книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

172 Глава 5

можно найти также в работе [5] . Теоремы, близкие к теореме 2.2, рассмотрены в работах [6, 7].

Теорема 3.2-—это по существу теорема Раусса — Гурвица. Идея рекурсивной оценки интегралов принадлежит Ннкольни [8, 9]. Алгоритм для систем с дискретным временем, приве­

денный в теореме 2.3, рассмотрен в работе [10].

Следствие из теоремы 2.3 и вычислительный алгоритм при­ ведены в р а боте [11].

Алгоритм на Алголе для систем с непрерывным временем можно найти в работе [12].

Идея восстановления состояния динамической системы с ис­ пользованием математической модели, рассмотренная в разд. 4 и 5, известна давно. Ее обсуждал Дж. Бертрам в 1961 г. Более ранняя ссылка на построение модели без обратной связи приво­ дится в работе [13]. Более подробно эти вопросы изложены в работах [14, 15].

Рекуррентные уравнения, приведенные в теоремах 4.1 и 5.1, идентичны алгоритму фильтрации Калмана — Бьюси [16, 17].

1.James Н. М., Nickols N. В., Phillips R. S., Theory of Servomechanisms, McGraw-Hill, N. Y., 1947. Русский перевод: Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р., Теория следящих систем, М., ИЛ, 1951.

2.Newton G. С., Gound L: A., Reiser J . F., Analytical Design of Linear Feed­ back Controls, Wiley, N. Y., 1957. Русский перевод: Ньютон Дж. К., Бл'лд Л. А., Кайзер Дж. Ф., Теория линейных следящих систем, Физматгиз, 1961.

3.Jury Е. I., Theory and Application of the z-Transiorm Method, Wiley, N. Y., 1964.

4.Ruzicka I., Algebrnicka Kriteria Stability impulsnich Sonsta, Strognicky Casopis, XIII, c. 5, 395—403 (1962).

5.Strejc V., Syntise von Regelungssystemen mit Prozessrechner, AkademieVerlag, Berlin, 1967.

6.Jury E . I., On the Roots of Real Polynomial inside the Unit. Circle and a Stability Criterion for Linear Discrete Systems, Proc. of Sec. Congr. of 1FAC, Butterworhs, London, 1964.

7.Toma M., Ein Eingaches Verfahren zur Stabilitatspriifung von linearen ab-

tastsystemen, Regelungstechnik, 10, 302—306 (1962).

8.Nekolny J., Nova Jednoducha Methodika Testu Jakosti Regulace, Prague, 1957.

9.Nekolyn J., Benes J., Simultaneous Control оГ Stability and Quality of Adjustement-Application of Statistical Dynamics, in Coales et al. Automatic and Remote Control, Proc. of First 1FAC Congr. Moscow 1960, 2, Butter-

worths, London, 1961.

о

10. Astrom K. J-, Recursive Formulas for the Evaluation of Certain Complex Integrals, Rep. 6804, Lund Institute of Technology, 1968.

о

11. Astrom K. J., Jury E. I., Agniel R. G., A Numerical Method for the Evalua­ tion of Complex Integrals, I E E E Trans. AC (1970).

12.Peterka V., Vidincev P., Rational-Fraction Approximation of Transfer Func­ tions, Proc. IFAC Symp. of identification in Autom. Control. Sys., Prague, 1967.

13.Kalman R. E., Bertram J. E., General Synthesis Procedure for Computer Cont­

rol of Single and Multiloop Linear Systems, A I E E , 77, 1958.

14.Luenberger D. G., Observing the State of a Linear System, I E E E Trans, on Military Electron.. S, 74—80 (1964).

15. Luenberger D. G., Observers for Multivariable Systems, I E E E , AC—11,

190—191 (1966).

16.Kalman R. E., A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, ASME J. Basic Eng., 82, 35—45 (1960).

17.Kalman R. E . , Bucy R. S., New Results in Linear Filtering and Prediction Theory. ASME J. of Basic Eng., 83, 95—107 (1961).

Г л а в а 6

СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ ДИСПЕРСИЮ

1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 5 рассмотрена параметрическая оптимизация систем, в которых регулятор имеет известную структуру. Данная глава посвящена более общим задачам оптимизации систем, в которых структура регулятора неизвестна. Цель главы — дать простую по­ становку задачи, которая позволила бы изложить основные идеи стохастического оптимального управления с небольшим количе­ ством математических выкладок. Проанализирована задача про­ стого регулирования для линейной стационарной системы с од­ ним входом и одним выходом. Предполагается, что возмущение, действующее на систему, можно описать в виде реализации нор­ мального стационарного случайного процесса с дробно-рацио­ нальной спектральной плотностью. Критерием управления явля­ ется минимизация дисперсии выходной переменной. Для про­ стоты рассмотрены системы с дискретным временем. Поэтому множество Т есть всегда множество целых чисел.

Вразд. 2 рассмотрена система первого порядка, для которой легко доказать теорему разделения. Доказывается, что опти­ мальный регулятор можно представить состоящим из двух ча­ стей: упредителя, предсказывающего действие возмущения на выходе, и апериодического регулятора, определяющего сигнал управления, который требуется для того, чтобы сделать предска­ зываемый выходной сигнал равным желаемой величине.

После установления связи между теорией упреждения и сто­ хастическим оптимальным управлением займемся изучением за­ дач упреждения. В разд. 3 решаются задачи упреждения стацио­ нарного стохастического процесса с дискретным временем и дробно-рациональной спектральной плотностью. Основным ре­ зультатом является теорема 3.1, которая дает рекуррентную формулу для упредителя, а также выражение ошибки упрежде­ ния. Показывается также, что коэффициенты рекуррентной фор­ мулы легко получаются из тождественного равенства полиномов как коэффициенты этих полиномов.

В разд. 4 снова рассмотрена задача управления. С помощью результатов задачи упреждения выведена формула для страте­ гии управления, минимизирующей дисперсию. Показано, что

ошибка управления для данной оптимальной стратегии управ­ ления равна ошибке упреждения.

Вразд. 5 обсуждены вопросы чувствительности оптимально­ го регулятора к изменениям параметров модели. Показано, что при некоторых условиях оптимальная система может быть чрез­ вычайно чувствительна к изменениям параметров. Приведен также метод получения квазиоптимальных стратегий, которые менее чувствительны к изменениям параметров.

Вразд. 6 дан пример промышленного применения стратегий управления, минимизирующих дисперсию. Рассмотрена задача управления весом бумаги на бумажной фабрике. Особое внима­ ние уделено постановке задач и обсуждению применимости тео­ рии. Рассмотрена задача идентификации, т. е. задача построения математических моделей возмущения и динамики процесса по эк­ спериментальным данным. Приведены экспериментальные ре­ зультаты применения стратегии управления, минимизирующей дисперсию.

2.ПРОСТОЙ ПРИМЕР

Рассмотрим сначала специальный случай, который иллюст­ рирует основную идею без каких-либо сложных выкладок. Пусть процесс, которым необходимо управлять, описывается уравне­ нием первого порядка

Определим стратегию управления, минимизирующую диспер­ сию, сначала исходя из интуитивных соображений. Рассмотрим

y(t+i).

Если закон управления .(2.3) использовать на каждом шаге, формула (2.4) будет справедлива при всех t. Вычисление e(t) по

мулу (2.5) в уравнение (2.1), получим

y(t + l) + cy(f) = e(t+l) + ce(t).

Следовательно,

[y(t+l)-e(t+l)]+c[y(f)-e(f)]=0.

Решая разностное уравнение с начальным значением y(tQ) — —e(to)=K, получим

ная в установившемся состоянии будет иметь наименьшую воз­ можную дисперсию. Таким образом, оптимальный закон управ­ ления задается формулой (2.5).

выходной переменной в момент времени ^ + 1 . полученную на ос­ нове данных, имеющихся в момент времени t. Ошибка упрежде­

ния. Отсюда следует, что стохастическое управление тесно свя-

положить, что е(^) имеет нулевое математическое ожидание и

3.ОПТИМАЛЬНОЕ УПРЕЖДЕНИЕ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

СДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

В разд. 2 установлено, что решение задачи стохастического управления тесно связано с задачей упреждения. В данном раз­ деле задача упреждения рассмотрена более подробно. В следую­ щем разделе задача разд. 2 будет обобщена.

Теорию упреждения можно построить многими способами, которые отличаются допущениями, сделанными относительно процесса, критерия и упредителей. В данном разделе использу­ ются следующие допущения:

1.Предсказываемый процесс является стационарным, гауссо­ вым с дробно-рациональной спектральной плотностью.

2.Наилучшим упредителем является упредитель, который минизирует дисперсию ошибки упреждения.

раничимся в качестве упредителей линейными функциями наб­ людений, а допущение о нормальном распредеделении процесса

раметрами ( (0, 1) случайные переменные. Чтобы построить уп-

ная y(t-r-l) может быть выражена, таким образом, в виде сум­

Так как | с | < 1 , первый член стремится к нулю при t0~*—оо для любых начальных условий. Таким образом, e(t) можно вычис­ лить прямо по результатам измерений с помощью формулы