книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления
.pdf130 |
Глава 5 |
ным и непрерывным временем (разд. 2 и 3). Интересно отме тить, что системы с непрерывным и дискретным временем тре буют одинакового объема работы и одинаковой степени слож ности. Временной анализ приводит к уравнению типа
P(t+l) = OP (t)0T + R1
для систем с дискретным временем или к уравнению
— = АР + РАТ |
+Rj |
dt |
|
для систем с непрерывным временем.
Частотные методы решения для систем с дискретным и не прерывным временем описаны в разд. 2 и 3. В связи с задачей восстановления состояния «шумящего» объекта при наличии шума в измеряемых характеристиках рассмотрен временной анализ. Используя некоторые эвристические соображения, по лучают структуру преобразователя. В этот преобразователь вхо дит ряд неизвестных параметров, которые выбираются таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку восстановления. В гл. 7 будет показано, что полученная эврис тическим путем структура фильтра является оптимальной. Та кие преобразователи представляют собой фильтры Калмана. Временной анализ для систем с дискретным и непрерывным временем дан в разд. 4 и 5. Интересно отметить, что параметры могут фактически зависеть от времени.
2.ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ ДЛЯ СИСТЕМ
СДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Постановка задачи
В гл. 4 разработаны методы анализа линейных систем с по мехами, которые можно считать случайными процессами. Спек тральная плотность реакции стационарных линейных систем, помехи которых являются стационарными случайными процес сами с рациональными спектральными плотностями, имеет вид
|
ф) = |
Н(г)Н{г-1), |
где z=eia |
и Я — рациональная |
функция. Дисперсия определя |
ется выражением |
|
|
ял
о» = j 'ф (со) dw = у |
j " Я |
Я (е-'"а ) e~lad {еш) = |
—я —п
Параметрическая оптимизация |
131 |
где j —интеграл вдоль единичной окружности в комплексной плоскости. Для вычисления дисперсии сигнала в этом случае необходимо найти оценку интеграла
I = |
J-&*<AB<T*) |
|
* L , |
(2.1) |
|
|
2ш J |
А (г) А (г - 1 ) |
2 |
|
|
где Л и В — полиномы с |
действительными |
коэффициентами: |
|||
A(z)=a0zn |
+ а,гп-1 |
+ |
---+аа, |
(2.2) |
|
B(z) |
= b0zn |
+ blZn-1 |
+ |
•••+&„ |
(2.3) |
и ф •— интеграл вдоль единичной окружности по часовой стрел ке. Множитель 1/2л введен для удобства. Предположим также, что й о > 0 .
Интеграл (2.1) можно оценить, используя теорию вычетов. Оказывается, однако, что такие представления неудобны для систем высокого порядка. Поэтому мы дадим рекуррентные формулы для оценки интеграла (2.1), которые удобны для вы числений.
Обозначения и предварительные замечания
Заметим, что интеграл (2.1) всегда существует, если много член A (z) устойчив, т. е. если все его нули лежат внутри еди ничного круга. В этом случае всегда существует устойчивая ди намическая система с передаточной функцией B{z)/A(z), а ин теграл (2.1) равен дисперсии реакции системы на белый шум.
Если A(z) имеет нули на единичной окружности, то интеграл (2.1) расходится. Если A(z) имеет нули как внутри, так и вне единичного круга, но не на границе, то интеграл (2.1) сущест вует. В этом случае всегда можно найти полином, все нули ко торого лежат внутри единичного круга, такой, что
A(z)A (г - 1 ) = A (z)A ( г - 1 ) ,
и интеграл представляет собой дисперсию выходного сигнала устойчивой динамической системы с передаточной функцией
B{z)/A'{z).
Однако на практике при анализе динамической системы по лучаем интеграл, соответствующий передаточной функции B{z)j IA(z). В этом случае очень важно проверить, имеет ли знаме натель A (z) передаточной функции все нули внутри единично го круга, так как в противном случае динамическая система неустойчива, хотя интеграл (2.1) и существует.
9*
132 |
Глава 5 |
Для представления результатов в простой форме введем не которые обозначения. Пусть А* — полином, определяемый фор мулой
А' (г) = |
znA |
(z_ 1 ) |
= |
а0 + |
а х г + • • • +a„zn. |
(2.4) |
||
Введем многочлены |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak |
(г) = |
agg* + |
а * / - 1 |
+ |
• • • +fl* , |
(2.5) |
||
Bk |
(г) = |
bkQz" + |
^ г * - 1 |
+ |
•••+&*, |
(2.6) |
||
которые определяются рекуррентно по формулам |
|
|||||||
|
(г) = г"1 |
{ А к (г) - |
а , |
(г)), |
(2.7) |
|||
|
(г) = г" 1 |
{fif e (2)~Pf t ^(2)K |
(2.8) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
= ag/ag, |
|
|
|
(2.9) |
||
|
Pfc |
= 6*/ao, |
|
|
|
(2.10) |
||
Л (2) |
= Л (2), |
|
|
|
|
(2.11) |
||
Bn(z) |
= B(z). |
|
|
|
|
(2.12) |
||
Таким образом, коэффициенты многочленов Ak и 5Й заданы ре
куррентными |
формулами |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
=Q? — af t aLt, |
» = |
0,1 |
— 1, |
|
(2.13) |
|
|
|
|
ftf-^bt-PftcLt, |
« = |
0 , 1 , . . . , * - 1 , |
|
(2-14) |
||
с начальными |
условиями |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a" = af, |
|
|
|
(2.15) |
|
|
|
|
|
67 = |
6,-. |
|
|
|
(2.16) |
Чтобы эти уравнения |
имели |
смысл, необходимо |
потребовать |
||||||
для |
всех |
а* выполнения |
условия ag Ф0. |
Коэффициент |
всег |
||||
да |
можно |
выбрать ненулевым. В теореме 2.1 сформулированы |
|||||||
необходимые и достаточные условия. |
|
|
|
|
|||||
Теорема 2.1. Пусть ag;>0, тогда |
эквивалентны |
следующие |
|||||||
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Полином Ль (г) устойчив.
2.Многочлен Ak-\(z) устойчив, и ао~'>0.
Можно доказать, |
применив несколько раз эту теорему, что ес |
ли полином Ak-i(z) |
устойчив, то все коэффициенты ак0~1 поло |
жительны. Для доказательства теоремы 2.1 рассмотрим следу ющую лемму:
Параметрическая оптимизация |
133 |
Лемма 2.1. Пусть полином f(z) с вещественными коэффици ентами имеет все корни внутри единичного круга. Тогда
\f(z)\<\r(z)\ |
при И < 1 , |
=ПРИ И = 1 ,
l / ( z ) | > l f * ( z ) | при | Z | > 1 . Доказательство. Пусть
/ ( z ) = p f l ( 2 - a , ) , | o / | < l l fe=i
тогда
/*(2) = р П ( l - a , z ) .
Введем
|
|
п |
п |
W |
Г (г) |
U 1 - a . - г |
| А , _ - . z |
|
|
|
где ai — постоянные, комплексно сопряженные относительно а;. Последнее равенство вытекает из того, что f имеет действи тельные коэффициенты. Если а; является нулем полинома f, то
а; также будет его нулем. Рассмотрим преобразование
V*-/ —
1 — а,- г
Оно переводит внутренность единичного круга в себя, т. е. еди ничный круг является инвариантом преобразования. Преобра зование
. w - n - . w - n r = s - - - ^ |
||
i=i |
1=1 |
1 — а,- 2 / кг> |
|
||
также обладает этими свойствами, и лемма доказана. Доказательство теоремы 2.1. Сначала покажем, что из ус
ловия 1 вытекает условие 2. Если соблюдается условие 1, то из леммы 2.1 следует, что
K ( o ) i < u ; ( 0 ) i . Но Ah[0) =а\ и Л* (0) = о * . 07сюда
|
К | = | |
4 / а 5 |
| < 1 . |
(2.17) |
Из уравнения |
(2.13) получим |
|
|
|
of1 |
= eg - (oSV/aS = |
[ ( a * ) 2 - |
(akkf}!4 |
> 0. |
134 |
|
Глава 5 |
|
|
|
По предположению теоремы а$>0. |
Так как Ah(z) |
устойчив, то |
|||
из леммы 2.1 следует |
|
|
|
||
|
|
\Ak(z)\>\Al(z)\ |
при |
| z | > l . |
|
Учитывая условие |
(2.17), получим |
|
|
|
|
|
\A(z)\>\ak\.\Al(z)\ |
для |
| 2 | > 1 . |
|
|
Из формулы |
(2.7) |
вытекает, что |
|
|
|
| z | • | Л*_1 (г) | = |
| Ak (z) -akAl(z)\>\Ak(z)\-\ak\.\Al |
(г) | > О |
|||
для |
| г | > 1 . |
|
|
|
|
Это означает, что Ah-i(z) не имеет корней вне единичного кру га. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Предположим теперь, что соблюдается условие 2. Тогда
|
a t 1 |
= ak0- |
( o S M |
= |
[(flS) a - (akkf\!ako |
> |
0. |
|
|||||||||||
Так как |
по |
предположению |
а% > 0 , |
то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
\ak\ |
= |
\akka1\<l. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы |
(2.7) |
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Ак (г) - |
ак |
Al |
(г) = |
гЛ*_! (г). |
|
|
|
(2.18) |
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
Ak |
(г"1 ) - a k z k |
A'k (z~]) |
= zk~x |
Ak^ |
(г"1 ) |
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л; (z) - |
ak Ah(z) = |
4 |
- |
i (z). |
|
|
|
(2.19) |
||||||
Исключая Л* (г) из выражений |
(2.18) |
|
и |
(2.19), |
получим |
|
|||||||||||||
|
|
Ak |
(z) |
= - |
Ц |
|
(г) + |
- |
i |
^ |
- |
o |
|
(2). |
|
||||
|
|
|
|
|
1—а'к |
|
|
|
1—ой |
|
|
|
|
|
|||||
Так как |
|аь| < 1 , то такое |
исключение всегда |
возможно. |
|
|||||||||||||||
При | z | ^ l |
получим |
|
(лемма |
2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| Л * _ 1 ( г ) | > | Л ^ 1 (z)|. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Так как |
| а ь | < 1 , |
то для |
любого |
z, \z\~^\, |
получим |
|
|||||||||||||
\А*(г)\> |
|
|
г |
|
1 Аь-1 (г) | — |
|
|
|
I |
l |
i |
C l |
( z ) > o . |
||||||
|
i - 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Полином |
Ah{z) |
не |
имеет |
нулей |
вне |
единичного |
круга, и |
теоре |
|||||||||||
ма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а%>0 для всех k необходимо |
||||||||||
Выше |
показано, |
что |
|
условие |
|||||||||||||||
для устойчивости |
A{z). |
Докажем, что |
верно |
и обратное |
утвер- |
||||||||||||||
Параметрическая |
оптимизация |
135 |
|
жденне. Допустим, что а§ > 0 |
для |
всех k. Тривиальный |
полином |
А0 устойчив, так как а § > 0 . |
Из теоремы 2.1 следует, что А\ ус |
||
тойчив. Применяя несколько раз теорему 2.1, докажем, что по лином Ah устойчив. Отсюда вытекает, что если полином Аг име ет все нули внутри единичного круга, то а * > 0 при всех k. Ес ли хотя бы один из коэффициентов а\ неположителен, то си стема с передаточной функцией В (z) /А (г) неустойчива. Выво ды сформулированы в теореме 2.2.
Теорема 2.2. Пусть ag>0, тогда эквивалентны следующие ус ловия:
1- |
A n ( z ) |
устойчив, |
2. |
а 5 > 0 |
при k = 0 , 1 — 1. |
Основной результат
Покажем, что интеграл (2.1) можно вычислить рекурсивно. Для этого введем интеграл /V.
(2.20)
Из выражения (2.1) следует, что 1=1П- Докажем теорему 2.3. Теорема 2.3. Пусть все корни полинома A(z) лежат внутри единичного круга, тогда интеграл удовлетворяет рекуррент
ному уравнению
[1 — |
= / * — pi, |
(2.21, |
/о = |
Ро. |
(2.22) |
Доказательство. Так как A (z) имеет все нули внутри единич ного круга, то из теоремы (2.2) имеем, что все akQ отличны от нуля. Таким образом, из формул (2.7) и (2.8) следует, что все полиномы Ah и Bk можно определить. Далее из теоремы 2.2 сле дует, что все полиномы Ah имеют все нули внутри единичного круга. Следовательно, все интегралы h существуют.
Для доказательства теоремы используем теорему об анали
тических |
функциях. |
Сначала допустим, что полином Л (г) |
име |
ет простые корни, |
отличные от нуля. Интеграл (2.20) |
равен |
|
сумме |
вычетов в |
полюсах функции Bk(z)Bk(z-l)/{zAk{z) |
X |
X^4fe(z- 1 )} внутри |
единичного круга. Так как интеграл инвари |
||
антен относительно замены переменных z-vl/z, то интеграл бу дет равен также сумме вычетов в точках вне единичного круга.
Рассмотрим теперь интеграл
136 |
|
|
Глава |
5 |
|
|
|
|
|
|
Полюсы |
подынтегрального |
выражения |
находятся |
внутри еди |
||||||
ничного круга в точке 2 = 0 и в нулях 2* полинома |
Ah-\(z). Так |
|||||||||
как Ak-i (Zi) = 0 , то из формул (2.7) и (2.4) находим |
|
|||||||||
|
A (z,) = |
ак |
А*к (г,) = ак г\ Ak |
[гТ1.). |
|
|
|
|||
Рассматривая это уравнение |
совместно с выражениями (2.7) и |
|||||||||
(2.4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д*_1 [z7l) = z, [Ak |
[zTl |
) — akAl |
(г"1 )] |
= |
|
|
|||
|
= |
zl[Ak(zTl)-akzTkAk(zl)] |
|
= |
|
|
||||
|
= |
(l — aDzt |
Ak |
[z~l). |
|
|
|
|||
Из формул (2.4) и (2.7) также |
находим |
|
|
|
|
|
||||
|
Al-x |
(г) = A'k (z) — aK |
Ak |
(г). |
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 _ |
i (0) = Al (0) - |
ak |
Ak |
(0) = |
a$ - |
ak 4 = ak0 |
{1 - |
al). |
||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ _ 1 ( г ) В А _ ! |
( г - 1 ) ^ j _= |
|
(г)Д^ . ! (г) ^ j |
_ |
|
||||
|
4 - 1 ( ^ н ( г |
" ' ) ' |
2 |
Ак_1(г)А1_х(г)' |
* |
|
|
|||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 ) 5 ^ , ( 2 - ' ) |
|
|
i |
B f t _ , U ) f l J L i W |
|
1 |
|||
|
(г) [г ( 1 - « 1 ) ^ ( 2 - ^ 1 |
^ |
Л _ 1 ( 2 ) [ ( 1 _ а 2 ) ^ ( г |
) ] |
г |
|||||
внутри единичного круга имеют одинаковые |
полюсы и одинако |
|||
вые вычеты в этих полюсах. Следовательно, |
|
|||
j |
_J |
L_ -f |
V B k - i (2"') |
dz_ = |
где второе равенство получается в результате замены перемен ной 2-»-2- 1 . Подынтегральное выражение имеет полюсы в ну лях Аи, и из формулы (2.7) находим
(г-1 ) = г [Ак ( г " 1 ) - a k A l { z - ' ) \ |
= z\Ак ( г " 1 |
) - a k z ~ k A k {z)\. |
Следовательно, для нулей Zj полинома Ak(z) |
получим |
|
Ak-i (2Г1) =ztAk |
{z7l). |
|
Параметрическая оптимизация |
137 |
Функции
|
|
( ^ ) |
Z W ^ - i ^ " ' ) |
1 ^ |
Bk_l(z)Bl_l(z) |
Ak(z)Ak(z-1) |
' г |
Ak (г) Л; (г) |
таким образом, имеют одни и те же полюсы внутри единичного круга и одинаковые вычеты в этих полюсах. Следовательно, ин тегралы этих функций вдоль единичного круга равны. Из урав нения (2.23) получаем
h-x = —=- |
1 |
Й |
Д М (г"') |
dz |
|
2л i |
Ak(z)Ak |
( г - 1 ) |
г |
||
1 —а |
|||||
|
|
|
|
Учитывая (2.8), находим (1 — <4\h-\ =
X
Лк(г)Ак |
(г" 1 ) |
Bk(z)Bk{z-1) |
d z |
fa |
Bk(z) Al |
[z~ |
dz |
|
2ni |
Лк1г)Ак[г- |
|
z |
|
fa |
|
|
|
dz |
2л i |
Ak |
W Ak |
iz~ |
z |
|
|
|||
|
|
|
|
dz |
2ni |
v - |
W Ak |
(z~ |
z |
|
Ak |
|
||
Первый интеграл равен Ik- Второй интеграл можно вать следующим образом:
|
|
_fa_(* |
Вь (г) А. (2) |
|
|
|
|
2л« |
^ |
2ni Y / А ( г ) ^ ( г ) |
|
(2.24)
преобразо
dz
г
2nt" |
AUz) |
г |
где первое равенство следует из формулы (2.4), третье — из те-
138 |
Глава 5 |
оремы о вычетах, |
а пятое — из формулы (2.10). Аналогично |
можно доказать, что третий интеграл в правой части выраже ния (2.24) также равен р| .
Используя |
формулу (2.4), преобразуем четвертый |
член |
пра |
||
вой части выражения (2.24): |
|
|
|
||
2 n i |
j A k |
w Ak (2_1) |
' г |
|
|
В итоге получаем |
выражение |
(2.21) |
|
|
|
(2.20) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Oil |
|
|
|
' • - s r < P |
Т |
|
|
|
Таким образом, |
доказаны |
формулы (2.21), (2.22) |
для |
слу |
|
чая, когда Л (г) имеет простые корни. Если А имеет кратные или
нулевые корни, то всегда |
можно так |
изменить |
коэффициенты, |
||||||
чтобы новый полином имел |
простые |
ненулевые |
корни. В |
этом |
|||||
случае уравнения (2.21) |
и (2.22) |
будут также |
справедливы. Так |
||||||
как ан и РЙ являются |
непрерывными |
функциями |
параметров, то |
||||||
выражения (2.20) и |
(2.21) |
имеют место и тогда, |
когда А |
имеет |
|||||
кратные корни. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что из выражения (2.13) |
следует, что |
|
|||||||
|
.ft—1 = а* — ak а\ = а» (1 — a2.). |
|
|
|
|||||
Уравнение (2.21) можно записать в виде |
|
|
|
||||||
|
|
do |
Jk—i = |
uolk — #о PA |
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a* l k |
= акГ1 |
/*_, + |
h bkk |
= at1 |
+ |
{blf;al |
|
||
Следствие |
2.1. Интеграл |
Iи определяется формулой |
|
||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
t=0
Методы вычислений
Получив в теореме 2.3 рекуррентную формулу, обратимся к вычислительным методам. Чтобы получить интегралы, вычис лим сначала коэффициенты полиномов Ak(z) и Bh(z). Это мож но легко сделать с помощью следующих таблиц:
|
Параметрическая |
оптимизация |
139 |
||
а о |
а « - 1 |
а» |
^0 |
6,... |
|
ап |
aa-V ...а, |
|
ап |
а л - . |
|
|
аГ1 - |
|
, л - 1 |
...Ь"-\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л—1 |
л—1 |
|
|
|
|
• • • "о |
|
|
|
|
|
ал -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 |
а] |
Ь\ |
Ь\ |
|
|
а\ |
а\ |
а\ |
а\ |
|
|
Каждая четная строка таблицы коэффициентов А (А-таблица) получается путем записи коэффициентов предыдущего ряда в обратном порядке. Четные строки А- и В-таблиц имеют одина ковые коэффициенты. Элементы нечетных строк обеих таблиц получаются из двух элементов таблицы с помощью преобразо вания
а)~х = a't — ak akk-i, |
|
ak |
= ak a), |
|
(2.1 > |
|
ЬкГх = b\ - |
pA akk-h |
fa |
= bU). |
2.2, |
(2.14) |
|
Используя критерий устойчивости из теоремы |
получим, |
|||||
что все нули полинома A (z) лежат |
внутри единичного круга, ес |
|||||
ли все коэффициенты а£ |
положительны |
(в таблице они выде |
||||
лены жирным шрифтом). Получив коэффициенты |
аи |
и р\, не |
||||
трудно вычислить значение интеграла |
(2.25). |
|
|
|||
Заметим, что для проверки устойчивости полинома A(z) не обходимо составить только Л-таблицу. Следовательно, для вы числения интеграла / необходимо приблизительно в два раза больше выкладок, чем для проверки устойчивости полинома Л (г).
Пример
Для иллюстрации вычислим интеграл для |
|
|
|
||||||
|
|
|
A (z) = z3 |
+ 0,7z2 |
+ 0,5z — 0,3, |
|
|
|
|
|
|
|
B(2) = z3 -|-0,3z2 -f 0,2z-j-0,l. |
|
|
|
|||
Составим следующую таблицу: |
|
|
|
|
|||||
1 |
0,7 |
0,5 |
—0,3 |
|
1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
h |
|
|
||||||||
0,3 |
0,5 |
0,7 |
1,0 |
—0,3 |
—0,3 |
0,5 |
0,7 |
1,0 |
0,1 |
0,91 |
0,85 |
0,71 |
|
1,03 |
0,25 |
0,13 |
|
|
|
0,71 |
0,85 |
0,91 |
0,780 |
0,71 |
0,85 |
0,91 |
|
0,143 |
|
0,356 |
0,187 |
|
|
|
0,929 |
0,129 |
|
|
|
0,187 |
0,356 |
|
|
0,525 |
0,187 |
0,356 |
|
|
0,361 |
0,258 |
|
|
|
1 |
0,861 |
|
|
|
3,338 |