ковариационной |
функцией |
||
|
|
cov [e(t),e(s)] |
= Rfiit — s). |
|
|
|
Чтобы показать, как легко получить при этом неверный резуль тат, проведем некоторые формальные преобразования равенст ва (6.14). Рассмотрим, например, вычисления ковариационной матрицы
|
|
Р (t) = Ex (0 хТ |
(t). |
|
||
Дифференцируя |
по времени, получим |
|
|
|||
— = Е— хт |
+ Ex— |
= Е(Ах |
+ е)хт + Ех(Ах |
-f е)т = |
||
dt |
dt |
dt |
v |
' |
' |
' |
= |
AExxT |
± {ExxT) |
A t = AP + |
PAT. |
|
|
Очевидно, что это неверно, так как мы получаем только первые два члена выражения (6.12), т. е. для случая, когда е = 0 . По лучение неверного результата объясняется тем, что производ ная dx/dt не существует. Так как dx имеет размерность у dt ,
Стохастические модели состояния |
79 |
то обычные правила дифференцирования в этом случае не при
менимы. Рассмотрим |
тождество |
|
|
|
|
|
|||||
Аххт |
= (Л; -f А*) (Х + |
Axf — ххт |
= х (Ах)т + |
(ДАТ) Х Т |
+ (ДА-) (ДАТ)7". |
||||||
Если |
ДАТ имеет |
размерность Д^, как при обычных |
вычислениях, |
||||||||
то последний член имеет размерность |
(Ai)2, |
и он мал по срав |
|||||||||
нению с А-ДЛТг. Если |
AT является винеровским |
процессом, послед |
|||||||||
ний |
член |
имеет |
размерность |
At. Перейдя |
к |
математическому |
|||||
ожиданию, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
АЕххт |
= Ex (AxAt + Avf |
+ Е (AxAt + До) хт |
+ |
|
||||||
|
|
-f |
Е (AxAt + Av) (AxAt + Av)T |
= |
|
|
|
||||
|
|
= |
[{ExxT) |
A T + AExxT] |
At + E (Av) (Av)r |
+ о (At); |
|||||
следовательно,
dP = [PAT + AP+ Rx) dt,
что приводит к правильному результату.
Упражнения
1. Изменение тяги ракетного двигателя приблизительно мо жно описать белым шумом вектора угловой тяги. Предположим, что спектральная плотность N = 0,0004 рад2 /Гц и ускорение ра кеты равно 3 м/с2 . Определить дисперсию горизонтального по ложения и горизонтальной скорости после 100 с ускоренного движения.
Замечание. Горизонтальное движение описывается уравне нием Л'=а0, где Э — угол вектора тяги.
2. Оценить |
ковариационную |
матрицу |
состояния |
системы |
|||||
|
|
dx |
- f l |
i |
~aAxdt+\l |
dv. |
|
||
|
|
|
|
1 |
о J |
|
[ о |
|
|
где |
Qi>0, |
а 2 > 0 , |
a {v(t), |
teT} — винеровский процесс с единич |
|||||
ным параметром |
дисперсии. |
|
|
|
|
||||
|
3. Скалярный случайный процесс удовлетворяет стохастиче |
||||||||
скому дифференциальному уравнению |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dx = axdt + dv, |
|
|
|||
где |
{v(t), |
teT} —винеровский процесс с параметром дисперсии |
|||||||
гх. |
Начальное состояние лт0 нормально |
с математическим ожи |
|||||||
данием /д0 и ковариацией г0 . Процесс |
{v(t), |
teT} не зависит от |
|||||||
А'(^О). Найти среднее значение m(t) |
и ковариационную |
функцию |
|||||||
для |
АТ(^). Привести достаточные условия существования преде |
||||||||
ла |
Ex2(t) |
при t-^oo |
и t0-^>—со. |
Показать, |
что если |
пг0—0, |
|||